江苏省盐城市第一中学2019-2020届高三调研考试数学试题含答案

盐城市第一中学2019-2020届高三调研考试

数学试题 2020.06

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________． 2．设121i

z i i

+=

+-，则||z =_________. 3．双曲线22

1916

x y -=的左焦点到渐近线的距离为________．

4．从123，，中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为________． 5．如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为

6．阅读如图所示的程序框，若输入的n 是30，则输出的变量S 的值是______. 7．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，且59a =，则数列{}n a 的前n 项和为______． 8．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4

π

α+

＝_______.

.9．已知函数f （x ）(

)21

11x x log x x ≤?=?-?，，＞，则函数(())1y f f x =-的所有零点构成的

集合为_____.

10．若对任意1x >-，不等式

2

1

22

x a x x +≤++恒成立，则a 的取值范围是______. 11．在日常生活中，石子是我们经常见到的材料，比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石子，它的主要成分是碳酸钙.某雕刻师计划在底面边长为2m 、高为4m 的正四棱柱形的石料1111ABCD A B C D -中，雕出一个四棱锥O ABCD -和球M 的组合体，其中O 为正四棱柱的中心，当球的半径r 取最大值时，该雕刻师需去除的石料约重___________kg .

（最后结果保留整数，其中 3.14π≈，石料的密度3

2.4g/p cm =，质量m pV =）

12．如图，在圆的内接四边形ABCD 中，对角线BD 为圆的直径，5AB =，4=AD ，

1CD =，点E 在BC 上，且()310

AE AB R t AC t ∈=+u u u r u u u r u u u r ，则AE AC ?u u u r u u u r

的值为________．

13．已知函数()211ln x f x k x k x -?

?=++ ???

，[)1,k ∈+∞，曲线()y f x =上总存在两点

()11,M x y ，()22,N x y ，使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行()12x x ≠，则12x x +的取

值范围为______.

14．在ABC V 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则

22S

a bc

+的最大值为______

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本题满分14分)

如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12A A AC =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C B 的中点. （1）证明：//EF 平面ABC ； （2）证明：1C E ⊥平面BDE .

16．(本题满分14分)

在ABC V 中，a ，b ，c 分别是角A ，B

，C 的对边，已知()3,m a c b =-u r ，()cos ,cos n B C =-r ，且m n ⊥u r r

. （1）求sin B 的值；

（2）若2b =，ABC V 的面积为6

4

，求ABC V 的周长.

17．(本题满分15分)

某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：

()

253,02()50,251x x W x x x x

?+≤≤?

=?<≤?

+?，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）

20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为

()f x （单位：元）．

（1）求()f x 的函数关系式；

（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?

18．(本题满分15分)

已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3

2

，直线:10m x y -+=经过

椭圆C 的上顶点，直线:10n x +=交椭圆C 于,A B 两点，P 是椭圆C 上异于

,A B 的任意一点，直线,AP BP 分别交直线:40l x +=于,Q R 两点．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）求证：OQ OR ?uuu r uuu r

（O 为坐标原点）为定值．

19．(本题满分16分)

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*

22,n n S a n N =-∈.

（1）求证：数列{}n a 为等比数列； （2）设数列2

{}n a 的前n 项和为n T ，求证：

2n

n

S T 为定值； （3）判断数列{

}

3n

n a -中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.

20．(本题满分16分)

设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数3

2

()63(4)f x x x a a x b =---+，()()x

g x e f x =. （1）求()f x 的单调区间；

（2）已知函数()y g x =和x

y e =的图象在公共点00,x y （）处有相同的切线，

（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；

（ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围.

盐城市第一中学2019-2020届高三调研考试

数学附加试题

21．【选做题】（每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． A ．选修4—2：矩阵与变换

21．已知矩阵 3 00 4A =??

?

???

． （1）求A 的逆矩阵1A -；

（2）求圆22

144x y +＝

经过1A -变换后所得的曲线的方程．

B ．选修4—4：坐标系与参数方程

22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l

的参数方程为132x t y ?

=+??

??=??

（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的

正半轴为极轴建立极坐标系，⊙O

的极坐标方程为ρθ=． （1）写出⊙O 的直角坐标方程；

（2）P 为直线上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．

【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．

22．已知n

n n x a x a x a a x )1()1()1()1(2210-++-+-+=+Λ．

（1）求0a 及n n na a a a S ++++=Λ32132； （2）试比较n S 与3n 的大小，并说明理由.

