一、统计数据的收集与整理

第一章统计数据的收集与整理

1.1 算术平均数是怎样计算的？为什么要计算平均数？

答：算数平均数由下式计算：，含义为将全部观测值相加再被观测值的个数除，所得之商称为算术平均数。计算算数平均数的目的，是用平均数表示样本数据的集中点，或是说是样本数据的代表。

1.2 既然方差和标准差都是衡量数据变异程度的，有了方差为什么还要计算标准差？

答：标准差的单位与数据的原始单位一致，能更直观地反映数据地离散程度。

1.3 标准差是描述数据变异程度的量，变异系数也是描述数据变异程度的量，两者之间有什么不同？

答：变异系数可以说是用平均数标准化了的标准差。在比较两个平均数不同的样本时所得结果更可靠。

1.4 完整地描述一组数据需要哪几个特征数？

答：平均数、标准差、偏斜度和峭度。

1.5 下表是我国青年男子体重（kg）。由于测量精度的要求，从表面上看像是离散型数据，不要忘记，体重是通过度量得到的，属于连续型数据。根据表中所给出的数据编制频数分布表。

6669646564666865626469616168665766696665 7064586766666766666266666462626564656672 6066656161666762656561646264656265686865 6768626370656465626662636865685767666863 6466686463606469656667676765676766686467 5966656356666363666763706770626472696767 6668646571616361646467697066646564637064 6269706865636566646869656367637065686769 6665676674646965646565686765656667726567 6267716965657562696868656366666562616865 6467666460616867635965606463696271696063 5967616869666469656867646466697368606063 3862676565696567657266676461646663636666 6663656367686662636166616368656669646670 6970636465646767656662616565606365626664

答：首先建立一个外部数据文件，名称和路径为：E:\data\exer1-5e.dat。所用的SAS程序和计算结果如下：

proc format;

value hfmt

56-57='56-57' 58-59='58-59' 60-61='60-61'

62-63='62-63' 64-65='64-65' 66-67='66-67'

68-69='68-69' 70-71='70-71' 72-73='72-73'

74-75='74-75';

run;

data weight;

infile 'E:\data\exer1-5e.dat';

input bw @@;

run;

proc freq;

table bw;

format bw hfmt.;

run;

The SAS System

Cumulative Cumulative

BW Frequency Percent Frequency Percent

-----------------------------------------------------

56-57 3 1.0 3 1.0

58-59 4 1.3 7 2.3

60-61 22 7.3 29 9.7

62-63 46 15.3 75 25.0

64-65 83 27.7 158 52.7

66-67 77 25.7 235 78.3

68-69 45 15.0 280 93.3

70-71 13 4.3 293 97.7

72-73 5 1.7 298 99.3

74-75 2 0.7 300 100.0

1.6 将上述我国男青年体重看作一个有限总体，用随机数字表从该总体中随机抽出含量为10的两个样本，分别计算它们的平均数和标准差并进行比较。它们的平均数相等吗？标准差相等吗？能够解释为什么吗？

答：用means过程计算，两个样本分别称为和，结果见下表：

The SAS System

Variable N Mean Std Dev

----------------------------------------

Y1 10 64.5000000 3.5039660

Y2 10 63.9000000 3.1780497

----------------------------------------

随机抽出的两个样本，它们的平均数和标准差都不相等。因为样本平均数和标准差都是统计量，统计量有自己的分布，很难得到平均数和标准差都相等的两个样本。

1.7 从一个有限总体中采用非放回式抽样，所得到的样本是简单的随机样本吗？为什么？本课程

要求的样本都是随机样本，应当采用哪种抽样方法，才能获得一随机样本？

答：不是简单的随机样本。从一个有限总体中以非放回式抽样方法抽样，在前后两次抽样之间不是相互独立的，后一次的抽样结果与前一次抽样的结果有关联，因此不是随机样本。应采用随机抽样的方法抽取样本，具体说应当采用放回式抽样。

