3.1.3空间向量的数量积运算(优秀经典公开课比赛教案)
3.1.3空间向量的数量积运算
一、教材分析：“3.1空间向量及其运算”包括空间向量的定义、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算、空间向量的正交分解及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示等内容。
在学生掌握了空间向量加法运算的基础上，学习空间向量的数乘运算应无困难。教科书在本小节首先类比平面向量的数乘运算引入空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律。进而分别给出了空间向量共线和共面的定义，并进一步研究了空间向量共线和共面的问题。
二、教学目标：
1、掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2、掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；
3、掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.
三、教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用．
四、教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．
五、教学准备
1、课时安排：1课时
2、学情分析：
3、教具选择：
六、教学方法：
七、教学过程
1、自主导学：
2、合作探究
（一）、复习引入
1.复习平面向量数量积定义：
2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.
（二）、新课讲授
1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向
量a
与b ，在空间中任取一点O ，作OA ＝a ，OB ＝b ，
则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作＜a ,b ＞．
说明：⑴规定：0≤＜a ，b ＞π≤． 当＜a 、b ＞
＝０时，a 与b
同向； 当＜a 、b ＞＝π时，a 与b 反向；
当＜a 、b ＞＝2π时，称a 与b 垂直，记a ⊥b ． ⑵ 两个向量的夹角唯一确定且＜a ,b ＞＝＜b ,a
＞．
⑶ 注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．
②＜a ,b ＞≠(a ,b )
2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a 与b ，|a ||b |cos ＜a 、b ＞叫做向量a 、b 的数量积，记作a ·b ，即 a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞. 说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝０；
⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. 几何意义：已知向量AB ＝a 和轴l ，e 是l 上和l 同方向的单位向量．作点A 在l 上的射影A ′，点B 在l 上的射影B ′，则''A B 叫做向量AB 在轴l 上或在e 方向上的正射影，简称射影．可以证明：''A B ＝｜AB ｜cos ＜a ,e ＞＝a ·e ．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a ·e 的几何意义．
3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：
⑴a ·e ＝｜a ｜·cos ＜a ,e ＞； ⑵a ⊥b ?a ·b ＝０
⑶当a 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜·｜b ｜.
特别地，a ·a ＝｜a ｜2或｜a
= ⑷cos ＜a ,b ＞＝a b
a b ??; ⑸｜a ·b ｜≤｜a ｜·｜b ｜.
4. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：
⑴(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ) (数乘结合律)； ⑵ a ·b ＝b ·a (交换律)；
⑶a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)
说明：⑴(a ·b )c ≠a （b ·с）；⑵有如下常用性质：a 2＝｜a ｜2，(a ＋b )2＝a 2＋２a ·b ＋b 2
例题讲解：课本91页：例2、例3
3、巩固训练：课本92页：练习
4、拓展延伸：
5、师生合作总结：
（1）空间向量夹角和模的概念及表示方法
（2）两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；
八、课外作业：
课本97页：习题3.1 A组 4
九、板书设计：
空间向量与立体几何(整章教案)
空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教
材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 ②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平 行直线；当我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与
空间向量及其运算详细教案
空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 教学目标： （1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。 （2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。 能力目标： （1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。 （2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。（3）培养学生空间向量的应用意识 教学重点： （1）空间向量的有关概念 （2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。 （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点： （1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。 （2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。 考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。 易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用 教学用具：多媒体 教学方法：研讨、探究、启发引导。 教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。 教学过程： （老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？ （学生）：矢量，由大小和方向确定 （学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？ （老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么？ （学生）向量 （老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？ （学生）这是三个向量不共面 （老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？ （学生）：不能，得用空间向量 （老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算 （老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？ （学生）举例 （老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量） （老师）:接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量
数学选修空间向量及其运算教案
第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：
①几何表示法：_________________________ ②字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ②单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③相等向量：____________________________ ④相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和 方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘结合律：λ（aμ）=a) (λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
