华东师大版：全等三角形的概念和性质

全等三角形的概念和性质

1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素.

2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.

一、全等形

形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.

要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.

二、全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.

三、对应顶点，对应边，对应角

1. 对应顶点，对应边，对应角定义

两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.

要点诠释：

在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC△△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；△A和△D，△B和△E，△C和△F是对应角.

2. 找对应边、对应角的方法

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

（3）有公共边的，公共边是对应边；

（4）有公共角的，公共角是对应角；

教学目标

学习内容

知识梳理

（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；

（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.

四、全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等；

全等三角形的对应角相等.

要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.

例1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】A 【变式】如图，在5个条形方格图中，图中由实线围成的图形与△全等的有______________.

【答案】△、△；提示：找与△形状、大小相同的图形.

类型二、全等三角形的对应边，对应角

例2、如图，△ABN△△ACM ，△B 和△C 是对应角，AB 与AC 是对应边，写出其他对应边和对应角.

例题讲解

【答案与解析】对应边：AN 与AM ，BN 与CM

对应角：∠BAN 与∠CAM ， ∠ANB 与∠AMC

【变式】如图，△ABD ≌△ACE ，AB ＝AC ，写出图中的对应边和对应角.

【答案】AB 和AC 是对应边，AD 和AE 、BD 和CE 是对应边，△A 和△A 是对应角，△B 和△C ，△ADB

和△AEC 是对应角.

类型三、全等三角形性质

例3、已知：如图所示，Rt△EBC 中，△EBC ＝90°，△E ＝35°.以B 为中心，将Rt△EBC 绕点B 逆时针旋转

90°得到△ABD ，求△ADB 的度数.

解：△Rt△EBC 中，△EBC ＝90°，△E ＝35°，

△△ECB ＝________°.

△将Rt△EBC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ABD ，

△△________△△_________.

△△ADB ＝△________＝________°.

【答案】55；ABD ，EBC ；ECB ，55

例4、如图，把△ABC 绕C 点顺时针旋转35°，得到△A B C ''，A B ''交AC 于点D ，则AB D '∠= °．

【答案】35°；

【变式】 如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若AC A B ''⊥，

则BAC ∠的度数是____________.

【答案】70°；

提示：BAC ∠＝△B A C ''＝90°－20°＝70°.

一、选择题 1. 如图，△ABC ≌△ECD ，AB 和EC 是对应边，C 和D 是对应顶点，则下列结论中错误的是（ ）

A. AB ＝CE

B. ∠A ＝∠E

C. AC ＝DE

D. ∠B ＝∠D

2. 如图，△ABC ≌△BAD ，A 和B ，C 和D 分别是对应顶点，若AB ＝6cm ，AC ＝4cm ，BC ＝5cm ，则AD 的长为（ ）

A. 4cm

B. 5cm

C. 6cm

D. 以上都不对

3. 下列说法中正确的有（ ）

△形状相同的两个图形是全等图形 △对应角相等的两个三角形是全等三角形 △全等三角形的面积相等 △若△ABC△△DEF ，△DEF △△MNP ，△ABC△△MNP.

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

4. 如图,△ABE△△ACD,△B ＝50°,△AEC ＝120°,则△DAC 的度数等于( )

A.120°

B.70°

C.60°

D.50°

5. 已知△ABC△△DEF ，BC ＝EF ＝6cm ，△ABC 的面积为18平方厘米，则EF 边上的高是（ ） 综合题库

A.6cm

B.7cm

C.8cm

D.9cm

6. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 分别为折痕，则△CBD 的度数为（ ）

A ．60°

B ．75°

C ．90°

D ．95°

二、填空题

7. 如图，在△ABC 中，AC ＞BC ＞AB ，且△ABC△△DEF ，则在△DEF 中，

______＜______＜_______(填边).

8. 如图，△ABC ≌△AED ，AB ＝AE ，∠1＝27°，则∠2＝___________.

9. 已知△DEF△△ABC ，AB ＝AC ，且△ABC 的周长为23cm ，BC ＝4cm ，则△DEF 的边中必有一条边等于______.

10. 如图，如果将△ABC 向右平移CF 的长度，则与△DEF 重合，那么图中相等的线段有__________；若△A

＝46°，则△D ＝________.

11.已知△ABC△△'''A B C ，若△ABC 的面积为10 2cm ，则△'''A B C 的面积为________ 2cm ，若△'''A B C 的周长为16cm ，则△ABC 的周长为________cm ．

12. △ABC 中，△A△△C△△B ＝4△3△2，且△ABC△△DEF ，则△DEF ＝______ .

三、解答题

13.如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A ＝30°，∠B ＝50°，BF ＝2，求∠DFE 的度数与EC 的长.

F E D

C B A

14.已知：如图，△ABC△△DEF，且B，E，C，F四点在一条直线上，△A＝85°,△B＝60°，AB＝8，EH＝2.

（1）求△F的度数与DH的长；

（2）求证：AB△DE.

（1）解：△△A＝85°，△B＝60°，

△△ACB＝180°－△______－△______＝______°.

△△________△△ABC，

△_______＝AB（）

△________＝△ACB＝_____°（）

△AB＝8，EH＝2，

△DH＝DE－HE＝______－HE ＝_______.

（2）证明：△△________△△_________，

△△______＝△______（）

△_____△_______（）

15. 如图，E为线段BC上一点，AB△BC，△ABE△△ECD.判断AE与DE的关系，并证明你的结论.

【答案与解析】

一.选择题

1. 【答案】D；

2. 【答案】B；【解析】AD与BC是对应边，全等三角形对应边相等.

3. 【答案】C；【解析】③和④是正确的；

4. 【答案】B；【解析】由全等三角形的性质，得△BAD＝△CAE＝10°，△BAC＝80°，所以△DAC＝70°.

5. 【答案】A；【解析】EF边上的高＝182

6 6

?

=；

6. 【答案】C；【解析】折叠所成的两个三角形全等，找到对应角可解.

二.填空题

7.【答案】DE EF DF；

8.【答案】27°；

9. 【答案】4cm或9.5cm；【解析】DE＝DF＝9.5cm，EF＝4cm；

10.【答案】AB＝DE、AC＝DF、BC＝EF、BE＝CF，46°；

11.【答案】10，16；【解析】全等三角形面积相等，周长相等；

12.【答案】40°；【解析】见“比例”设k，用三角形内角和为180°求解.

三.解答题

13.解：在△ABC中，

∠ACB＝180°－∠A－∠B，

又∠A＝30°，∠B＝50°，

所以∠ACB＝100°.

又因为△ABC≌△DEF，

所以∠ACB＝∠DFE，BC＝EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）

所以∠DFE＝100°

EC＝EF－FC＝BC－FC＝BF＝2.

14. （1）A，B，35；DEF；DE，全等三角形对应边相等；F，35，全等三角形的对应角相等；AB，6

（2）ABC，DEF；B，DEF，全等三角形的对应角相等；AB，DE，同位角相等，两直线平行. 15. 【解析】AE＝DE ,且AE△DE

证明：△△ABE△△ECD，

△△B＝△C，△A＝△DEC，△AEB＝△D，AE＝DE

又△AB△BC

△△A＋△AEB＝90°，即△DEC＋△AEB＝90°

△AE△DE

△AE与DE垂直且相等.