23．已知点(1,0)F 为抛物线2

2(0)y px p =>的焦点，点P 在抛物线C 上，过点(,0)R t 的直线交抛物线C 于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，且满足2PM MF =u u u u r u u u r

． （1）若直线AB 的斜率为1，求点P 的坐标； （2）若6

5

t ≤，求四边形FBPA 面积的最大值．

盐城市第一中学2019-2020届高三调研考试

数学试题 2020.06

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________． 【答案】{}2

【解析】{}{}0,1,2,0,1U A ==Q {}2U C A ∴= 2．设121i

z i i

+=

+-，则||z =_________. 【答案】3

【解析】2

1(1)22231(1)(1)

i i z i i i i i i i i ++=+=+=+=--+，则||3z =． 3．双曲线22

1916

x y -=的左焦点到渐近线的距离为________．

【答案】4

【解析】根据题意，双曲线的方程为22

1916

x y -=，其中3,4a b ==，

所以5c =，所以其左焦点的坐标为(5,0)-，渐近线方程为4

3

y x =±，即430x y ±=， 则左焦点到其渐近线的距离为22

20020

45

43d -±=

=

=+， 4．从123，，中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为________． 【答案】

1

3

【解析】列举法：12，21，13，31，23，32，一共6种可能，其中偶数2种，概率为

13

5．如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 【答案】6.8

【解析】得分的平均分为89101315

115

x ++++==,

方差()()()()()22222

2

1811911101113111511 6.85s ??=

-+-+-+-+-=?

?. 6．阅读如图所示的程序框，若输入的n 是30，则输出的变量S 的值是______.

【答案】240

【解析】执行程序框图，有30n =，0S =；不满足条件2n <，30S =，28n =； 不满足条件2n <，3028S =+，26n =；

不满足条件2n <，302826S =++，24n =； …

不满足条件2n <，3028264S =++++L ，2n =； 不满足条件2n <，30282642S =+++++L ，0n =； 满足条件2n <，退出循环，输出()

15230302826422402

S +=+++++=

=L . 7．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，且59a =，则数列{}n a 的前n 项和为______． 【答案】2n

【解析】设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，则194S d =-，2187S d =-，43610S d =-，2214S S S =?Q ，

所以2

(187)

(94)(3610)d d d -=--，整理得29180d d -=．

0d ≠Q ，2d ∴=．5149a a d =+=Q ，则11a =，21(1)

2

n n n S na d n -=+

=Q ． 8．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4

π

α+＝_______.

【答案】2

【解析】∵sin 22cos21αα-=-，∴2

2222sin cos 2(cos

sin )sin cos 0αααααα--++=，

化简得223sin 2sin cos cos 0αααα+-=，两边同时除以2cos α得，

2

3tan 2tan 10αα+-=，∵α为锐角，∴tan α＞0 解得1tan 3

α=

， ∴11

tan tan

34tan()2141tan tan 11

43

π

απαπα+++=

==--?. 9．已知函数f （x ）(

)21

11x x log x x ≤?=?-?，，＞，则函数(())1y f f x =-的所有零点构成的集合为_____.

【答案】{1，3，9}

【解析】由(())1y f f x =-得f （f （x ））＝1，

设t ＝f （x ），则等价为f （t ）＝1，

当x ≤1时，由f （x ）＝x ＝1得x ＝1，

当x ＞1时，由f （x ）＝log 2（x ﹣1）＝1得x ＝3， 即t ＝1或t ＝3，

当x ≤1时，由f （x ）＝x ＝1，得x ＝1；由f （x ）＝x ＝3，得x ＝3（舍），故此时x ＝1； 当x ＞1时，由f （x ）＝log 2（x ﹣1）＝1得x ＝3；由f （x ）＝log 2（x ﹣1）＝3，得x ＝9， 综上x ＝1，或x ＝3或x ＝9．

所以函数y ＝f [f （x ）]﹣1的所有零点所构成的集合为：{1，3，9}

10．若对任意1x >-，不等式

2

1

22

x a x x +≤++恒成立，则a 的取值范围是______. 【答案】1,2??

+∞????

