江苏省苏州市2019届高三上学期期中考试数学

2018—2019学年苏州市第一学期高三数学期中调研试卷

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置) 1．设全集{}=1,2,3,4,5U ，若集合{}3,4,5A =，则U A =e ． 2．命题“2,210x R x x ≥?∈-+”的否定是 ．

3．已知向量(2,)m =a ，(1,2)=-b ，且⊥a b ，则实数m 的值是 ． 4．函数()lg(2)2f x x x =-++的定义域是 ．

5．已知扇形的半径为6，圆心角为

3

π

，则扇形的面积为 ． 6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，424S

S =，则84

S S = ．

7.设函数()sin()f x A x ω?=+（,,A ω?为常数， 且0,0,0A ω?>><<π）的部分图象如图所示， 则?的值为 ．

8．已知二次函数2()23f x x x =-++,不等式()f x m ≥的解集的区间长度为6(规定：闭区间[],a b 的长度为b a -)，则实数m 的值是 ．

9．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为48003m ，深度为3m ．如果池底每12m 的造价为150元，池壁每12m 的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为 m ． 10．在ABC △中，sin 2sin cos 0A B C +=，则A 的最大值是 ．

11．已知函数()2

,1,e

ln ,1,x x f x x x x

≥+<=???????，若()()

()()1

23123

f x

f x f x x x x ==<<，则()13x f x 的取值范围是 ．

12．已知数列{}n a 的通项公式为51n a n =+，数列{}n b 的通项公式为2n b n =,若将数列{}n a ，{}n b 中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{}n c ，则6c 的值为 ．

13．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，60BCD ∠=?，23CB CD ==. 若点M 为边BC 上的动点，则AM DM uuu r uuu u r

?的最小值为 ．

C

B

D

M

14．函数()x

f x e x a =-在(1,2)-上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．

二、解答题(本大题共6个小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)已知(2cos23,2sin2)αα=+m ，(sin ,cos )ββ=n ．

（1）若6

βπ

=，且()f α=?m n ，求()f α在[0,]2

π上的取值范围；

（2）若//m n ，且αβ+、α的终边不在y 轴上，求tan()tan αβα+的值．

16．(本题满分14分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n A ， 35a =，636A =．数列{}n b 的前n 项和为n B ，且21n n B b =-．

（1）求数列}{n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =?，求数列{}n c 的前n 项和n S ．

17 ．(本题满分14分)某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC 上设计一个观景台D （点D 与点O ，C 不重合），其中AD ，BD ，CD 段建设架空木栈道，已知2AB =km ，设建设的架空木栈道的总长为y km ．

（1）设(rad)DAO θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短．

18．(本题满分16分)已知()x x

a

f x e e =-

是奇函数． （1）求实数a 的值；

（2）求函数222()x x y e e f x λ-=+-在),0[∞+∈x 上的值域； （3）令()()2g x f x x =-，求不等式32(1)(13)0g x g x ++-<的解集．

19．(本题满分16分)已知数列{}n a 的首项为1，定义：若对任意的*n N ∈，数列{}n a 满足13n n a a +->，则称数列{}n a 为“M 数列”．

（1）已知等差数列{}n a 为“M 数列”， 其前n 项和S n 满足2S 22n n n <+()*n N ∈，求数列{}n a 的公差d 的取值范围；

（2）已知公比为正整数的等比数列{}n a 为“M 数列”，记数列{}n b 满足3

4

n n b a =，且数列{}n b 不为“M 数列，求数列{}n a 的通项公式．

20．(本题满分16分)设函数()1ln f x ax x =--，a 为常数．

（1）当2a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若12,x x 为函数()f x 的两个零点，12x x >．

①求实数a 的取值范围；②比较12x x +与2a

的大小关系，并说明理由．

附加题

21．【选做题】请选定其中两题，在答题卡上填涂选作标志，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．（本题满分10分）已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交

△ABC 的外接圆于点F ，连结FB ，FC . （1）求证：FB FC =；

（2）若AB 是△ABC 外接圆的直径，120EAC ?∠=，6BC =，求AD 的长． B ．（本题满分10分）已知可逆矩阵A =27

3a

???

???的逆矩阵为1

27b a --??=??-??

A ，求1-A 的特征值． C ．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos ,

2sin x y αα=+??=?

（α为参数），以

点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆C 的极坐标方程；

（2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，求OA 的中点所在曲线的极坐标方程．

D ．（本题满分10分）已知函数()36f x x =+，()14g x x =-，若存在实数x 使()g()f x x a +>成立，求实数a 的取值范围．

22．（本题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中， BC ⊥PB ，AB BC ⊥，//AD BC ，3AD =，

22PA BC AB ===，3PB =．

(1)求二面角P CD A --的余弦值；

(2)若点E 在棱PA 上，且//BE 平面PCD ，求线段BE 的长．

23．（本题满分10分）已知函数0cos ()(0)x

f x x x

=

>，设()n f x 是1()n f x -的导数，n ∈*N ． (1) 求12π

ππ

2()()2

22

f f +

的值； (2) 证明：对于任意n *N ∈，等式1π

ππ2

()()4

442n n nf f -+=

都成立．

E

A C

P

B

D