空间向量高中数学教案课程
空间向量 考纲导读 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式； 掌 握 空 间 两 点 间 的距离公式． 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广． 本节知识点是：
1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ． (3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． (2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ． 共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底： 的三个向量． 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ．
空间向量及其线性运算(教案)
课 题：空间向量及其线性运算 教学目标： 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件 教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学难点：空间向量的线性运算及其性质。 教学过程： 一、创设情景 1、蚂蚁爬行的问题引入为什么要研究空间向量. 2、平面向量的概念及其运算法则； 二、建构数学 1．空间向量的概念： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） b a AB OA OB +=+= b a -=-= )(R a ∈=λλ 运算律： ⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3．平行六面体： 平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向 量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //． 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线． 5．共线向量定理： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，
高中数学 空间向量及其运算 教案
空间向量及其运算 【高考导航】 本节内容是高中教材新增加的内容，在近两年的高考考查中多作为解题的方法进行考查，主要是解题的方法上因引入向量得以扩展.例如2001上海5分，2002上海5分. 【学法点拨】 本节共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.这一节是空间向量的重点，在学习本节内容时要与平面向量的知识结合起来，认识到研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量是空间的一个平移，两个不平行向量确定的是一个平行平面集，在此基础上，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间，得出空间直线与平面的表达式，有了这两个表达式，我们可以很方便地解决空间的共线和共面问题.空间向量基本定理是空间几何研究代数化的基础，有了这个定理，整个空间被3个不共面的基向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x ，y ，z ）建立起一一对应关系，空间向量的数量积一节中，由于空间任一向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同. 【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.空间向量的定义 (1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. (2)向量的表示有三种形式：a ,AB ，有向线段. 2.空间向量的加法、减法及数乘运算. (1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为:首尾相连，由首到尾.求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0，即21A A +32A A +…1A A n =0. (2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点,可简记为“起点相同,指向一定”,另外要注意 -=的逆应用. (3)空间向量的数量积.注意其结果仍为一向量. 3.共线向量与共面向量的定义. (1)如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b ?a=λb ,若A 、B 、P 三点共线,则对空间任意一点O ,存在实数t,使得OP =(1-t)OA +t OB ,当t=2 1 时,P 是线段AB 的中点,则中点公式为OP = 2 1 (OA +). (2)如果向量a 所在直线O A 平行于平面α或a 在α内,则记为a ∥α,平行于同一个平面的
(完整)空间向量__新高中数学教学教学教案
欢迎阅读 空间向量 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距 离公式． 理解空 间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、 性质和运算律；了解空间 向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时 空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是： 1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量．(2) 向量相等：方向 且长度 ．(3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ． (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． 基础过关 考纲导读 高考导航 空间向量 定义、加法、减法、数乘运算 数量积 坐标表示：夹角和距离公式 求距离 求空间角 证明平行与垂直 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ． (2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝ ．(3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝ ．
《空间向量数量积的运算》的教学反思
《空间向量数量积的运算》教学反思 本节课我讲了选修2-1第三章《空间向量的数量积运算》这个节，这是本章第三节的内容，主要学习的是空间向量的数量积的运算及应用。根据大纲，要求学生能熟练应用空间向量的运算解决简单的立体几何问题，这也是本节课的难点。突破难点的方法是让学生会用已知向量表示相关向量，就是利用三角形法则或多边形法则把未知向量表示出来，进而再求两个向量的数量积、夹角、距离等。 三方面实行整体设计，注重与学生已有知识的联系及相关学科知识的联系（物理学：功），因为本节知识是向量由二维向三维的推广，所以预习平面向量的运算起了一定的作用，使学生体会知识的形成过程和数学中的类比学习方法。在整个教学过程中，我还是沿用知识复习、学生探究、教师例题分析、师生合作归纳小结的主线实行教学，符合学生的认知规律，也易于学生对知识的掌握，在教学方法上，我注重多媒体演示和传统板书教学有效结合，较好地辅助了教学。同时，结合新高考的要求，我注重了数学核心素养的培养，在教学中例题分析与归纳时，我注重了数学思想方法的渗透，如本节课我就渗透了数形结合思想、类比思想等，本节课的核心理念是体现学生在学习中的主体性。但我注重调动学生的主观能动性，最大限度的发挥学生的主体作用，在教学过程中，学生的思维活跃，积极讨论问题，自主解决相关例题。精彩处在于学生积极参与互动，学生评判，教师引导，学生积极归纳知识点，整个课堂热烈有序，张而有驰，整体课多次出现教学高潮，博得了学生与听课专家的热烈掌声，从课后反馈来看，本堂课普片反应学懂了，掌握了知识和解决问题的水平，正在学有所用。 不足之处：在创设情境时，我用的是知识性引课，不够引人入胜，要是能想出更好的引课方式或动画设计，在一开始就抓住学生的眼球，调动起学生学习的积极性，应该效果会更好。其次，在课堂中没有充分发挥学生的主体性，老师由引导者又逐步变成了主导者。另外，难点突破应该在两个例题上，不过前边耽误了时间，导致重点地方没有充足的时间解决，没达到最初的意图。对问题的探究需要时间，课上让学生放开去探究，减少了课堂容量，影响到了例题的分析讲解。应
