求轨迹方程的方法

§2.1 曲线与方程

知识点一 直接法求曲线的方程

已知线段AB 的长度为10，它的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动，

则AB 的中点P 的轨迹方程是________．

解析 设点P 的坐标为(x ，y)，则A 点坐标为(2x,0)，B 点坐标为(0,2y)．由两点间的距离公式可得(2x)2＋(2y)2＝10，即(2x)2＋(2y)2＝100，

整理、化简得x 2

＋y 2＝25.

答案 x 2＋y 2

＝25

知识点二 代入法求曲线的方程

已知△ABC 的两顶点A 、B 的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C

在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．

分析 由重心坐标公式，可知△ABC 的重心坐标可以由A 、B 、C 三点的坐标表示出来，而A 、B 是定点，且C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，故重心与C 相关联．因此，设出重心与C 点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程y ＝x 2＋3即可．

解 设G(x ，y)为所求轨迹上任一点，顶点C 的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得

?????

x ＝0＋6＋x′3

y ＝0＋0＋y′3

∴??

?

x′＝3x －6，y′＝3y.

∵顶点C(x′，y′)在曲线y ＝x 2＋3上， ∴3y＝(3x －6)2＋3，① 整理，得y ＝3(x －2)

2＋1，

故所求轨迹方程为y ＝3(x －2)2

＋1.

知识点三 定义法求曲线的方程

设A(1,0)，B(－1,0)，若动点M 满足k MA 2k MB ＝－1，求动点M 的轨

迹方程．

解 如图所示，设动点M 的坐标为(x ，y)．由题意知：MA⊥MB.

所以△MAB 为直角三角形，AB 为斜边． 又因为原点O 是AB 的中点， 所以，|MO|=

12

， |AB|=1，所以，动点M 在以O(0,0)为圆心，|MO|为半径的

圆上．

根据圆的方程的定义知：方程为x 2+y 2=1.

又因为动点M 不能与点A ，B 重合，所以，x ≠±1， 所以，动点M 的轨迹方程为x 2+y 2=1 (x ≠±1)．

知识点四 参数法求曲线的方程

已知定点P(a ，b)不在坐标轴上，动直线l 过点P ，并分别交x 轴，

y 轴于点A ，B ，分别过A ，B 作x 轴，y 轴的垂线交于点M ，求动点M 的轨迹方程．

解 设M(x ，y)，并设l ：y －b ＝k(x －a)，由题意知k 存在，且k≠0，则得A(a －b k ，0)，B(0，b －ak)，又AM ，BM 分别是x 轴，y 轴的垂线，得M(a －b k b

－ak)．

即??

?

x ＝a －b k ，

y ＝b －ak ，

消去参数k ，

得xy －ay －bx ＝0.

所以动点M 的轨迹方程是xy －ay －bx ＝0.

知识点五 交轨法求曲线的方程

如果两条曲线的方程是f 1(x ，y)＝0和f 2(x ，y)＝0，它们的交点是

P(x 0，y 0)，证明：f 1(x ，y)＋λf 2(x ，y)＝0的曲线也经过P 点(λ∈R )，并求经过两条曲线x 2＋y 2＋3x －y ＝0和3x 2＋3y 2＋y ＝0的交点的直线方程．

解 ∵P (x 0，y 0)是两曲线的交点， ∴f 1(x 0，y 0)＝0，f 2(x 0，y 0)＝0， ∴f 1(x 0，y 0)＋λf 2(x 0，y 0)＝0.

即方程f 1(x ，y )＋λf 2(x ，y )＝0的曲线经过P 点．

???

x 2＋y 2＋3x －y ＝0， ①3x 2

＋3y 2

＋y ＝0， ②

①33－②得9x －4y ＝0.

即过两曲线的交点的直线方程为9x －4y ＝0.

考点赏析

1.(福建高考) 如图，已知点F （1,0），直线l:x=-1,P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP 2QF =FP 2FQ . 求动点P 的轨迹C 的方程.

解 方法一 设点P(x ，y)，则Q(-1，y)， 由PQ →2QF →＝FP →2FQ →

得：(x ＋1,0)2(2，－y )＝(x －1，y )2(－2，y )， 化简得C ：y 2＝4x . 方法二 由 QF →2QF →＝FP →2FQ → 得：(PQ →2(PQ →＋PF →) ＝0， ∴ PF →－PF →)2(PQ →＋PF →)＝0， PQ →

2－PF →2－PF →2＝0，

∴ |PQ →|＝|PF →|.

