2015年山东高考数学文科试卷带详细讲解

2015年高考数学卷（文科）

第一卷(共50分)

一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只

有

一项是符合要求的.

1. 已知集合A ={x | 2

A . (1 , 3)

B . (1 , 4)

C . (2 , 3) D. (2 , 4) 【参考答案】C

【测量目标】集合交集及其运算，简单不等式的解法. 【试题分析】因为B ={x |1

i 1i

z

=- ，其中i 为虚数单位，则z =( ) A . 1－i B . 1+i C . －1－i D . －1+i 【参考答案】A

【测量目标】共轭复数及其运算.

【试题分析】 由题意得z =i(1－i)=1+i,所以，z =1－i,故选A. 3. 设a =0.60.6，b =0.61.5,c =1.50.6,则a ,b ,c 的大小关系是（ ） A. a

【测量目标】指数函数的性质以及函数值比较大小.

【试题分析】由y =0.6x 在区间（0，+∞）是单调减函数可知，0<0.6

1.5

<0.6

0.6

<1,又1.5

0.6

>1,

故选C.

4.要得到函数y =sin(4x －

π

3

)的图象，只需要将函数y =sin4x 的图象 （ ） A. 向左平移π12个单位 B. 向右平移π

12个单位

C. 向左平移π3个单位

D.向右平移π

3

个单位

【参考答案】B

【测量目标】三角函数图象的变换. 【试题分析】因为y =sin(4x －π3)=sin4(x －π

12

),所以，只需将函数y =sin4x 的图象向右平移

π

12

个单位，故选B. 5. 设m ∈R ,命题“若m >0,则方程x 2

+x －m =0有实根”的逆否命题是（ ） A.若方程x 2

+x －m =0有实根，则m >0

B.若方程x2+x－m=0有实根,则m≤0

C.若方程x2+x－m=0没有实根，则m>0

D.若方程x2+x－m=0没有实根, 则m≤0

【参考答案】D

【测量目标】命题的四种形式.

【试题分析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D.

6. 为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图。考虑以下结论：

第6题图

①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温;

②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；

③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；

④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差；

其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（）

A. ①③

B. ①④

C. ②③

D. ②④

【参考答案】B

【测量目标】茎叶图，平均数，方差，标准差.

【试题分析】甲地数据为：26,28,29,31,31；乙地数据为：28,29,30,31,32；

所以，x

甲

=

26+28+29+31+31

5

=29，x

乙

=

28+29+30+31+32

5

=30，

2

s

甲

=

1

5

[（26－29）2+（28－29）2+（29－29）2+（31－29）2+（31－29）2] =3.6，

2

s

乙

=

1

5

[（28－30）2+(29－30)2+(30－30)2+(31－30)2+(32－30)2]=2, 即正确的有

①④，故选B.

7. 在区间[0,2]上随机的取一个数x,则事件“－1≤

1

2

1

log()1

2

x+≤”发生的概率为（） A.

3

4

B.

2

3

C.

1

3

D.

1

4

【参考答案】A

【测量目标】几何概型以及对数函数的性质.

【试题分析】由－1

1

2

1

log()1

2

x+

≤≤得，

111

222

11

log2log()log,

22

x+

≤≤

11

2,

22

x+

≤≤

302x ≤≤，所以由几何概型概率的计算公式得，P =30

32204

-=-, 故选A.

8. 若函数21

()2x x f x a

+=-是奇函数，则使()3f x >成立的x 的取值围为（ ）

A. (－∞,－1)

B. (－1，0)

C.(0，1)

D.(1，+∞) 【参考答案】C

【测量目标】函数的奇偶性以及指数运算.

【试题分析】由题意()(),f x f x =--即-212+1

,22x x x

x a a -+=---所以1(222)0x x a --++=（）,所以a =1,21(),21x x

f x +=-由21

()321

x x f x +=>-得，22,x <则1,x <又因为210,x ->则0,x >所以01,x <<故选C.

9.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而

形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）

A.

3

B.3

C.

D. 【参考答案】B

【测量目标】旋转体的几何特征以及几何体的体积.

【试题分析】由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为

旋转体为同底等高的全等圆锥，所以其体积为2

1π3

3

?

?，故选B. 10. 设函数3,1()2,1

x x b x f x x -

(())4,6f f b ==则（ ）

A. 1

B.

78 C. 34 D. 1

2

【参考答案】D

【测量目标】分段函数以及函数与方程.

【试题分析】 由题意，555()3,662f b b =?-=-由5

152

(())4,563()42

b f f b b ?-

5

2

5

11

2,

2

24

b

b

b

-

?

-

?

=

?

?

=

?

≥

解得，故选D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 执行右边的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是________.

第11题图

【参考答案】13

【测量目标】算法与程序框图.

【试题分析】第一次执行程序，满足条件2,112;

x x

<=+=第二次执行程序，不满足条件2

2,32113,13,

x y y

<=?+==

输出结束答案为13.

12.若,x y满足约束条件

1

3,

1

y x

x y

y

-

?

?

+

?

?

?

≤

≤

≥

则3

z x y

=+的最大值为____________.

