高二数学立体几何试题及答案
【模拟试题】
一. 选择题（每小题5分，共60分） 1. 给出四个命题：
①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；
②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④长方体一定是正四棱柱。 其中正确命题的个数是（） A. 0 B. 1
C. 2
D. 3
2. 下列四个命题：
①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ③棱锥的所有面可能都是直角三角形； ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。 正确的命题有________个
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（） A. 12
B. 24
C. 214
D. 414
4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm ，深为8cm 的空穴，则该球的半径是（） A. 8cm
B. 12cm
C. 13cm
D. 82cm
5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（）
A. 122+π
π
B. 144+ππ
C.
12+π
π
D. 142+ππ
6. 已知直线l m ⊥?平面，直线平面αβ，有下面四个命题：
①αβ//?⊥l m ；②αβ⊥?l m //；③l m //?⊥αβ；④l m ⊥?αβ//。 其中正确的两个命题是（） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③ 7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（） A. 63cm
B. 6cm
C. 2182
D. 3123
8. 设正方体的全面积为242
cm ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（） A.
63πcm
B. 32
33
πcm C. 8
33
πcm
D. 4
33
πcm
9. 对于直线m 、n 和平面αβ、能得出αβ⊥的一个条件是（） A. m n m n ⊥，，////αβ B. m n m n ⊥=?，，αβα C. m n n m //，，⊥?βα
D. m n m n //，，⊥⊥αβ
10. 如果直线l 、m 与平面αβγ、、满足：l l m m =?⊥βγααγ ，，，//，那么必有（） A. αγ⊥⊥和l m
B. αγβ////，和m
C. m l m //β，且⊥
D. αγαβ⊥⊥且
11. 已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面
体的体积与正方体的体积之比为（） A. 13：
B. 12：
C. 2：3
D. 1：3
12. 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（）
二. 填空题（每小题4分，共16分）
13. 正方体的全面积是a 2
，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是__________。
14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为143
cm ，则棱台的高为____________。
15. 正三棱柱的底面边长为a ，过它的一条侧棱上相距为b 的两点作两个互相平行的截面，在这两个截面间的斜三棱柱的侧面积为____________。
16. 已知αβ、是两个不同的平面，m 、n 是平面αβ及之外的两条不同的直线，
给出四个论断：
①m ⊥n ，②αβ⊥，③n ⊥β，④m ⊥α。
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______________。
三. 解答题（共74分）
17. （12分）正方体ABCD A B C D -1111中，E 、F 、G 分别是棱DA 、DC 、DD 1的中点，试找出过正方体的三个顶点且与平面EFG 平行的平面，并证明之。 18. （12分）球内有相距1cm 的两个平行截面，截面的面积分别是
5822ππcm cm 和，球心不在截面之间，求球的表面积与体积。
19. （12分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱锥的表面积。
20. （12分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的3
2，这个梯形
绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积是（52+）π，求这个旋转体的体积。
21. （12分）有一块扇形铁皮OAB ，∠AOB=60°，OA=72cm ，要剪下来一个扇形ABCD ，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面）。（如图）试求 （1）AD 应取多长？ （2）容器的容积。
22. （14分）如图，正四棱柱ABCD A B C D -1111中，底面边长为22，侧棱长
为4，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，EF BD G =。 （1）求证：平面B EF BDD B 11⊥平面； （2）求点D 1到平面B EF 1的距离d ； （3）求三棱锥B EFD 11-的体积V 。
【试题答案】 一. 1. B 2. B
3. C
4. C
5. A
6. D
7. B
8. D
9. C
10. A
11. D
12. B
二.
13. π2
2
a 14. 2cm 15. 3ab
16. m n m n m n m n ⊥⊥⊥?⊥⊥⊥⊥?⊥，，（或，，）αβαβαβαβ 三.
17. 证明：过A C D 、、1的平面与平面EFG 平行，由E 、F 、G 是棱DA 、DC 、
DD 1的中点可得GE//AD 1，GF//CD 1，GE ?平面EFG ，GF ?平面EFG
∴AD 1//平面AEG ，CD 1//平面EFG 又AD CD D 111 = ∴平面EFG//平面ACD 1
18. 解：如图，设两平行截面半径分别为r r r r 1221和，且>
依题意，
ππππr r 122258==， ∴===-=-=
-=
-r r OA OA R OO R r R OO R r R 122212121222222258
58，和都是球的半径
∴---==∴=∴===
=R R R R S R cm V R cm 222222
35819
3
4364336解得球球ππππ()()
19. 解：由三视图知正三棱锥的高为2mm 由左视图知正三棱锥的底面三角形的高为23mm
设底面边长为a ，则
3
2234
a a =∴=
∴正三棱柱的表面积
S S S mm =+=??+?
??=+侧底234221
242324832()
20. 解：如图，梯形ABCD ，AB//CD ，∠A=90°，∠B=45°，绕AB 边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体。
设
CD x AB x ==
，32
AD AB CD x BC x =-=
=222，
S S S S 全面积圆柱底圆柱侧圆锥侧
=++
=?+??+??=?+??+??=+πππππππAD AD CD AD BC x x x x x
x
222242222
2524
根据题设52
4522
2+?=+=ππx x ()，则
所以旋转体体积
V AD CD AD AB CD =??+
?-ππ
223
()
=??+??-=ππ
π123
1327
3
22()
21. 解：如图，设圆台上、下底面半径分别为r 、R 、AD=x ，则OD x =-72
由题意得
AB R
CD r x
OD x R
⌒
⌒
==
?
?
==
?
?-
=-=
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
2
60
180
72
2
60
180
72
723
π
π
π
π
()
∴===
R r x
12636
，，
∴=
AD cm
36
（2）又圆台的高h=x R r
2222
36126635
--=--=
()()
∴=++
V h R Rr r
1
3
22
π()
=??+?+
=
1
3
635121266
50435
22
3
π
π
()
()
cm
22. 证明：（1）如图，连结AC
∵正四棱柱ABCD A B C D
-
1111的底面呈正方形
∴AC⊥BD