2018年北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》教案
北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》 第一课时平面向量知识复习 一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备 二、教学重点：平面向量的基础知识。教学难点：运用向量知识解决具体问题 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、基本概念 向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。（二）、基本运算 1、向量的运算及其性质
2、平面向量基本定理： 如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且 只有一对实数21,λλ，使a = ； 注意)(2 1 OB OA OP += ,OA OA OP )1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b 的充要条件是： ；（向量表示） ⑵ 若),(),,(2211y x b y x a == ，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示） 4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥ 的充要条件是： ；（向量表示） ⑵ 若),(),,(2211y x b y x a == ，则a b ⊥ 的充要条件是： ；（坐标表示） （三）、课堂练习 1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则?ABC 是（ ） A ．以A B 为底边的等腰三角形B ．以B C 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形 D ．以BC 为斜边的直角三角形 2．P 是△ABC 所在平面上一点，若?=?=?，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心B ．内心 C ．重心D ．垂心 3．在四边形ABCD 中，?→ ?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形 4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45?，则以52a p q =+ ，3b p q =- 为邻边的 平行四边形的一条对角线长为（ ）
空间向量及其运算教案讲课教案
第三章空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 教学目标： 知识与技能（1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。 （2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何 体加深对运算的理解。 过程与方法（1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探 究、研讨、综合自学应用能力。 （2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运 算及其运算律的意义。 （3）培养学生空间向量的应用意识 情感态度与价值观通过本节课的学习，让学生在掌握知识的同时，体验发现数学的乐趣，从而激发学生努力学习的动力。 教学重点：（1）空间向量的有关概念； （2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义； （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点：（1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。 （2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。 课堂类型：新授课 教学方法：研讨、探究、启发引导 教学用具：多媒体 教学过程： 一、创设情境 （老师）：以前我们学过平面向量，请问所有的向量都是平面向量吗？比如：长 方体中的过同一点的三条边上的向量 （老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？ （学生）：这是三个向量不共面 （老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？ （学生）：不能，得用空间向量 （老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量
板书：空间向量及其运算 （老师）:实际上空间向量我们随处可见，常见的高压电线及支架所在向量。二、讲授新课 （老师）:接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量的知识。 （一）复习回顾平面向量的基本概念 1.向量概念：在平面上既有大小又有方向的量叫向量； 2.画法：用有向线段画出来； 3.表示方式：或a（用小写的字母表示）； 4零向量：在平面中长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的； 5.单位向量：在平面中模为1的向量称为单位向量； 6.相反向量：在平面中长度相等，方向相反的两个向量，互称为相反向量； 7.相等向量：在平面中方向相同且模相等的向量称为相等向量； （二）空间向量的基本概念 （老师）：其实空间向量就是把向量放到空间中了，请同学们给空间向量下个定义， （学生）在空间中，既有大小又有方向的量 （老师）：非常好，请大家类比平面向量得到空间向量的其他相关定义（提问学生） （学生）回答向量概念、画法、.表示方式及零向量（零向量的方向是任意的）、单位向量、相反向量、相等向量的概念。 （老师）：得到空间向量的相关定义，我们做几个题巩固一下（见课件） （三）复习回顾平面向量的加减运算 （老师）：在数学中引入一种量以后，一个很自然的问题就是研究它们的运算，空间向量的运算我们也采用与平面向量类比的方法，那么我们首先来复习回顾一下平面向量的加减运算。（课件） 复习回顾：（找学生回答） （学生）：1.平面向量的加法法则：（称为三角形法则或平行四边形法则）：记为+； 几何意义：如图为+为平行四边形的对角线，或三角形ABO中边。口诀是首尾相连或相同起点。 2.减法法则：记为-； 几何意义：如图中-为平行四边形的对角线，方向指向被减向量。口诀是：减向量终点指向被减向量终点。 3平面向量运算律：
空间向量的数量积(人教A版)(含答案)
空间向量的数量积（人教A版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)，，若向量分别与，垂直，则向量的坐标为( ) A.(1，1，1) B.(-2，-1，1) C.(1，-3，1) D.(1，-1，1) 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 2.已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4）．设，则与夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 3.（上接试题2）若向量与互相垂直，则实数k的值为( ) A.或2 B.或2 C.2 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 4.向量，若，且，则的值为( ) A.-2 B.2 C.-1 D.1
答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 5.已知空间向量，若与垂直，则( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 6.若向量，且与夹角的余弦值为，则λ等于( ) A.4 B.−4 C. D. 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD=AA1=1，AB=2，则( ) A.1 B.2 C.3 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积 8.如图，棱长为a的正四面体ABCD中，( )
空间向量及其运算教学设计教案
空间向量及其运算教学 设计教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
教学准备 1. 教学目标 1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。 2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。 3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。 2. 教学重点/难点 重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 难点：理解空间向量基本定理； 3. 教学用具 多媒体设备 4. 标签 教学过程 教学过程设计 （一）.复习引入 1、共线向量定理： 2、共面向量定理：