【解析】依题意得：设

()()()

22111

12+211

11x x y x x x x x ++=

==

+++++

+ 因为1x >-，则10x +> 所以()()

()()

1

1

121211y x x x x =++

≥+?

=++ 得

()1

1

1

2

11y x x =

≤

++

+，即12

y ≤ 当且仅当111x x +=+时，即0x =时，y 取得最大值为1

2，

又因为2

122x a x x +≤++恒成立，即max y a ≤，得1

2

a ≥， 即a 的取值范围为1,2??+∞????

.

11．在日常生活中，石子是我们经常见到的材料，比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石子，它的主要成分是碳酸钙.某雕刻师计划在底面边长为2m 、高为4m 的正四棱柱形的石料

1111ABCD A B C D -中，雕出一个四棱锥O ABCD -和球M 的组合体，其中O 为正四棱

柱的中心，当球的半径r 取最大值时，该雕刻师需去除的石料约重___________kg .（最后

结果保留整数，其中 3.14π≈，石料的密度3

2.4g/p cm =，质量m pV =）

【答案】()21952kg

【解析】依题意知，正四棱柱的体积()2

3

12416m V =?=.四棱锥O ABCD -的底面为

正方形，高2h =，所以其体积()23218

2233

V m =

??=.球M 的半径r 最大为1，此时其体积()33334441m 333

V r π

ππ=

=?=.故该雕刻师需去除的石料的体积()3

1238427.4416333

V V V V m π=--=--≈.又32.4g /cm ρ==32400/kg m ，所以该雕刻师需去除的石料的质量为()27.44

2400219523

kg ?

=.

12．如图，在圆的内接四边形ABCD 中，对角线BD 为圆的直径，5AB =，4=AD ，1CD =，点E

在BC 上，且()310

AE AB R t AC t ∈=+u u u r u u u r u u u r ，则AE AC ?u u u r u u u r

的值为________． 【答案】

997

【解析】因为点E 在BC 上，且()310AE AB R t AC t ∈=+u u u r u u u r u u u r ，所以7

10

t =． 易知AB AD ⊥，以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则

()0,0A ，(

)

5,0B

，()0,4D ，设(),C x y ，由1CD =，得()2

241x y +-=①，又对角线BD 为圆的直

径，所以()2

2

521224x y ??-+-= ? ???②，由①②，可得3530,77C ?? ? ???． 所以3530,77AC ??= ? ???

u u u r ，(

)

5,0AB =

u u u r

则2

373710101010AE AC AB AC AC AB AC AC ???=+?=?+= ???

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2233573530995101077

?????

?????+?+= ? ? ?????????

． 13．已知函数()211ln x f x k x k x -?

?=++ ??

?，[)1,k ∈+∞，曲线()y f x =上总存在两点()11,M x y ，

()22,N x y ，使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行()12x x ≠，则12x x +的取值范围为______.

【答案】()2,+∞

【解析】()211ln x f x k x k x -?

?=++ ??

?Q ，()21111f x k k x x ??'∴=+?-- ???，

由题意可得()()12f x f x ''=，即22112211

1

11

1

11k k k x x k x x ?

??

?+--=+-- ? ?

???

?， 12x x ≠Q ，化简可得

12111k x x k +=+，即12121x x k x x k ??

+=+ ???

， 而2

1

2122x x x x +??< ???，2121212x x x x k k +????∴+<+? ? ?????，则1241x x k k

+>+，

当1k 3时，由基本不等式可得4

2

112k k k

k

≤

=+?

，当且仅当1k =等号成立，

所以，122x x +>，因此，12x x +的取值范围为()2,+∞.

14．在ABC V 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则

22S

a bc

+的最大值为______

【答案】

312

【解析】Q 2221

sin 1sin 222cos 2222cos bc A

S A b c a bc b c bc A bc A c b

==?++-+++-1sin 4cos 2

A A ≤-?-（当且仅当b c =时取等号）.令sin ,cos A y A x ==，故

2

1242

S y a bc x ≤-?+-，因为22

1x y +=，且0y >，

故可得点(,)x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2

y

z x =

-上，表示圆弧上一点到点(2,0)A 点的斜率，由数形结合可知，当且仅当目标函数过点13,2H ?? ? ???