所以点P 的轨迹C 是抛物线， 由题意，轨迹C 的方程为： y 2＝4x .

2.（陕西高考）如图所示，三定点 A （2，1） ，B （0， -1），C （-2，1）；三动点D ，E ，M 满足AD =t AB ，BE = t BC ， DM =t DE ，t ∈［0，1］.

(1)求动直线DE 斜率的变化范围； (2)求动点M 的轨迹方程．

解 (1)设D (x D ，y D )，E (x E ，y E )，M (x ，y )

由AD =t AB ， BE =t BC ，知（x D -2，y D -1）= t （-2， -2），

∴??

?

x D ＝－2t ＋2，

y D ＝－2t ＋1.同理??

?

x E ＝－2t ，y E ＝2t －1.

∴k DE ＝y E －y D x E －x D ＝2t －1－(－2t ＋1)

－2t －(－2t ＋2)

＝1－2t . ∵t ∈[0,1]，∴k DE ∈[－1,1]．

（2）∵ tDE

→＝tDE →，

∴(x ＋2t －2，y ＋2t －1)

＝t (－2t ＋2t －2,2t －1＋2t －1)

＝t (－2,4t －2)＝(－2t,4t 2－2t )． ∴???

x ＝2(1－2t )，y ＝(1－2t )2

.

∴y ＝x 2

4

，即x 2＝4y .

∵t ∈[0,1]，

∴x ＝2(1－2t )∈[－2,2]．

所求轨迹方程为x 2＝4y ，x ∈[－2,2]

1．如果命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，那么下列命题中正确的是( )

A ．坐标满足f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上

B ．曲线

C 上的点的坐标不都满足方程f (x ，y )＝0

C ．坐标满足方程f (x ，y )＝0的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上

D ．至少有一个不在曲线C 上的点，其坐标满足f (x ，y )＝0 答案 D

解析 对于命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”的否定是“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点不都在曲线C 上”，即至少有一个不在曲线C 上的点，它的坐标满足方程f (x ，y )＝0.

2．△ABC 中，若B 、C 的坐标分别是(－2,0)、(2,0)，中线AD 的长度是3，则A 点的轨迹方程是( )

A ．x 2＋y 2＝3

B ．x 2＋y 2

＝4

C ．x 2＋y 2＝9(y ≠0)

D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0) 答案 C

解析 易知B 、C 中点D 即为原点O ，所以|OA |＝3， 所以点A 的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，

又因△ABC 中，A 、B 、C 三点不共线，所以y ≠0.所以选C. 3．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0 B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0 C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0 D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0 答案 B

解析 由两点式，得直线AB 的方程是y －04－0＝x ＋1

2＋1

，即4x －3y ＋4＝0，线段

AB 的长度|AB |＝(2＋1)2＋42＝5.设C 的坐标为(x ，y )，则12353|4x －3y ＋4|

5

10，即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.

4．在下列图中方程表示图中曲线的是( )

答案 C

解析 对于A ，方程x 2+ y 2=1表示一个完整的圆．对于B ，x 2-y 2=(x+y)(x -y)=0，它表示两条相交直线．对于D ，由lgx+lgy=0知xy=1，x>0且y>0.

5. 设过点P （x ，y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP =2PA ，且OQ 2AB = 1，则P 点的轨迹方程是 ( )

A ．3x 2＋3

2y 2＝1(x >0，y >0)

B ．3x 2

－32y 2＝1(x >0，y >0)

C.3

2x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) D.3

2

x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) 答案 D

解析 如图所示，若P (x ，y )，则A ? ??

??

32x ，0，B (0,3y )，

AB ＝? ????－32x ，3y ，OQ →＝? ????－32x ，3y ，OQ →

＝(－x ，y )，

AB →

＝? ??