3、平面向量基本定理： 4、平面向量的正交分解： （二）、新课探究： 探究一.空间向量基本定理 2、空间向量基本定理
3、注意：对于基底{a,b,c},除了应知道向量a,b,c不共面，还应明确 （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 （2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量。 （3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。 4、应用举例析： 知识点一向量基底的判断 例1.已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，那么向量a＋b，a－b，c能构成空间的一个基底吗为什么 解∵a＋b，a－b，c不共面，能构成空间一个基底． 假设a＋b，a－b，c共面，则存在x，y， 使c＝x(a＋b)＋y(a－b)，∴c＝(x＋y)a＋(x－y)b. 从而由共面向量定理知，c与a，b共面． 这与a、b、c不共面矛盾． ∴a＋b，a－b，c不共面． 【反思感悟】解有关基底的题，关键是正确理解概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底．
3.1.3 空间向量的数量积运算
3.1.3 空间向量的数量积运算 课时目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的夹角及距离问题． 1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫 做向量a ，b 的夹角 记法 范围 ,想一想：〈a ，b 〉与〈b ，a 〉相等吗？〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉呢？ 2．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b . (2)数量积的运算律 (3) 一、选择题 1．设a 、b 、c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题： ①(a·b )·c －(c·a )·b ＝0； ②|a |－|b |<|a －b |； ③(b ·a )·c －(c ·a )·b 不与c 垂直； ④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 2．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |等于( )
A.7 B.10 C.13 D ．4 4.在棱长为1的正四面体ABCD 中，E,F 分别是BC,AD 的中点，则AE ·CF →等于( ) A ．0 B.12 C ．－34 D ．－12 5. 如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．6 2 B ．6 C ．12 D ．144 6．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λ、μ≠0)，则( ) A ．m ∥n B ．m ⊥n C ．m 不平行于n ，m 也不垂直于n D ．以上三种情况都有可能 二、填空题 7．已知a ，b 是空间两向量，若|a |＝3，|b |＝2，|a －b |＝7，则a 与b 的夹角为________． 8．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3 ，则|a ＋b |＝________. 9．在△ABC 中，有下列命题： ①AB →－AC →＝BC →； ②AB →＋BC →＋CA ＝0； ③(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形； ④若AC →·AB →>0，则△ABC 为锐角三角形． 其中正确的是________．(填写正确的序号) 三、解答题 10. 如图，已知在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC .求证：OA ⊥BC .
数学3.1《空间向量及其运算》教案(新人教A版选修2-1)
第一课时3.1.1空间向量及其加减与数乘运算 教学要求：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：由平面向量类比学习空间向量． 教学过程： 一、复习引入 1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ 既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b 等表示； 用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 2. 向量的加减以及数乘向量运算： 向量的加法： 向量的减法： 实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0. 3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 4. 三个力都是200N ，相互间夹角为60°，能否提起一块重500N 的钢板？ 二、新课讲授 1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模. → 举例？ 表示？（用有向线段表示） 记法？ → 零向量？ 单位向量？ 相反向量？ → 讨论：相等向量？ 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． → 讨论：空间任意两个向量是否共面？ 2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： OB OA AB =+=a +b ， AB OB OA =-（指向被减向量）， OP =λa ()R λ∈ （请学生说说数乘运算的定义？） 3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法交换律：a +b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )； ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ． 4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=； ⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；⑶空间平行四边形法则． 5. 出示例：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC +⑴； 'AB AD AA ++⑵； 1(3)'2AB AD CC ++； 1(')3 AB AD AA ++⑷． 师生共练 → 变式训练 6. 练习：课本P 92 7. 小结：概念、运算、思想（由平面向量类比学习空间向量） 三、巩固练习： 作业：P106 A 组 1、2题. 第二课时3.1.2空间向量的数乘运算（二）
《空间向量的数量积运算》示范教案
3.1.3空间向量的数量积运算 整体设计 教材分析 本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上，引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法，介绍了空间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律，并举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法． 通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难．用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高．课时分配 1课时 教学目标 知识与技能 1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法； 2．掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律； 3．掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题． 过程与方法 1．运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程； 2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义． 情感、态度与价值观 1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力； 2．培养学生空间向量的应用意识． 重点难点 教学重点： 1．空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义； 2．空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用． 教学难点： 1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用； 2．空间向量的数量积运算及其几何应用和理解． 教学过程 引入新课 提出问题：已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为AA′的中点，点F在线段 D′C′上，D′F＝1 2FC′，如何确定BE → ，FD → 的夹角？