，即60A =?时，取得最小值3-

，故可得3,02y z x ??=∈-???-??， 又

21242S y a bc x ≤-?+-，故可得2

133

24S a bc ≤-?-=+， 当且仅当60,A b c =?=，即三角形为等边三角形时，取得最大值.

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本题满分14分)

如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12A A AC =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C B 的中点

. （1）证明：//EF 平面ABC ； （2）证明：1C E ⊥平面BDE .

【解析】（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG . 因为F 为1C B 的中点，所以FG ∥111

,2

C C FG C C =

. 在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ∥111,C C A A C C =，

且E 为1A A 的中点，所以FG ∥,EA FG EA =.

所以四边形AEFG 是平行四边形.所以EF ∥AG .

因为EF ?平面ABC ，AG ?平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . （2）因为在正三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，

BD ?平面ABC ，所以1A A BD ⊥.

因为D 为AC 的中点，BA BC =，所以BD AC ⊥.

因为1A A AC A =I ，1A A ?平面11A ACC ，AC ?平面11A ACC ， 所以BD ⊥平面11A ACC .因为1C E ?平面11A ACC ，所以1BD C E ⊥. 根据题意，可得16

2

EB C E AB ==

，13C B AB =， 所以222

11EB C E C B +=.从而190C EB ∠=?，即1C E EB ⊥.

因为BD EB B =I ，BD ?平面BDE ，EB ?平面BDE ， 所以1C E ⊥平面BDE . 16．(本题满分14分)

在ABC V 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，

已知()3,m a c b =-u r ，()cos ,cos n B C =-r

，且m n ⊥u r r

. （1）求sin B 的值；

（2）若2b =，ABC V 的面积为

6

，求ABC V 的周长. 【解析】（1）∵m n ⊥u r r

，∴(3)cos cos 0m c b n a B C ?=--=u r r ，

由正弦定理可得(3sin sin )cos sin cos 0A C B B C --=，

即3sin cos sin cos sin cos 3sin cos sin()0A B C B B C A B B C --=-+=. ∵sin()sin B C A +=，∴3sin cos sin 0A B A -=.

∵sin 0A ≠，∴1cos 3B =

.∵()0,B π∈，∴222

sin 1cos 3

B B =-=. （2）根据余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-， ∴2

2

243a c ac =+-

，即284()3

a c ac =+-. ∵ABC V 的面积为

64

，∴11226sin 22ac B ac =?=

，∴33

4ac =，

∴2

28

()4423(31)3

a c ac +=+

=+=+，∴31a c +=+.故ABC V 的周长为33+. 17．(本题满分15分)

某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：

()

253,02()50,251x x W x x x x

?+≤≤?

=?<≤?

+?，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）

20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为

()f x （单位：元）．

（1）求()f x 的函数关系式；

（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少? 【解析】（1）由已知()()()1520101530f x W x x x W x x =--=-

()

2155330,02,501530,251x x x x x x x ??+-≤≤?=??-<≤?+?

27530225,02,75030,2 5.1x x x x x x x ?-+≤≤?=?-<≤?

+? (2)由(1)得()()2

2175222,02,7530225,02,5=75030,2 5.25780301,2 5.11x x x x x f x x

x x x x x x ???

-+≤≤?-+≤≤?

?????=??-<≤????-++<≤+????+???

当02x ≤≤时，()()max 2465f x f ==； 当25x <≤时，()()257803011f x x x ??=-++??+?? ()25

78030214801x x

≤-??+=+ 当且仅当

25

11x x

=++时，即4x =时等号成立． 因为465480<，所以当4x =时，()max 480f x =．

∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元． 18．(本题满分15分)

已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3

，直线:10m x y -+=经过

椭圆C 的上顶点，直线:10n x +=交椭圆C 于,A B 两点，P 是椭圆C 上异于

,A B 的任意一点，直线,AP BP 分别交直线:40l x +=于,Q R 两点．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）求证：OQ OR ?uuu r uuu r

（O 为坐标原点）为定值．

【解析】（1）据题设知，点(0,)b 在直线:10m x y -+=上，得1b =．

又因为

c a =

222b c a +=，0a >，所以2a =

，c =， 所以所求椭圆C 的标准方程为2

214

x y +=．

（2）设()00,P x y ，(1,)A t -，(1,)B t --，则有2

200440x y +-=．

直线AP 的方程为00(1)1t y y t x x --=

+--．令4x =-，整理得()00

0431Q x t y y x +-=+．

同理可得点R 纵坐标()000

341Q y x t

y x --+=

+，

所以点,Q R 的纵坐标之积()()000000433411Q R x t y y x t y y x x +---+?=?++()()

2

22

002

0941y x t x -+=+． 又因为2

2

00114y x =-

，234

t =， 所以()()()()

222000

22

00139143144311Q R x x x y y x x ?

