北师大版七年级数学全册(上下册)知识点整理

北师大版七年级全册数学定理知识点汇总

北师大数学七年级上册

第一章丰富的图形世界

单元备注：

学生易错点：1、图形的展开与折叠2、“三视图”判断图形个数

1、几何图形

1.1从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。

1.2立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。

1.3平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。

2、点、线、面、体

2.1几何图形的组成

点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

2.2点动成线，线动成面，面动成体。

3、生活中的立体图形

圆柱

柱

生活中的立体图形球棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、……

(按名称分) 锥圆锥

棱锥

4、棱柱及其有关概念

4.1棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。

侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。

4.2n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。

5、正方体的平面展开图：11种

侧面是曲面底面是圆面圆柱，:??

?侧面是正方形或长方形底面是多边形

棱体柱体，:侧面是曲面底面是圆面

圆锥，:??

?侧面都是三角形底面是多边形

棱锥锥体，

:

6、截一个正方体

用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。

7、三视图

物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。

主视图：从正面看到的图，叫做主视图。 左视图：从左面看到的图，叫做左视图。 俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。

8、多边形

8.1 由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形，叫做多边

形。

8.2 从一个n 边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n

边形分割成（n-2）个三角形。 8.3 弧：圆上A 、B 两点之间的部分叫做弧。

8.4 扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

Tips:

1.

2.

3. 球体：由球面围成的（球面是曲面）

4. 几何图形是由点、线、面构成的。

几何体与外界的接触面或我们能看到的外表就是几何体的表面。几何的表面有

平面和曲面； 面与面相交得到线；

线与线相交得到点。

5.棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱。

6.侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱

．．，所有侧棱长都相等。

7.棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是长方形。

8.根据底面图形的边数，人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们

底面图形的形状分别为三边形、四边形、五边形、六边形……

9.长方体和正方体都是四棱柱。

10.圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。

11.圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成。

12.设一个多边形的边数为n(n≥3，且n为整数)，从一个顶点出发的对角线有(n-3)条；

可以把n边形成(n-2)个三角形；这个n边形共有

2)3

(

n

n

条对角线。

13.圆上两点之间的部分叫做弧．，弧是一条曲线。

14.扇形，由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形。

15.凸多边形和凹多边形都属于多边形。有弧或不封闭图形都不是多边形。

第二章有理数及其运算

单元备注：

1.数轴是新知识很多地方用到

2.去绝对值与绝对值的几何意义很很总要有些学生在去绝对值和绝对值几何意义做

题比较容易出错（去绝对值的主要数学思想是“分情况讨论”这也是贯穿初高中

的一个重要数学思想）

3.有理数混合运算中去去括号变号很多同学容易在这块丢分

1、有理数的分类：

正有理数

有理数零有限小数和无限循环小数

负有理数

或整数

有理数

分数

2、相反数：

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零

3、数轴：

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴

画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可

任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示

——解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。

4、倒数：

如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立 倒数等于本身的数是1和-1 零没有倒数

5、绝对值：

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值（|a|≥0） 零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

6、有理数比较大小：

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数 数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大 两个负数，绝对值大的反而小。

7、有理数的运算 ：

7.1 五种运算：加、减、乘、除、乘方

7.2 有理数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括

号里面的 7.3 运算律：

加法交换律 a b b a +=+

加法结合律 )()(c b a c b a ++=++ 乘法交换律 ba ab = 乘法结合律 )()(bc a c ab = 乘法对加法的分配律 ac ab c b a +=+)(

Tips:

1. 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。

2. 任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有

的点都表示有理数）

3. 如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两

个数互为相反数。（0的相反数是0）

4. 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。

5. 数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左

边。

6. 绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。数a 的

绝对值记作|a|。

7. 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。

??

?