??－32x ，3y ，OQ →＝1，∴32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)，

即为点P 轨迹方程．

6．设动点P 是曲线y ＝2x 2＋1上任意一点，定点A (0，－1)，点M 分PA 所成的比为2∶1，则点M 的轨迹方程是( )

A ．y ＝6x 2－13

B ．y ＝3x 2＋1

3

C ．y ＝－3x 2－1

D ．x ＝6y 2－1

3

答案 A

解析 设点M 的坐标为(x 0，y 0)，因为点A (0，－1)，点M 分PA 所成的比为2∶1，

所以P 点的坐标为(3x 0,3y 0＋2)，代入曲线y ＝2x 2＋1得y 0＝6x 20－1

3

，即点M 的轨

迹方程是y ＝6x 2－1

3

.

7．点P (a ，b )是单位圆上的动点，则Q (a ＋b ，ab )的轨迹方程是________________．

答案 x 2－2y －1＝0

解析 设Q (x ，y )则??

?

x ＝a ＋b ，

y ＝ab .

因为a 2＋b 2＝1，即(a ＋b )2－2ab ＝1.所以

x 2－2y ＝1.所以点Q 的轨迹方程是x 2－2y －1＝0.

8．平面上有三个点A (－2，y )，B (0，y

2

)，C (x ，y ) 若AB ⊥BC ，则动点C

的轨迹方程为________．

答案 y 2＝8x

解析 AB ＝? ??

??－32x ，3y ，OQ →＝(0，y 2)－(－2，y )＝(2，－y

2)，

BC

＝(x ，y )－(0，y 2)＝(x ，y

2

．

因为AB ⊥BC ,所以AB 2BC ,

所以(2，－y 2)2(x ，y

2

)＝0，即y 2＝8x .所以动点C 的轨迹方程为y 2＝8x .

9．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2.若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．

解 方法一 设点M 的坐标为(x ，y )． ∵M 为线段AB 的中点，

∴A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0,2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1、l 2过点P (2,4)， ∴PA ⊥PB ，k PA 2k PB ＝－1.

而k PA ＝4－02－2x (x ≠1)，k PB ＝4－2y

2－0，

∴21－x 22－y 1

＝－1(x ≠1)． 整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．

∵当x ＝1时，A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1,2)， 它满足方程x ＋2y －5＝0.

综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0. 方法二

设M 的坐标为(x ，y)，则A 、B 两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y)，连结PM. ∵l 1⊥l2，∴2|PM|=|AB|.

而|PM|=，

|AB|=，

∴=化简，得x+2y -5=0，为所求轨迹方程. 方法三 ∵l 1⊥l 2，OA ⊥OB ， ∴O 、A 、P 、B 四点共圆， 且该圆的圆心为M ， ∴|MP|=|MO|，

∴点M 的轨迹为线段OP 的中垂线． ∵kOP==

204-- = 2，OP 的中点坐标为(1,2)，

∴点M 的轨迹方程是y -2= -2

1(x -1)，x+2y -5=0.

方法四 设点M 的坐标为(x ，y)，则A(2x,0)，B(0,2y)， ∵PA ⊥PB ，即PA ⊥PB ，∴ PA 2PB =0. ∴（2x-2，-4）2（-2，2y-4）=0， 即-2（2x-2）-4（2y -4）=0， 化简得：x+2y-5=0.

10. 设F （1，0），点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN =2MP ， PM ⊥PF .当点P 在y 轴上运动时，求N 点的轨迹C 的方程.

解 设 M （a,0）,P(0,b),动点N （x,y ）,

则MN =（x-a,y ）,MP =(-a,b), PF →

＝(1，－b )．因为MN →＝2MP →， PF →⊥PF →， 所以??

?

x －a ＝－2a ，y ＝2b ，

且－a －b 2＝0.上述方程组消去a ，b ，

得y 2＝4x .所以动点N 的轨迹方程为y 2＝4

讲练学案部分

2．1.1 曲线与方程

对点讲练

知识点一 曲线的方程与方程的曲线

如果曲线C上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则下列说法正确的是( )

A．曲线C的方程是F(x，y)＝0

B．方程F(x，y)＝0的曲线是C

C．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上

D．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上

答案 C

解析直接法：原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线C上的点，则M 点的坐标适合方程F(x，y)＝0”，其逆否命题即“若M点的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则M点不在曲线C上”，此即说法C.

