旅游数学模型

大隆河旅游的套餐模型

摘要：本文采用相关的数学方法及数学软件，为让更多的旅游团队在大隆河旅游进行了综合分析。根据游客进入旅游区的特征函数，采用不同的旅游套餐形式建立相应的数学模型，进而确定最大的客容量.

首先，通过有关数据及资料进行分析，运用k 级爱尔朗输入法[1]、 poisson 流法及分布得出游客进入旅游区的特征函数

0,!)(1)(0

≥-=∑==-t n t t A t

k n n t

e λλ及{

,0

,01)(≥<-=

-t t e

t A t

λ，

进而更好的对游客的出行进行安排。

第二，运用平行类比法[2]，按出游时间划分为5个套餐模式供游客选择，并运

用MATLAB 软件描绘出具体的旅游方案图，更加形象直观，游客可以根据游玩时间进行选择出行套餐，方便快捷。

第三，通过对不同交通工具的速度与露营点之间距离的关系进行分析，给出了8种不同的行船情况。最后根据目标规划的极限取整法，建立数学模型

X Y k

k k k k V -++++++++++=])10.12[]16.13[]14.16[]18.20[]10.28([2，

近似确定可增加的旅游队伍，以及实现对露营地的最大利用。

最后，对所建立的数学模型进行了分析，此模型计算方便，信息量多，具有一定的稳定性,同时指出了模型存在的不足及改进的方向。

关键词： k 级爱尔朗输入 、 poisson 流法及分布、 类比法 、 目标规划的极限取整法[3]、 MATLAB 软件

一问题重述：

游客在“大长河”(225英里)可以享受到秀丽的风光和令人兴奋的白色湍流。这条河对于背包客来说是进不去的，因此畅游这条长河的唯一办法就是在这条河上露营上几天。这次旅行从开始的下水点到最终结束点，共225英里，且是顺流而下的。乘客可以选择平均4英里/小时的以浆作为动力的橡胶筏或者平均8英里/小时的机动帆船旅行。整个旅行从开始到结束会经历6至18个夜晚。负责管理这条河的政府机构希望到这里的每一次旅行都能够享受到野外经历，以最少的接触到在河上其它的船只。目前，每年在六个月期间(一年的其余部分的天气对于河流旅行来说太冷)，共有X次旅行，有Y处露营地，露营地均匀的分布整个河道。由于漂流的受欢迎程度的上升，公园管理者已经被要求允许更多的旅行次数。所以他们想确定怎样可能安排一个最优的混合的旅行方案，不同的时间(单位为夜)和推动方式(马达或浆)，最大限度的利用露营地。换句话说，在长河的漂流季，将会有多少更多的乘船旅行可以加进来?河流的管理者现在雇佣你，为他们提出最佳排程方式和河流承载能力的建议，记住两个露营者不能在同一时间内占据同一个露营地。除了你的一页摘要，准备一页备忘录，对河流的管理者描述你的主要发现。

二模型假设

1、白天可以在露营点休息，且最多能休息r个小时。晚上的休息时间为：18：00---6：00且不能行船。

2、旅行途中不能改换交通工具。

3、每艘船都有固定的出发时刻，旅客不能按自己的意愿随意的上船[4]。

4、忽略不同季节流水速度对船速的影响。

5、晚上18：00之前必须达到一个没有人的露营地进行露营。

6、两只船可以在露营地相遇或超越，但不能在河道中相遇或超过。

7、每支旅游团队的人数一定，而且都能被一艘船容纳。

8、每艘船都安装GPS定位仪器，能观察到前后的225/(y+1)范围内是否有船及相邻露营地是否有旅游团露营。

三：符号定义：

r：每天旅途中经历的露营时间（：h）

v：船行的速度（英里/h）

c：每天船行总的时间（：h）

g：每天理论的漂流时间（：h）

L1：前后两船之间的距离（：英里） λ: 为某一参数 k ：为正整数

d: 某一套餐的中白天行船的天数 e ：指数函数

)(t V m ：普阿松分布[4]

)(t A ：k 级爱尔朗分布函数

四：模型建立与求解：

1图示法如下：

图1

2、由实际的情况可知，旅客的进入旅游场地符合两种分布：

⒈ k 级爱尔朗输入分布（Erlang Ek ）,其密度函数a （t ）即分布函数A （t ）分别为： 0,)!