??<-=>)

0()0(0)

0(||a a a a a a 或 ???<-≥)0()0(||a a a a a

8. 绝对值的性质：

除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数； 互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等； 任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0

9. 比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下：

先求出两个数负数的绝对值； 比较两个绝对值的大小；

根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。 10. 绝对值的性质：

对任何有理数a ，都有|a|≥0 若|a|=0，则|a|=0，反之亦然 若|a|=b ，则a=±b

对任何有理数a,都有|a|=|-a| 11. 有理数加法法则：

同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加

异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，

并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值 一个数同0相加，仍得这个数

12. 加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。 13. 灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：

互为相反的两个数，可以先相加 符号相同的数，可以先相加 分母相同的数，可以先相加 几个数相加能得到整数，可以先相加

14. 有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 15. 有理数减法运算时注意两“变”：

改变运算符号

改变减数的性质符号（变为相反数）

有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数与减数的位置不能变换，也就是说，

减法没有交换律

16. 有理数的加减法混合运算的步骤：

写成省略加号的代数和。在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转

化为加法，然后再省略加号和括号

越来越大

利用加法则，加法交换律、结合律简化计算

注意：减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应

变成它本身的相反数

17. 有理数乘法法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘 任何数与0相乘，积仍为0

如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1

乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用 18. 有理数乘法运算步骤：

先确定积的符号； 求出各因数的绝对值的积。 19. 乘积为1的两个有理数互为倒数。

零没有倒数

求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数 20. 有理数除法法则：

两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 0除以任何非0的数都得0。0不可作为除数，否则无意义 21. 有理数的乘方

一个数可以看作是本身的一次方，如5=51

当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数 22. 乘方的运算性质：

正数的任何次幂都是正数

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 任何数的偶数次幂都是非负数

1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0 -1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1

在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。 23. 有理数混合运算法则：

先算乘方,再算乘除,最后算加减 如果有括号,先算括号里面的

第三章 字母表示数

单元备注：

这章算是这册比较难的一个知识点。一是对同类项的理解二十运算。学生容易出错的

=

???? a

n a a a a 个

地方大多在化简计算，有几点：

1.是化简计算过程中去括号变号

2.化简求值中“整体思想”的运用

3.化简计算中一个字母表示另个字母带入换算

1、代数式

用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。

2、同类项

所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。

3、合并同类项法则

把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

4、去括号法则

括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。

括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。

5、整式的运算

整式的加减法：去括号；合并同类项。

Tips:

1.代数式的概念：用运算符号（加、减、乘除、乘方、开方等）把数与表示数的字母

连接而成的式子叫做代数式

．．．。单独的一个数或一个字母也是代数式

代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号

代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式

代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义

2.代数式的书写格式：

代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；

数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；

带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后与字母相乘，如

a

3

1

2

应

写作

a 3 7

数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略

在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如4÷（a-4）应写作

44

-a ；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用

在表示和（或）差的代差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，

再将单位名称写在式子的后面，如

)(22b a -平方米 3. 代数式的系数：代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数．．．．．．

。如3x,4y 的系数分别为3，4。

单个字母的系数是1，如a 的系数是1

只含字母因数的代数式的系数是1或-1，如-ab 的系数是-1。a3b 的系数是1 4. 代数式的项：代数式7262--x x 表示6x 2、-2x 、-7的和，6x 2、-2x 、-7是它的项，

其中把不含字母的项叫做常数项——在交待某一项时，应与前面的符号一起交待 5. 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项

判断几个代数式是否是同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指

数也相同。这两个条件缺一不可

同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关 几个常数项也是同类项

6. 合差同类项：把代数式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类项的理论根据是逆用乘法分配律

合并同类项的法则是把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的

指数不变

如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后结果为0 不是同类项的不能合并，不能合并的项，在每步运算中都要写上 只要不再有同类项，就是最后结果，结果还是代数式