特值方法：作如上图所示的曲线C，考查C与方程F(x，y)=x2 1=0的关系，显然A、B、D中的说法全不正确．

【反思感悟】“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上点的坐标没有不满足方程的，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外，“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏．

设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下面命题中正确的是( ) A．坐标满足f(x，y)＝0的点都不在曲线C上

B．曲线C上的点的坐标都不满足f(x，y)＝0

C．坐标满足f(x，y)＝0的点有些在C上，有些不在曲线上

D．一定有不在曲线上的点，其坐标满足f(x，y)＝0

答案 D

解析“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，就是说“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的，这意味着一定有这样的点(x0，y0)，虽然f(x0，y0)＝0，但(x0，y0)?C，即一定有不在曲线上的点，其坐标满足f(x，y)＝0.故应选D

知识点二判断方程是否为曲线的方程

(1)过P(0，－1)且平行于x轴的直线l的方程是|y|＝1吗？为什么？

(2)设A(2,0)，B(0,2)，能否说线段AB的方程是x＋y－2＝0？为什么？

解(1)如图所示，过点P且平行于x轴的直线l的方程为y＝－1，因而在直线l上的点的坐标都满足|y|＝1，但是以|y|＝1这个方程的解为坐标的点不会都在直线l上．

所以|y|=1不是直线l的方程，直线l只是方程|y|=1所表示曲线的一部分．

(2)由方程x+y -2=0知，

当x=4时，y= -2.

故点(4，- 2)的坐标是方程x+y -2=0的一个解，但点(4，- 2)不在线段AB上．

∴x+y -2=0不是线段AB的方程．

【反思感悟】判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．

下列命题是否正确？若不正确，说明原因．

(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程是|x|＝2；

(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝x.

解(1)

错误．因为以方程|x|=2的解为坐标的点，不都在直线l上，直线l只是方程|x|=2所表示的图形的一部分．

(2)错误．因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线l1和l2，直线l1上的点的坐标都是方程y=x的解，但是直线l2上的点(除原点)的坐标不是方程y=x的解．故y=x不是所求的轨迹方程．

知识点三证明方程是曲线的方程

证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy ＝±k.

证明(1)

如图所示，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．因为点M与x轴的距离为| y0|，与y轴的距离为|x0|，所以| x0 |2| y0|=k，

即(x0，y0)是方程xy=±k的解．

(2)设点M1的坐标(x1 ，y1)是方程xy=±k的解，则x1y1=±k，

即| x1|2| y1|=k.

而| x1|、| y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．

由(1)(2)可知，xy=±k 是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．

【反思感悟】 要证某轨迹的方程为f(x ，y)，由曲线的方程的概念可知，既要证轨迹上的任意一点M(x0，y0)的坐标都是f(x ，y)=0的解，也要证明方程的任一解(x1，y1)对应的点都在轨迹上．

已知两点A (0,1)，B (1,0)，且|MA |＝2|MB |，求证：点M 的轨迹方程为? ????x －432＋? ????y ＋132＝8

9

.

证明 设点M 的坐标为(x ，y )，由两点间距离公式，

得|MA |＝(x －0)2＋(y －1)2 |MB |＝(x －1)2＋(y －0)2 又|MA |＝2|MB |， ∴(x －0)2＋(y －1)2

＝2(x －1)2

＋(y －0)2

.

两边平方，并整理得3x 2＋3y 2＋2y －8x ＋3＝0， 即? ????x －432＋? ????y ＋132＝89

① 所以轨迹上的每一点的坐标都是方程①的解； 设M 1的坐标(x 1，y 1)是方程①的解， 即?

????x 1－432＋? ????y 1＋132＝89.

即3x 21＋3y 2

1－8x 1＋2y 1＋3＝0，

|M 1A |＝(x 1－0)2＋(y 1－1)2＝x 21＋y 21－2y 1＋1

＝x 21＋y 21＋3x 21＋3y 2

1－8x 1＋3＋1

＝2(x 1－1)2＋(y 1－0)2＝2|M 1B |

即点M 1(x 1，y 1)在符合条件的曲线上． 综上可知：点M 的轨迹方程为 ? ????x －432＋? ????y ＋132＝89

. 课堂小结： 1.称曲线C 的方程是f(x,y)=0(或称方程f(x,y)=0的曲线是C)必须具备两个条件:(1)曲线C 上的点的坐标都是方程 f(x , y)=0的解(纯粹性);(2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上(完备性).

2.设曲线C 的方程是f(x , y)=0,则点P(x 0 , y 0)在曲线C 上 f(x 0 , y 0)=0.