?--+ ?-+???===-++， 所以()()4,4,1613Q R Q R OQ OR y y y y ?=-?-=+?=u u u r u u u r ，即OQ OR ?uuu r uuu r

（O 为坐标原点）为定值．

19．(本题满分16分)

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*

22,n n S a n N =-∈.

（1）求证：数列{}n a 为等比数列； （2）设数列2

{}n a 的前n 项和为n T ，求证：

2n

n

S T 为定值； （3）判断数列{

}

3n

n a -中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论. 【解析】（1）当1n =时，1122,S a =-，解得12a =.

当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=.

因为10a ≠，所以1

2n

n a a -=，从而数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =. （2）因为()

2

2

24n

n n a ==，所以2

1

24n n

a a +=，

故数列{}

2

n a 是以4为首项，4为公比的等比数列， 从而(

)()

222122

4

112

n

n

n

S

-=

=--，(

)(

)

4144

4114

3

n n

n T -=

=--，所以23

2n n S T =.

（3）假设{

}

3n

n a -中存在第,,()m n k m n k <<项成等差数列， 则(

)

2333n

m k

n m k a a a -=-+-，即(

)

233232n

m m k k

n a -=-+-. 因为m n k <<，且*

,,m n k N ∈，所以1n k +≤.

因为()11

2332323232n m m k k m m n n n a ++-=-+-≥-+-，所以332n m m -≥-，故矛盾， 所以数列{}3n

n a -中不存在三项成等差数列.

20．(本题满分16分)

设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数3

2

()63(4)f x x x a a x b =---+，()()x

g x e f x =. （1）求()f x 的单调区间；

（2）已知函数()y g x =和x

y e =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，

（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；

（ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围. 【解析】（1）由()()3

2

634f x x x a a x b =---+，可得

()()()()()2'3123434f x x x a a x a x a =---=---，

令()'0f x =，解得x a =，或4x a =-.由1a ≤，得4a a <-. 当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：

所以，()f x 的单调递增区间为(),a -∞，()4,a -+∞，单调递减区间为(),4a a -.

（2）（i ）因为()()()()''x

g x e f x f x =+，由题意知()()0

000'x x g x e g x e

?=?

?=??，

所以()()()()0000000'x x x x f x e e e f x f x e ?=??+=??

，解得()()001'0f x f x ?=??=??. 所以，()f x 在0x x =处的导数等于0.

（ii ）因为()x

g x e ≤，[]

001,1x x x ∈-+，由0x e >，可得()1f x ≤.

又因为()01f x =，()0'0f x =，故0x 为()f x 的极大值点，由（I ）知0x a =. 另一方面，由于1a ≤，故14a a +<-，

由（I ）知()f x 在()1,a a -内单调递增，在(),1a a +内单调递减，

故当0x a =时，()()1f x f a ≤=在[]1,1a a -+上恒成立，从而()x g x e ≤在[]

001,1x x -+上恒成立.

由()()3

2

6341f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤.

令()3

2

261t x x x =-+，[]

1,1x ∈-，所以()2'612t x x x =-，

令()'0t x =，解得2x =（舍去），或0x =.

因为()17t -=-，()13t =-，()01t =，故()t x 的值域为[]

7,1-. 所以，b 的取值范围是[]

7,1-.

盐城市第一中学2019-2020届高三调研考试

数学附加试题

21．【选做题】（每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． A ．选修4—2：矩阵与变换

21．已知矩阵 3 00 4A =??

????

．

（1）求A 的逆矩阵1A -；

（2）求圆22

144x y +＝

经过1A -变换后所得的曲线的方程． 【解析】（1）由条件300

4A ??=???

?且11001AA -??=????，可得-1

10310

4A ??

??=???????

?

； （2）设变换后新曲线上任一点(),P x y ，变换前对应点()

,P x y '

'

'

，

则103104x x y y ????'????=??????'?????????