1()()(1

≥-=

--t k t t a e

k λ

λλ；（1）

0,!)(1)(0

≥-=∑==-t n t t A t

k n n

t

e

λλ ；（2） 其中k 为正整数。由式可得，当k=1时，即为普阿松输入分布。

⒉ poisson 流输入分布[5]，设在时间t 内到达m 个顾客的概率为V m (t)服从普阿松分布。即：

0,...,2,1,0,!

)()(>==-t m m t t V m

t

m e

λλ ；（3） λ为达到参数。相应顾客到达是独立同分布的，其分布函数为负指数分布[6]：

{

,0

,01)(≥<-=-t t e

t A t

λ； （4）

由此两种分布可估计出游客人数的服从普阿松分布，由此做好应对措施。

3、由于露营地是均匀的分布在河岸上，故两相邻的露营地之间的距离是：

1

y 225

+,且每刚刚到达第n 个露营地时与在途中休息的时间r 有如下关系式：)(1

225r c v y n

-=+。 ①

要求最大程度的减少两船相遇，即在河道上前船不能超越后船。假设目前正处于某一露营地。若g r c <-，则船可以继续行驶。由GPS 系统可知相邻露营地之间的露营及行船情况。

1）

若即将到达的下一个露营地没有船，且满足：c r g v

y -+≤+)1(225

。 ②

则可以往下一个露营地行船且露营。

2） 若到达的第n 个露营地没有船，则：

c r g v

n

-+≤225。 ③ 3）

若即将到达的下一个露营地有船，但在该船到达之时船恰好离开。则:

r v

y n

≥+)1(225 。 ④

4） 若下一露营地没船，但是相邻两地之间还有船行驶，如图2所示： （1）若前船不停，则后船可以正常行驶，在下一露营地停船。

若)

1(2225

1+<

y L ,后船不能行。

若)

1(2225

1+>

y L ，后船可以行。

（2）若前船在下一个露营地停船： 前后两船均为木船，则L1>4r 且)1(225

1+<

y L ；⑤ 若前后都是摩托艇，则L1>8r 且)

1(225

1+<

y L ；⑥ 若前船为摩托艇，后船为木船，则)1(422581

1

225

+≤+-+y r L y ;⑦ 若前船为木船，后船为摩托艇，则)

1(822541

1

225+≤+-+y r L y 。⑧ 满足上述条件，则后船可以前进。

图2

4、由于旅行人流量大，故旅游人数可看作近似的服从正态分布[7] ，由正态

分布的分布规律。该模型采用类比法按住宿的夜数不同将旅行分为5个旅游套餐，供游客选择：

套餐一：露宿7也，适合想在此游玩7到9天的游客。 套餐二：露宿9-11 夜； 套餐三：露宿12-14夜；

套餐四：露宿15-17 夜 套餐五：露宿18 夜 。

在天气变暖，一年旅行刚开始的三天内游客较少，不能充分利用所有的露营地，三天后假设所有的露营地都有团队露营，则正式实行此方案：假设刚开始时所有的露营地都有团队露营

①经计算可得不同交通工具在不同套餐内的时间范围(单位：时)，如表1所示：

②利用N

x x x x M n )