课时作业

一、选择题

1．已知曲线C 的方程为x 3＋x ＋y －1＝0，则下列各点中在曲线C 上的点是( )

A ．(0,0)

B ．(－1,3)

C ．(1,1)

D ．(－1,1) 答案 B

解析 点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )上?f (x 0，y 0)＝0.

2．已知直线l 的方程是f (x ，y )＝0，点M (x 0，y 0)不在l 上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的曲线是( )

A ．直线l

B ．与l 垂直的一条直线

C ．与l 平行的一条直线

D ．与l 平行的两条直线 答案 C

解析 方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示过M (x 0，y 0)且和直线l 平行的一条直线．

选C.

3．已知圆C 的方程f (x ，y )＝0，点A (x 0，y 0)在圆外，点B (x ′，y ′)在圆上，则f (x ，y )－f (x 0，y 0)＋f (x ′，y ′)＝0表示的曲线是( )

A ．就是圆C

B ．过A 点且与圆

C 相交的圆 C ．可能不是圆

D ．过A 点与圆C 同心的圆 答案 D

解析 由点B (x ′，y ′)在圆上知f (x ′，y ′)＝0. 由A (x 0，y 0)在圆外知f (x 0，y 0)为不为0的常数， 点A (x 0，y 0)代入方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0成立． 所以f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的曲线过A 点． 因此选D.

4．下列各组方程中表示相同曲线的是( )

A ．y ＝x ，y x

＝1 B ．y ＝x ，y ＝x 2 C ．|y |＝|x |，y ＝x D ．|y |＝|x |，y 2＝x 2 答案 D

解析 A 中y ＝x 表示一条直线，而y x

＝1表示直线y ＝x 除去(0,0)点；B 中y ＝x 表示一条直线，而y ＝x 2表示一条折线；C 中|y |＝|x |表示两条直线，而y ＝x 表示一条射线；D 中|y |＝|x |和y 2＝x 2均表示两条相交直线，故选D.

5．“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”是“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 答案 B

解析 f (x ，y )＝0是曲线C 的方程必须同时满足以下两个条件：①以f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上；②曲线C 上的点的坐标都符合方程f (x ，y )＝0，故选B.

二、填空题

6．求方程|x |＋|y |＝1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为________． 答案 2

解析

方程|x|+|y|=1所表示的图形是正方形ABCD(如图)，其边长为2. ∴方程|x|+|y|=1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为2.

7．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为______________________________．

答案 4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0 解析 可设动点坐标为(x ，y )， 则|4x ＋3y －5|5

＝1，即|4x ＋3y －5|＝5.

∴所求轨迹为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.

8．若方程ax 2＋by ＝4的曲线经过点A (0,2)和B ? ??

??

12，3，则a ＝____________，

b ＝________.

答案 16－8 3 2 三、解答题

9．已知直线l 1：mx －y ＝0，l 2：x ＋my －m －2＝0. 求证：对m ∈R ，l 1与l 2的交点P 在一个定圆上．

证明 l 1与l 2分别过定点(0,0)及(2,1)，且l 1⊥l 2，∴l 1与l 2的交点P 必在

以(0,0)，(2,1)为端点的直径的圆上，其方程为x 2＋y 2

－2x －y ＝0.

10．曲线x 2＋(y －1)2＝4与直线y ＝k (x －2)＋4有两个不同的交点，求k 的范围，若有一个交点呢？无交点呢？

解 由???

y ＝k (x －2)＋4，

x 2＋(y －1)2

＝4，

得(1＋k 2)x 2＋2k (3－2k )x ＋(3－2k )2

－4＝0，

Δ＝4k 2(3－2k )2－4(1＋k 2)[(3－2k )2－4]＝48k －20.

∴Δ>0，即k >5

12

Δ＝0，即k ＝5

12

Δ<0，即k <5

12时，直线与曲线没有交点．

2．1.2 求曲线的方程

.

对点讲练

知识点一 直接法求轨迹的方程

设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆x 2

+2y 2

=4交于A 、B 两点，

P 是l 上满足PA 2PB =1的点，求点P 的轨迹方程.

解 设P 点的坐标为(x ，y )，

又由方程x 2＋2y 2＝4得2y 2＝4－x 2， ∴y ＝±

4－x 2

2

， ∴A 、B 两点的坐标分别为(x,

4－x 2

2

)，(x ，－4－x 2

2

) PA 2PB →

＝1.