7. 根据去括号法则去括号：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里

各项都不改变符号；括号前面是“－”号去掉，括号里各项都改变符号

8. 根据分配律去括号：括号前面是“+”号看成+1，括号前面是“－”号看成-1，根据乘

法的分配律用+1或-1去乘括号里的每一项以达到去括号的目的 去括号时，要连同括号前面的符号一起去掉； 去括号时，首先要弄清楚括号前是“+”号还是“－”号； 改变符号时，各项都变号；不改变符号时，各项都不变号。

第四章 平面图形及位置关系

单元备注：

这一章重要是为后面几何打基础，重点在于： 1. 重点在平行的性质与证明

2.同旁内角、内错角、同位角的定义（这个有些学生在开始的时候会出现小失误后

面没什么问题）

3.垂线的性质与判定

1、线段

绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。线段有两个端点。

2、射线

将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点。

3、直线

将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。

4、点、直线、射线和线段的表示

在几何里，我们常用字母表示图形：

一个点可以用一个大写字母表示

一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示

一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面）

一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示

5、点和直线的位置关系有两种

点在直线上，或者说直线经过这个点

点在直线外，或者说直线不经过这个点

6、直线的性质

直线公理：经过两个点有且只有一条直线。

过一点的直线有无数条。

直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。

直线上有无穷多个点。

两条不同的直线至多有一个公共点。

7、线段的性质

线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。

两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

线段的中点到两端点的距离相等。

线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。

8、线段的中点

点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。

9、角

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。

或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。

10、平角和周角

一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。

11、角的表示

角的表示方法有以下四种：

用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。

用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。

用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。

用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。

?注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写

在两侧。

12、角的度量

角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。

把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。

把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。

1°=60’，1’=60”

13、角的性质

角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关

角的大小可以度量，可以比较

角可以参与运算

14、角的平分线

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

15、平行线

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。

平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交

当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行

16、平行线公理及其推论

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

补充平行线的判定方法：

（1）平行于同一条直线的两直线平行。

（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。

（3）平行线的定义。

17、垂直

两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。

18、垂线的性质

平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

19、点到直线的距离

过A点作l的垂线，垂足为B点，线段AB的长度叫做点A到直线l的距离。

20、同一平面内，两条直线的位置关系：

相交或平行。

Tips:

一、线段、射线、直线

1.正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别：

2.直线公理:经过两点有且只有一条直线.

二、比较线段的长短

1.线段公理:两点间线段最短；两之间线段的长度叫做这两点之间的距离

2.比较线段长短的两种方法

圆规截取比较法

刻度尺度量比较法

3. 用刻度尺可以画出线段的中点，线段的和、差、倍、分

4. 用圆规可以画出线段的和、差、倍. 三、角的度量与表示

1. 角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两

条射线叫做角的边。 2. 角的表示法：角的符号为“∠”

用三个字母表示，如图1所示∠AOB 用一个字母表示，如图2所示∠b 用一个数字表示，如图3所示∠1 用希腊字母表示，如图4所示∠β

3. 经过两点有且只有一条直线

4. 两点之间的所有连线中，线段最短

5. 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离

6. 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。如图5所示

7. 一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。如图

6所示

8. 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角。如图7所示

9. 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个

角的平分线

10. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 11. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行 12. 互相垂直的两条直线的交点叫做垂足

13. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

14. 如图8所示，过点C 作直线AB 的垂线，垂足为O 点，线段CO 的长度叫做点C

到直线AB 的距离

A

O

B

图1

b 图2

1 图3

β 图

4

图

5

图6

图8

B

第五章 一元一次方程

1、方程

含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解

能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

3、等式的性质

等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。

等式的两边同时乘以同一个数（（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。

4、一元一次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。

5、解一元一次方程的一般步骤：

1. 去分母

2. 去括号

3. 移项（把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边）

4. 合并同类项

5. 将未知数的系数化为1

Tips:

1. 在一个方程中，只含有一个未知数x （元），并且未知数的指数是1（次），这样的

方程叫做一元一次方程

2. 等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式

3. 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式

4. 解方程的步骤：解一元一次方程，一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、

未知数的系数化为1等几个步骤，把一个一元一次方程“转化”成x=m 的形式

第六章 生活中的数据

1、科学记数法

一般地，一个大于10的数可以表示成n

a 10?的形式，其中101<≤a ，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。

2、扇形统计图及其画法：

扇形统计图：利用圆与扇形来表示总体与部分的关系，即圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。

扇形统计图画法：

i.计算不同部分占总体的百分比（在扇形中，每部分占总体的百分比等于该部分所

对应的扇形圆心角的度数与360的比）。

ii.计算各个扇形的圆心角（顶点在圆心的角叫做圆心角）的度数。

iii.在圆中画出各个扇形，并标上百分比。

3、各种统计图的特点

条形统计图：能够清晰地反映每个项目的具体数目及之间的大小关系

折线统计图：能够清晰地反映同一事物在不同时期的变化情况

扇形统计图：能够清晰地表示各部分在总体中所占的百分比及各部分之间的大小关系

Tips:

1.科学记数法：一般地，一个大于10的数可以表示成a×10n的形式，其中1≤a<10，

n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。

2.统计图对统计的作用：

可以清晰有效地表达数据

可以对数据进行分析

可以获得许多的信息

可以帮助人们作出合理的决策

第七章可能性

1、确定事件和不确定事件

1.1确定事件

必然事件：生活中，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这些事情称为必然事件。

不可能事件：有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。

1.2不确定事件：

有些事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件

必然事件

确定事件

事件不可能事件

不确定事件

2、不确定事件发生的可能性

一般地，不确定事件发生的可能性是有大小的 必然事件发生的可能性是1

不可能事件发生的可能性是0

七年级下册

第一章 整式的运算

单项式

式 多项式 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方

同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减 单项式与单项式相乘

单项式与多项式相乘 整式的乘法 多项式与多项式相乘 平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法

多项式除以单项式

1、单项式

1) 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。 2) 都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

3) 单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面

的性质符号，如果一个单项式只是字母的积，并非没有系数。 4) 一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。 5) 单独一个数或一个字母也是单项式。 6) 只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。 7) 单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。 8) 单独的一个非零常数的次数是0。

9) 单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。 10) 单项式的系数包括它前面的符号。 11) 单项式的系数是带分数时，应化成假分数。 12) 单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。 13) 单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

2、多项式

1) 几个单项式的和叫做多项式。

2) 多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。 3) 多项式中不含字母的项叫做常数项。 4) 一个多项式有几项，就叫做几项式。 5) 多项式的每一项都包括项前面的符号。 6) 多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7) 多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

8) 单项式和多项式都有次数，含有字母的单项式有系数,多项式没有系数多项式的每

一项都是单项式,一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数.多项式中每一项都有它们各自的次数,但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数,一个多项式的次数只有一个,它是所含各项的次数中最高的那一项次数。

3、整式

??

??????其他代数式多项式单项式整式代数式

1) 单项式和多项式统称为整式。 2) 单项式或多项式都是整式。 3) 整式不一定是单项式。 4) 整式不一定是多项式。

5) 分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。

4、整式的加减

1) 整式的加减实质上就是去括号后,合并同类项,运算结果是一个多项式或是单项式. 2) 括号前面是“－”号,去括号时,括号内各项要变号,一个数与多项式相乘时,这个数

与括号内各项都要相乘.