3.1空间向量及其运算教案(经典例题及答案详解)
3.1 空间向量及其运算 第一课时 3.1.1 空间向量及其加减运算----3.1.2 空间向量的数乘运 算 教学要求：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：由平面向量类比学习空间向量． 教学过程： 一、复习引入 1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ 既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b 等表示； 用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 2. 向量的加减以及数乘向量运算： 向量的加法： 向量的减法： 实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0. 3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 4. 三个力都是200N ，相互间夹角为60°，能否提起一块重500N 的钢板？ 二、新课讲授 1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模. → 举例？ 表示？（用有向线段表示） 记法？ → 零向量？ 单位向量？ 相反向量？ → 讨论：相等向量？ 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． → 讨论：空间任意两个向量是否共面？ 2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： OB OA AB =+=a +b ， AB OB OA =-（指向被减向量）， OP =λa ()R λ∈ （请学生说说数乘运算的定义？） 3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法交换律：a + b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )； ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ． 4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=； ⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；⑶空间平行四边形法则． 5. 出示例：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）''''ABCD A B C D - （如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC +⑴； 'AB AD AA ++⑵； 1(3)'2AB AD CC ++； 1(')3 AB AD AA ++⑷． 师生共练 → 变式训练 6. 小结：概念、运算、思想（由平面向量类比学习空间向量）
空间向量的数量积运算练习题
课时作业(十五) [学业水平层次] 一、选择题 1．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确． 【答案】 D 2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝14. 【答案】 D 3．已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连结AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( ) A.PC →与BD → B.DA →与PB → C.PD →与AB → D.P A →与CD →
【解析】 用排除法，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，故P A →·CD → ＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，P A ⊥AD ，又P A ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面P AB ，所以AD ⊥PB ，故DA →·PB →＝0，排除B ，同理PD →·AB →＝0，排除C. 【答案】 A 4. 如图3-1-21，已知空间四边形每条边和对角线都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( ) 图3-1-21 A ．2BA →·AC → B ．2AD →·DB → C ．2FG →·AC → D ．2EF →·CB → 【解析】 2BA →·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；2EF →·CB →＝－12a 2 ，故D 错；2FG →·AC →＝AC →2＝a 2，故只有C 正确．
空间向量高中数学教案
空间向量 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数 量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时 空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是： 1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ．(3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ． (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ． 基础过关 考纲导读 高考导航 空间向量 定义、加法、减法、数乘运算 数量积 坐标表示：夹角和距离公式 求距离 求空间角 证明平行与垂直 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ． (2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝ ．(3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝ ．
高中数学《空间向量及其运算》公开课优秀教学设计
课题：空间向量及其线性运算（人教A版 3.1.1+3.1.2部分内容） 教学内容解析： 本节课的教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-1）》（人教A 版）第3章“空间向量与立体几何”第1节“空间向量及其加减运算”和第2节“空间向量的数乘运算”的部分内容。 向量是既有大小又有方向的量，既能像数一样进行运算本身又是一个“图形”所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁在很多数学问题的解决中有着重要的应用。本章要学习的空间向量将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。本小节的主要内容可分为两部分一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，本课作为章节的起始课，是学生学习了平面向量的基础之后展开的，经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫，起到承前启后的作用。教学过程中应充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质，引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高数学素养。 学情分析： 1.学生已经学习过平面向量的概念及其相关运算，为本节空间向量及其线性运算的学习打下了坚实的知识基础。 2.学生在探究问题以及合作交流的意识等方面，发展不够均衡，尚有待加强，必须在教师一定的指导下才能进行。 教学目标： 1.知识与技能目标： （1）了解空间向量的概念； （2）掌握空间向量的加减数乘运算； （3）掌握空间向量的运算律。 2.过程与方法目标： （1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法； （2）会用图形说明空间向量加法，减法，数乘向量及它们的运算律； （3）用空间向量的运算及运算律解决简单的立体几何问题。 3.情感态度价值观目标： （1）形成事物与事物之间普遍联系及其相互转化的辨证观点； （2）通过变式训练，提高学生对事物个性与共性之间联系的认识水平。 教学重点： 空间向量的线性运算； 教学难点： 体会类比的数学方法；（平面向量向空间向量的推广过程中学生对于其相同点与不同点的理解有一定的困难）