【参考答案】7

【测量目标】简单线性规划.

【试题分析】画出可行域及直线30,

x y

+=平移直线30,

x y

+=当其经过点A(1，2)时，直线的纵截距最大，所以3

z x y

=+最大值为1327.

z=+?=

第12题图

13.过点P(1，3)作圆221

x y

+=的两条切线，切点分别为A,B则PA PB

?=__________.

【参考答案】

32

【测量目标】直线与圆的位置关系以及平面向量的数量积.

【试题分析】 如图，连接PO,在直角三角形

PAO 中，OA =1,PA=3,所以， 3tan 3

APO ∠=

, cos APB ∠=

2

2

2

2

31(

)

1tan 131+tan 23

1()APO APO --∠==∠+,故PA PB ? =cos PA PB APB ?∠=33??12.

第13题图

14.定义运算“?”：2

2

(,x y x y x y xy

-?=∈R,0xy ≠)当0,0(2)x y x y y x

>>?+?时，的最小值是___________. 2【测量目标】新定义运算以及基本不等式.

【试题分析】由新定义运算知，2222

(2)4(2),(2)2y x y x y x y x xy

--?=

=因为0,0,x y >>所以 2222224222(2)+2

22x y y x x y xy

x y y x xy xy xy --+?+?===≥，当且仅当

2(2)x x y y x =?+?时， 2.

15.过双曲线C :22

221(0,0)x y a b a a

-=>>的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点

P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为_______________.

【参考答案】3

【测量目标】双曲线的几何性质与直线方程.

【试题分析】双曲线22

221x y a a

-=的右焦点为（c ,0）,不妨设所作直线与双曲线的渐近线

b y x a =平行，

其方程为()b

y x c a =-，代入22221x y a a -=,求得点P 的横坐标为22,2a c x c +=

由222,2a c x a c +==得2410,c c a a -+=（）解得22c c

a a

==因为离心率

1c

a

>），故双曲线的离心率为. 三、解答题：（本大题共6小题，共75分） 16.（本小题满分12分）

某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人） (1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学1,2345,,,A A A A A ,3名女同学123.B B B ，，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选一人，求1A 被选中且1B 未被

【测量目标】(1)古典概型; (2)随机事件的概率.

【试题分析】 （1）有调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30=15人，所以从该班级随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为151

453

P =

=. (2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选一人，其一切可能的结果组成的基本事件有

{}{}{}{}{}{}{}

11121321222331A B A B A B A B A B A B A B ，，，，，，，，，，，，，,

{}{}{}{}{}{}323341424351A B A B A B A B A B A B ，，，，，，，，，，，，{}{}5253A B A B ，，，,

共15个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.

事件“1A 被选中且1B 未被选中”所包含的基本事件有： {}{}1213,,,A B A B ,共2个.因此

1A 被选中且1B 未被选中的概率为2

15

P =

. 17.(本小题满分12分)

ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .知cos B=

)39

A B ac +==.求sin A 和c 的值.

【测量目标】两角和差的三角函数及正弦定理.

【试题分析】在ABC △中，

36

cos ,sin

33

B B ==得 因为π,A B

C ++=所以6

sin sin()9

C A B =+=

,因为sin sin ,C B <所以,C B

539

，

因

此

sin A=sin(B+C )=sin B cos C+cos B sin

C=

65336223

?+?=. 由,sin sin a c

A C =可得22sin 323sin 6

c

c A a c C =

==，又ac =23,所以c =1. 18. (本小题满分12分)如图，三棱台DEF －ABC 中，AB=2DE, G , H 分别为AC,BC 的中点. （1） 求证：BD//平面FGH. （2） 若CF ,,BC AB BC ⊥⊥求证：平面BCD ⊥平面EGH .

第18题图

【测量目标】(1)线面平行的判定； (2)面面垂直的判定. 【试题分析】（1）证法一：如图，连接DG ,CD .设CD GF =M ,连接MH ,在三棱台DEF －ABC 中，AB =2DE ,G ,H 分别为AC ,BC 的中点，可得DF //CG ,DF =CG ,所以四边形DFCG 是平行四边形，则M 为CD 的中点，所以HM //BD ,又HM ?平面FGH ,BD ?平面FGH ,所以BD //平面FGH .

第18题图

证法二：在三棱台DEF －ABC 中，由BC =2EF ,H 为BC 的中点，可得BH //EF ,BH =EF ,所以HBEF 为平行四边形，可得BE //HF .在△ABC 中，G ,H 分别为AC ,BC 的中点，所以GH //AB ,又GH HF =H ,所以平面FGH //平面ABED ,因为BD ?平面ABED ,所以BD //平面FGH .

(2) 证明： 连接HE .因为G ,H 分别为AC ,BC 的中点，所以GH //AB ,由AB ⊥BC ,得GH ⊥BC ,又H 为BC 的中点，所以EF //HC ,EF =HC ,因此四边形EFCH 是平行四边形，所以CF //HE .又CF ⊥BC ,所以HE ⊥BC .又HE ,GH ?平面EGH ,HE GH =H ,所以BC ⊥平面EGH ,又BC ?平面BCD ,所以平面

BCD ⊥平面EGH.