3) 整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配律。 4) 几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。 5) 几个整式相加减的一般步骤：

a) 列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。 b) 按去括号法则去括号。 c) 合并同类项。 6) 代数式求值的一般步骤：

a) 代数式化简。 b) 代入计算

c) 对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。

5、同底数幂的乘法

1) n 个相同因式（或因数）a 相乘，记作a n ，读作a 的n 次方（幂），其中a 为底数，

n 为指数，a n 的结果叫做幂。

2) 底数相同的幂叫做同底数幂。

3) 同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：am ﹒

an=am+n 。

4) 此法则也可以逆用，即：am+n = am ﹒an 。

5) 开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数

幂再运用法则。

6) 同底数幂的乘法法则: (m,n 都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运

算时,要注意以下几点：

a) 法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a 可以是一个具

体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式； b) 指数是1时，不要误以为没有指数；

c) 不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就

可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加； d) 当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为p

n m p

n

m

a

a a a ++=??（其

中m 、n 、p 均为正数）； e) 公式还可以逆用：n m n

m a a a

?=+（m 、n 均为正整数）

6、幂的乘方与积的乘方

1) 幂的乘方是指几个相同的幂相乘。（a m ）n 表示n 个a m 相乘。 2) 幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（a m ）n =a mn 。 3) 幂的乘方法则：mn

n m a

a =)((m,n 都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但

两者不能混淆.

4)

),()()(都为正数n m a a a m n m n n m ==. 5) 底数有负号时,运算时要注意,底数是a 与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化

成同底，

如将（-a ）3

化成-a 3

???-=-).

(),

()(,为奇数时当为偶数时当一般地n a n a a n

n n

6) 底数有时形式不同，但可以化成相同。

7) 要注意区别（ab ）n 与（a+b ）n 意义是不同的，不要误以为（a+b ）n =a n +b n （a 、b

均不为零）。

8) 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。

9) 积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂

相乘。即（ab ）n =a n b n （n 为正整数）。

10) 幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用，a mn =（a m ）n =（a n ）m 。

Tips 、三种“幂的运算法则”异同点

1) 共同点：

a) 法则中的底数不变，只对指数做运算。

b) 法则中的底数（不为零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项

式或多项式）。

c) 对于含有3个或3个以上的运算，法则仍然成立。 2) 不同点：

a) 同底数幂相乘是指数相加。 b) 幂的乘方是指数相乘。

c) 积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。

7. 同底数幂的除法

1) 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即n

m n

m

a

a a -=÷ (a

≠0,m 、n 都是正数,且m>n). 2) 在应用时需要注意以下几点:

a) 法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a ≠

0。

b) 任何不等于0的数的0次幂等于1,即

)0(10≠=a a ,如1100=,(-2.50=1),则00无意义。

c) 任何不等于0的数的-p 次幂(p 是正整数),等于这个数的p 的次幂的倒数,即

p p a a 1

=

-( a ≠0,p 是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a-p 的

值一定是正的; 当a<0时,a-p 的值可能是正也可能是负的,如

41(-2)2-=

,81)2(3-=--

d) 运算要注意运算顺序。

8. 整式的乘法

8.1 单项式乘法

1) 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个

单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 2) 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：

a) 积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的

错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； b) 相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；

c) 只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；

d) 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； e) 单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。 8.2 单项式与多项式相乘

1) 单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项

式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

2) 单项式与多项式相乘时要注意以下几点：

a) 单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； b) 运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； c) 在混合运算时，要注意运算顺序。 8.3 多项式与多项式相乘

1) 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，

再把所得的积相加。

2) 多项式与多项式相乘时要注意以下几点：

a) 多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，

积的项数应等于原两个多项式项数的积； b) 多项式相乘的结果应注意合并同类项；

c) 对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘

ab x b a x b x a x +++=++)())((2，其二次项系数为1，一次项系数等于两

个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式（mx+a ）和（nx+b ）相乘可以得到

ab x ma mb mnx b nx a mx +++=++)())((2

9、平方差公式

1) 平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，

即22))((b a b a b a -=-+。 2) 其结构特征是：

a) 公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反

数；

b) 公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。 3) 平方差公式中的a 、b 可以是单项式，也可以是多项式。 4) 平方差公式可以逆用，即：a 2

-b 2

=（a+b ）(a-b)。

5) 平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成 6) （a+b ）?(a-b)的形式，然后看a 2

与b 2

是否容易计算。

10、完全平方公式

1) 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们