∴(0,

4－x 2

2

－y )2(0，－4－x 2

2

－y )＝1， 即y 2

－4－x 22＝1，∴x 26＋y 2

3

＝1

又直线l 与椭圆交于两点， ∴－2

∴点P 的轨迹方程为x 26＋y 2

3

＝1(－2

【反思感悟】 直接法：根据条件、直接寻求动点坐标所满足的关系式，或依据圆锥曲线定义直接确定曲线类型．

已知△ABC 的一边AB 的长为定值4，边BC 的中线AD 的长为定值

3，求顶点C 的轨迹方程．

解 方法一

以A 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系，则B 点坐标为(4,0)．设C 点坐标为(x ，y)．

∵D 为BC 边中点，

∴D 点坐标为(

2

4+x ,

2

y ).

又∵|AD|=3，∴(

2

4

+x )2 + (2

y )2 = 9

化简得(x+4)2+y2=36，即为C 点的轨迹方程(点(2,0)，(-10,0)除外)． 方法二 如图，作CB ′∥OD 交x 轴于B ′ ∵D 是BC 中点，则OD 为△BCB ′的中位线 ∴B ′(-4,0)且|B ′C|=6，|AD|=3，

故C 在以B ′(-4,0)为圆心，6为半径的圆上． 其方程为(x+4)2+y2=36 (y ≠0)．

知识点二 代入法(相关点法)求轨迹方程

已知△ABC 的两顶点A 、B 的坐标分别为A (0,0)、B (6，0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．

分析 由重心坐标公式，可知△ABC 的重心坐标可以由A 、B 、C 三点的坐标表示出来，而A 、B 是定点，且C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，故重心与C 相关联．因此，设出重心与C 点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程y ＝x 2＋3即可．

解 设G (x ，y )为所求轨迹上任一点，顶点C 的坐标为(x ′，y ′)，则由重心坐标公式，得

?????

x ＝0＋6＋x ′3y ＝0＋0＋y ′3

∴??

?

x ′＝3x －6，

y ′＝3y .

∵顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2

＋3上，

∴3y ＝(3x －6)2＋3，整理，得y ＝3(x －2)2＋1， 故所求的轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1.

【反思感悟】 代入法求轨迹方程就是根据条件建立所求动点与相关动点坐标间的关系式，用所求动点坐标表示相关动点的坐标，并代入相关动点所在曲线的方程，从而得到所求动点的轨迹方程．此法也称相关点法．

已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M

在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．

解

(代入法)

设A(a,0)、B(0，b)、M(x 、y)，

一方面：∵|AB |＝6，∴a 2＋b 2＝36.①

另一方面：M 分AB 的比为1

2

，

∴?

??????

x ＝a ＋12

30

1＋12

＝23a ，

y ＝0＋1

2b

1＋12＝13b .

????

a ＝32x ，

b ＝3y .

②

将②式代入①式化简为：x 216＋y 2

4

＝1.

知识点三 参数法求轨迹方程

已知∠AOB ＝π

3

，P ，Q 分别是∠AOB 两边上的动点，若△POQ 的面积

为8，试建立适当的坐标系，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．

解

以O 为原点，∠AOB 的平分线所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)．则射线OA 的方程为y=

3

3x( x >0)射线OB 的方程为y= -

3

3x( x >0)

设P{x 1 , 3

3 x 1}, Q{ x 2 , -

3

3x 2}

M(x ，y)．由题意得x= 2

1( x 1+x 2),

又S △POQ=

2

1|OP|2|OQ|sin60°

=

2

1

2

3

2 x 123

2 x 22

2

3 =

3

3 x 12x 2

∴2121212,x x x x x x x +=??

-=??