.....(321++=

，则从表1中可得每钟套餐每天行进的平均小时

数（单位：小时），即：如表2所示

表2

③利用s 225

=

每组每天需行进的平均路程（单位：英里），如表3所示： 表3

④两个露营地之间的距离设为1

225

+=y k ，则每组每种交通工具每天可经过的露营地个数（单位：个），如表4所示

表4

])10

.12[]16.13[]14.16[]18.20[]10.28([

2+++++++++=k

k k k k S ，

（5）

此处符号[]为取整号[8]

可知S ≤Y

则可估计S ≤X ≤Y+S

⑤把每天的露营地编号,每种套餐只可在自己的编号内露营，这样保障不同套餐的游船正常露营。如表5所示： 表5

说明：每只游团队在最后一天可以在露营地露营，但必须在18：00之前到达最终结束点，不能在此过夜。

5、由以上的计算分析。这五个套餐所花费时间如下，如图3。

图3

截取大长河的一段来表示在河岸一侧五个套餐中露营地比例及分布[9]，五种套餐的各自所占露营地比例为[28.0/K+1]*8： [20.8/K+1]*11： [16.4/K+1] *14：[13.6/K+1]*17：[12/K+1]*19。如图4所示

图4

所用时间：

套餐一共用7夜8天，用红色表示；套餐二共用10夜11天，用黄色表示；

套餐三共用13夜14天，用绿色表示；套餐四共用16夜17天，用洋红色表示； 套餐五共用18夜19天，用蓝色表示。

综上可知，可以最大限度的添加 V 支旅行队伍进来，且：

X

Y k

k k k k V -++++++++++=])10.12[]16.13[]14.16[]18.20[]10.28([2，（6）

五．模型的优、缺点与推广

模型优点：模型建立在对实际的问题具体分析之上，思路比较明确。运用统计学方法解决问题。通过类比法将露营的方案设计成五种套餐模式，以供游人选择方便快捷，不仅最大程度利用露营地问题，而且解决了最大限度增加旅游团队的问题。

模型缺点：模型给出的套餐时间定量模式可能与游客的实际出游时间相违背，使得模型灵活性不强。

模型推广：本模型的方法可以推广到旅游费用最小跟最短最省钱路线问题。根据实际情况，本模型还可以推广到其他的城市交通及港口泊船问题[10]中去。

六．参考文献

[1] 祝甲山，陈箓生，港口服务系统的排队模型及其数量指标，北方交通大学学报第2期1983.11

[2] 杨蕾，聂淼，梅洛勤，类比法讨论旋转带电体的磁矩，安徽广播电视大学学报2011.03

[3]邢建林 ,斜向取整法在建筑制图中的应用,建筑工人 2000

[4]汪红,用普阿松分布逼近二项分布的误差估计1997年S1期

[5]孟小平,Poisson回归模型的SAS GENMOD实现方法,山西医科大学学报2000

[6]刘溪指数函数空间变换的互补问题的微分方程方法2006.06

[7] 刘娅,运用正态性检验法对大学英语测试进行评估,陕西工学院学报 2000

[8]赵天玉,取整函数的性质及应用,高等数学研究,2004年第5期

[9]徐国裕,郭涂城,吴兆麟.单向水道船舶进出港最佳排序模式,,大连海事大学学报 2008.11

[10]张一诺,港口通用泊位最佳数量的计算方法,水运规划设计院,2007.2

备忘录

1．为了促进旅游管理，最大限度地的旅客人数，我们的旅客提供5种套餐涵盖所有出行方式

2．有在船的GPS设备。游客可以与总公司联系，使他们能够做出正确的决策。3．游客可以选择一种定餐，根据他们的愿望和建议的经理。但是，他们必须行驶在预定的计划。

4．作为选择套餐的游客人数遵循正态分布，所以我们可以看到，那顿饭1和餐有一些游客和其他餐点，有很多。管理人员可合理分配来的船只吗？

5．白天游客的数量可以达到最大值。

6．这种模式具有相对稳定的情况下，不考虑水流速度的影响。要求管理员做出应急措施，确保游客的人身安全，在旅游时的水流速度有着巨大的影响。