?，即13

14x x y y ?=???''?=??

， 所以34x x y y ''=??=?

，代入22

144x y +=得：221169x y +=，

所以曲线2

2

144x y +=经过1

A -变换后所得曲线的方程为22

1169

x y +=.

B ．选修4—4：坐标系与参数方程

22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l

的参数方程为132x t y ?=+??

??=??

（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的

正半轴为极轴建立极坐标系，⊙O

的极坐标方程为ρθ=． （1）写出⊙O 的直角坐标方程；

（2）P 为直线上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【解析】（1）由2

2

2

,sin x y y ρρθ=+=得

222sin x y ρθρθ=?=?+=，

即⊙O

的直角坐标方程为220x y +-=

，即22(3x y +-=；

（2）设P

点坐标为1(3)2t +

， P 到圆心C

的距离d ==≥= 当0t =时，P 到圆心C

的距离取最小值(3,0)P .

【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．

22．已知n

n n x a x a x a a x )1()1()1()1(2210-++-+-+=+Λ．

（1）求0a 及n n na a a a S ++++=Λ32132； （2）试比较n S 与3n 的大小，并说明理由.

【解析】（1）取1=x ，可得n

a 20=，对等式两边求导，得

123211)1()1(3)1(2)1(---++-+-+=+n n n x na x a x a a x n Λ，

取2=x ，则1

321332-?=++++=n n n n na a a a S Λ.

（2）要比较n S 与3n 的大小，即比较：13-n 与2n 的大小，

当1=n 时，213n n =-；当2=n 时，213n n <-；当3=n 时，213n n =-；当5,4=n 时，213n n >-， 猜想：当4≥n 时，213n n >-，下面用数学归纳法证明： （i ）当4=n 时，214416273=>=-，猜想成立， （ii ）假设当k n =，)4(≥k 时结论成立，即213k k >-， 当1+=k n 时，21113333k k k >?=--+，

而02313421)1(2122)1(32

2

2

>=-??≥--=--=+-k k k k k k ， ∴22111)1(3333

+>>?=--+k k k k ，故当1+=k n 时猜想也成立，

综合，当1=n 时，213n n =-；当2=n 时，213n n <-；当3=n 时，213n n =-；当4≥n 时，213n n >-. 23．已知点(1,0)F 为抛物线2

2(0)y px p =>的焦点，点P 在抛物线C 上，过点(,0)R t 的直线交抛物线C 于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，且满足2PM MF =u u u u r u u u r

． （1）若直线AB 的斜率为1，求点P 的坐标； （2）若6

5

t ≤

，求四边形FBPA 面积的最大值． 【解析】（1）点(1,0)F 是抛物线的焦点，则抛物线的方程为2

4y x =． 设直线AB 方程为x y t =+，()00,M x y ，()11,A x y ，()22,B x y

由24y x x y t

?=?=+?，得2440y y t --=，124y y ∴+=，02y =， 由2PM MF =u u u u r u u u r

得()020P P y y y -=-

所以6P y =，294

P

P y x ==，(9,6)P ∴．

（2）设直线AB 方程为x my t =+．

24y x x my t

?=?

=+?，得2

440y my t --=，

从而()2

160m t ?=+>1212

44y y m

y y t +=??=-?．

由于M 为线段AB 的中点，则02y m =，2

02x m t =+，即()

22,2M m t m + 又2PM MF =u u u u r u u u r ，则()

22

221224p p m t x m t m y m

?+-=--??-=-??，从而()

2

632,6P m t m +-

点P 在抛物线上，则(

)

2

2

364632m m t =+-，2

32

3

t m -=

． 由于223203620

3t m t m t -?=≥???-??=+=>??

且65t ≤，得2635t ≤≤，

又,,A B F 三点共线时，1t =，所以26,11,35t ????

∈?? ??????

．

又

12||AB y y =-==点F

到AB 的距离d =，

则

3FBPA ABF S S ===V 记2

26()(31)(1),11,35

f t t t t ??

????=--∈?? ?????

???

?

，则()(95)(1)f t t t '=--．

故()f t 在区间2,13?? ???递减，61,5??

???递增，max 261

()max ,

359

f t f f ??????==?? ? ???

????，此时23t =

所以13FBPA S =≤=

四边形FBPA 面积的最大值为3

．