?=? 由(x 1+x 2)2 - (x 1 -x 2)2=4x 1x 2， 消去x 1，x 2得x 2 -3y 2=83 由于x 1>0，x 2>0，故x>0，

动点M 的轨迹方程为x 2 -3y 2

=83 (x>0)． 【反思感悟】 参数法：根据条件，将所求动点的坐标用恰当的参数(如角度、直线斜率等)解析式表示出来，再利用某些关系式消去参数得到轨迹方程．

过点P 1(1,5)作一直线交x 轴于点A ，过点P 2(2，7)作直线P 1A 的

垂线，交y 轴于点B ，点M 在线段AB 上，且BM ∶MA ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．

解 设P 2B 的直线方程为：y －7＝k (x －2)，

则P 1A 的方程为：y －5＝－1

k

(x －1)，

则有A (5k ＋1,0)、B (0，－2k ＋7)．

设M (x ，y )，则由BM ∶MA ＝1∶2，得?????

x ＝5k ＋13

，y ＝－4k ＋14

3

.

消去k ，并整理得12x ＋15y －74＝0.

∴动点M 的轨迹方程为12x ＋15y －74＝0. 课堂小结：

1.坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同.

2.一般的，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是（x ，y ），而不要设成（x 1，y 1）或（x ′,y ′）等.

3.方程化简到什么程度,课本上没有给出明确的规定,一般指将方程f(x,y)=0化成x,y 的整式.如果化简过程破坏了同解性,就需要剔除不属于轨迹上的点,找回属于轨迹而遗漏的点.求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线,求轨迹方程则不必说明.

课时作业

一、选择题 1．已知点A (－2,0)，B (2,0)，C (0,3)，则△ABC 底边AB 的中线的方程是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝0(0≤y ≤3) C ．y ＝0 D ．y ＝0(0≤x ≤2) 答案 B

解析 直接法求解，注意△ABC 底边AB 的中线是线段，而不是直线．所以选B.

2．与点A (－1,0)和点B (1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P 的轨迹方程是( )

A ．x 2＋y 2＝1

B ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)

C ．y ＝1－x 2

D ．x 2

＋y 2

＝9(x ≠0) 答案 B

解析 设P (x ，y )，则k PA ＝y x ＋1

，k PB ＝

y x －1

，

所以k PA 2k PB ＝

y

x ＋1y

x －1＝－1.

整理得x 2＋y 2

＝1，又k PA 、k PB 存在，所以x ≠±1.

所以所求轨迹方程为x 2＋y 2

＝1 (x ≠±1)，所以选B.

3. 设动点P 是抛物线y=2x 2+1上任意一点，定点A （0，- 1），点M 分PA 所成的比

为2∶1，则点M 的轨迹方程是（ ）

A ．y ＝6x 2－13

B ．y ＝3x 2＋1

3

C ．y ＝－3x 2－1

D ．x ＝6y 2－1

3

答案 A

解析 设点M 的坐标为(x,y)，点P 的坐标为(x 0 , y 0)，因点P 在抛物线上，

即y 0=2x 02 +11

2

所以 PM PM =2MA ,

即（x - x 0 , y - y 0）=2(-x, -1 -32y + y),

所以002,22,x x x y y y -=-??-=--?即003,32,x x y y =??=+?

因此有 ：32y += 2?9x 2 +1,即y=6x 2 - 3

1

.

4．自圆x 2＋y 2

＝1外动点P 作该圆的两条切线，切点分别为A ，B .若∠APB ＝π

2

，则动点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝4 B ．x 2＋y 2

＝2

C.x 2

4＋y 2

＝1 D.x 2

2＋y 2

＝1 答案 B

解析 四边形PAOB 为正方形，故|OP |＝ 2.

5．已知点A (2,0)及原点O ，动点P 满足(|PA |＋|PO |)2(|PA |－|PO |)＝1，则点P 的轨迹方程是( )

A ．x ＝14

B ．x ＝12

C ．x ＝34

D ．x ＝3

2

答案 C

解析 设P (x ，y )，条件即|PA |2－|PO |2＝1，

故[(x －2)2＋y 2]－(x 2＋y 2)＝1，化简得x ＝3

4

.

二、填空题

6．方程(x ＋y －x －1＝0表示的曲线是________． 答案 射线x ＋y －1＝0(x ≥1)与直线x ＝1

解析 由(x ＋y －x －1＝0得：

??? x ＋y －1＝0，

x －1≥0，或???

x －1≥0，x －1＝0. 即x ＋y －1＝0(x ≥1)，或x ＝1.

所以，方程表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1.