19.(本小题满分12分) 已知数列{}

n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +???????

的前n 项和为

21n

n +. (1)求数列

{}n

a 的通项公式；

(2)设{}(1)2,n a

n n n n b a b n T =+?求数列的前项和.

【测量目标】(1)等差数列的通项公式；(2)错位相减法求数列的前n 项和. 【试题分析】（1）设数列{}

n a 的公差为d ,令n =1,得

1211

,3

a a =所以12 3.a a =令n =2,得 12231125

a a a a +=，所以2315a a =，解得11,2a d ==，所以21n a n =-.

(2)由（1）知，21

1222

4,1424......4n n n n n b n n T n -=?=?=?+?++?所以，所以 231414+24+......+(1)44,n n n T n n +=??-?+?两式相减，

得1

2

1

114(14)134

344 (44)

441433

n n

n n n n n T n n +++---=+++-?=-?=?--，所以

1

13144(31)44999

n n n n n T ++-+-?=?+=

20. (本小题满分13分)

设函数2

()()ln ,().e

x x f x x a x g x =+=在点(1)f （1，）

处的切线与直线20x y -=平行. （1）求a 的值；

（2）是否存在自然数k ,使得方程()()f x g x =在（k ,k +1）存在唯一的根？如果存在，求出k ;如果不存在，请说明理由；

（3）设函数{}()min (),()m x f x g x =（min {},p q 表示，p ,q 中的较小值），求m (x ) 的最大值.

【测量目标】(1)导数的几何意义； (2)利用导数研究函数的单调性；

(3) 利用导数研究函数的单调性、最值.

【试题分析】（1）由题意知，曲线y =f (x )在点（1,f (1)）处的切线斜率为2，所以(1)2,f '=又()ln 1,a

f x x x

'=++所以a =1. (2) k =1

时，方程

f (x )=

g (x ) 在(1,2)存在唯一的根.设

()()()()2

1ln e

x x h x f x g x x x ==+-－,当x ∈(0,1]时，h (x )<0.又h (2)=3ln2－

2244ln8110,e e

=->-=所以存在0x 0(1,2),()0h x ∈=使. 因为1(2)()ln +1e x

x x h x x x -'=++,所以当x 1

(1,2)()10,e

h x '∈>->时，当x 20h x '∈

+∞>（，）时，（）,所以当x ∈（1，+∞）时，h (x )单调递增. k =1时，方程()()f x g x =在（k,k +1）存在唯一的根.

(3)由（2）知，方程()()f x g x =在（1,2）存在唯一的根0x ,且0(0,)x x ∈时，

()()f x g x =,x ∈(0x ,+∞)时,()()f x g x =,所以m (x )=02

0(1)ln ,(0,,(,)e

x x x x x x x x +∈]

??

?∈+∞??,当x ∈(0, 0x )时，若x 0,1∈]（,m (x )0≤;若x 01x ∈

（，）， 由001

()ln 10,0()();()()m x x m x m x m x m x x

'=++><可知≤故≤. 当x 0(,)x ∈+∞时，由0(2)

(),(,2)()0e x

x x m x x x m x -''=∈>可得时，，m(x)单调递增；

x 2()0,()m x m x '∈+∞<（，）时，单调递减；可知m(x )024

(2),()(2).e

m m x m =<≤且综上

可得函数m(x)的最大值为24

e

.

21. (本小题满分14分)

平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C : 22221(0)x y a b a b +=>>

的离心率为2

且点1

2

) 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；

(2) 设椭圆E :22

22144x y a b

+=,P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E

于A,B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.

(i)求

OQ OP

的值；

(ii)求ABQ △面积的最大值.

【测量目标】(1)椭圆的标准方程及其几何性质；(2)直线与椭圆的位置关系；距离与三角形面积；转化与化归思想.

【试题分析】（1）由题意知2231142

a b a +==；又，解得22

4,1a b ==.所以椭

圆的方程为2

214

x y +=. （2）由（1）知椭圆E 的方程为

22

1164

x y +=. （i ）设00(,),,OQ P x y OP

λ=由题意知Q (00,x y λλ--).根据2

20014x y +=.又 2

2222

0000()1,=216444x y x y λλλλ--+=（）即（+）=1.所以，即2OQ OP

=. （ii ）设A (11,x y ),B (2,2x y ),将y kx m =+代入椭圆E 的方程，可得

222(14)84160,k x kmx m +++-=由0,?>可得22416m k <+......①,则有

2121222

8416

,1414km m x x x x k k

-+=-=++.所以12x x -=因为直线y kx m =+与y 轴交点的坐标为0),m （，所以OAB △的面积

121

2S m x x =-==

=.设22.14m t k =+将直线+y kx m =代入椭圆C 的方程，可得 222(14)8440,k x kmx m +++-=由0?≥，可得2

214m k +≤

……②

由①②可知0

2214m k =+时取得最大值由（i ）知，ABQ △的面积为3S ,所以ABQ △面积的最

大值为