7. 已知两点M （-2，0），N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN |2|MP |+ MN 2NP = 0，则动点P(x,y)的轨迹方程为. ________． 答案 y 2＝－8x

解析 由题意知 MN ＝(4,0)， MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )，

所以|MN →|＝4，|MP →|＝(x ＋2)2＋y 2，MN →2NP →＝4(x －2)，

根据已知条件得4(x ＋2)2＋y 2＝4(2－x )，整理，得y 2＝－8x ， 所以点P 的轨迹方程为y 2＝－8x . 8．两条直线ax ＋y ＋1＝0和x －ay －1＝0(a 为参数且a ≠±1)的交点的轨迹方程是______________．

答案 x 2＋y 2－x ＋y ＝0

解析 设两条直线的交点为(x 0，y 0)．

则有???

ax 0＋y 0＋1＝0，x 0－ay 0－1＝0.

求出(x 0，y 0)的方程即为轨迹的方程． 当a ＝0时，交点为(1，－1)． 当a ≠0时，由ax 0＋y 0＋1＝0，

∴a ＝－y 0＋1

x 0

，

代入x 0－ay 0－1＝0，

得x 20＋y 2

0－x 0＋y 0＝0，

即交点的轨迹方程为x 2＋y 2

－x ＋y ＝0.

同时，点(1，－1)也适合方程x 2＋y 2－x ＋y ＝0，

综上可知所求方程为x 2＋y 2

－x ＋y ＝0.

三、解答题

9．设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆C 的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．

解 方法一 直接法：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，

P (x ，y )为其中点，则CP ⊥OQ .设OC 中点为M (1

2，0)，

则|MP |＝12|OC |＝12，由两点间距离公式得方程(x －12)2＋y 2＝1

2

，考虑轨迹

的范围知0

4

(0

方法二 定义法：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P(x ，y)为其中点，则CP ⊥OQ ，即∠OPC=90°，设OC 中点为M(2

1,0)，所以|PM|=

2

1|OC|=

2

1，所以动点

P 在以M(

2

1

，0)为圆心，OC 为直径的圆上，圆的方程为(x-)2+y 2=.1

4

因为所作弦的中点应在已知圆的内部，所以弦中点轨迹方程为(x-

2

1

)2+y 2=1

4

(0

方法三 代入法：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P(x ，y)为其中点，设Q(x 1，

y 1)，则

11,2

,

2

x x y y ?=???

?=???112,2,x x y y =??=? 又因为点Q(x 1，y 1)在⊙C 上， 所以(x 1-1)2+y 12 =1. 将112,2,

x x y y =??

=?代入上式得：(2x-1)2+(2y)2=1， 即(x -

2

1

)2 + y 2 =

4

1，又因为OQ 为过O 的一条弦，所以0

≤1，所以所求轨迹方程为(x - 2

1)2 + y 2 =

4

1 (0

方法四 参数法：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P(x ，y)为其中点，动

弦OQ 所在直线的方程为y=kx ，代入圆的方程得(x -1)2+k 2x 2=1，即(1+k 2)x 2

-2x=0.

设方程(1+k 2)x 2-2x=0.的两根为x 1，x 2，所以

2

12

x x x +=

=

2

1k k

+，y = kx =

2

1k k

+.

消去参数k 得：x 2 -x+y 2=0，

所以，所求轨迹方程为x 2+y 2 -x=0(0

10．点A (3,0)为圆x 2＋y 2＝1外一点，P 为圆上任意一点，动点M 满足|AM ||MP |1

2

求点M 的轨迹方程．

解 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)．

（1）若AM ＝12MP →，则(x －3，y )＝1

2

(x 0－x ，y 0－y )，

∴?????

x －3＝12

(x 0－x )y ＝1

2(y 0

－y )

∴??

?

x 0＝3x －6y 0＝3y

又∵P (x 0，y 0)在圆x 2

＋y 2

＝1上

∴(3x －6)2＋(3y )2＝1即(x －2)2＋y 2

＝19

.

（2）若AM ＝－12

MP →

，则

(x －3，y )＝－1

2

(x 0－x ，y 0－y )

∴???

??

x －3＝x －x 0

2

y ＝y －y 0

2

，∴??

?

x 0＝－x ＋6

y 0＝－y

.

又∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，

∴(－x ＋6)2＋(－y )2＝1，即(x －6)2＋y 2＝1. ∴M 点的轨迹方程为

(x －2)2

＋y 2

＝1

9

或(x －6)2＋y 2＝1.