1.8 证明其中若用或编码时，前式是否仍然相等？

答：（1）令

则平均数特性之③。

（2）令

则平均数特性之②。

用第二种编码方式编码结果，两式不再相等。

1.9 有一个样本：，设B为其中任意一个数值。证明只有当

最小。这是平均数的一个重要特性，在后面讲到一元线型回归时还会用到该特性。

答：令，为求使p达最小之B，令

则。

1.10 检测菌肥的功效，在施有菌肥的土壤中种植小麦，成苗后测量苗高，共100株，数据如下[1]：

10.09.37.29.18.58.010.510.69.610.1

7.0 6.79.57.810.57.98.19.67.69.4

10.07.57.2 5.07.38.77.1 6.1 5.2 6.8

10.09.97.5 4.57.67.09.7 6.28.0 6.9

8.38.610.0 4.8 4.97.08.38.47.87.5

6.610.0 6.59.58.511.09.7 6.610.0 5.0

6.58.08.48.3

7.47.4

8.17.77.57.1

7.87.68.6 6.07.0 6.4 6.7 6.3 6.411.0

10.57.8 5.08.07.07.4 5.2 6.79.08.6

4.6 6.9 3.5 6.29.7 6.4

5.8

6.49.3 6.4

编制苗高的频数分布表，绘制频数分布图，并计算出该样本的四个特征数。

答：首先建立一个外部数据文件，名称和路径为：E:\data\exr1-10e.dat。SAS程序及结果如下：options nodate;

proc format;

value hfmt

3.5-

4.4='3.5-4.4' 4.5-

5.4='4.5-5.4' 5.5-

6.4='5.5-6.4'

6.5-

7.4='6.5-7.4' 7.5-

8.4='7.5-8.4' 8.5-

9.4='8.5-9.4'

9.5-10.4='9.5-10.4' 10.5-11.4='10.5-11.4';

run;

data wheat;

infile 'E:\data\exr1-10e.dat';

input height @@;

run;

proc freq;

table height;

format height hfmt.;

run;

proc capability graphics noprint;

var height;

histogram/vscale=count;

inset mean var skewness kurtosis;

run;

The SAS System

The FREQ Procedure

Cumulative Cumulative

height Frequency Percent Frequency Percent

---------------------------------------------------------------------

3.5-

4.4 1 1.00 1 1.00

4.5-

5.4 9 9.00 10 10.00

5.5-

6.4 11 11.00 21 21.00

6.5-

7.4 23 23.00 44 44.00

7.5-8.4 24 24.00 68 68.00

8.5-9.4 11 11.00 79 79.00

9.5-10.4 15 15.00 94 94.00

10.5-11.4 6 6.00 100 100.00

1.11 北太平洋宽吻海豚羟丁酸脱氢酶（HDBH）数据的接收范围频数表[2]如下：（略作调整）

HDBH数据的接收范围

频数

/(U ·L-1)

<2141

<245.909 13

<277.818 211

<309.727 319

<341.636 426

<373.545 522

<405.454 511

<437.363 613

<469.272 76

<501.181 83

<533.090 92

根据上表中的数据作出直方图。

答：以表中第一列所给出的数值为组界，直方图如下：

1.12 灵长类手掌和脚掌可以握物一侧的皮肤表面都有突起的皮肤纹嵴。纹嵴有许多特征，这些特征在胚胎形成之后是终生不变的。人类手指尖的纹型，大致可以分为弓、箕和斗三种类型。在手指第一节的基部可以找到一个点，从该点纹嵴向三个方向辐射，这个点称为三叉点。弓形纹没有三叉点，箕形纹有一个三叉点，斗形纹有两个三叉点，记录从三叉点到箕或斗中心的纹嵴数目称为纹嵴数（finger ridge count, FRC）。将双手十个指尖的全部箕形纹的纹嵴数和/或斗形纹两个纹嵴数中较大者相加，称为总纹嵴数（total finger ridge count, TFRC）。下表给出了大理白族人群总纹嵴数的频数分布[3]：

TFRC分组中值频数

11~30202

31~50401

51~70608

71~908029

91~11010054

111~13012063

131~15014068

151~17016051

171~19018018

191~2102006

首先判断数据的类型，然后绘出样本频数分布图，计算样本的四个特征数并描述样本分布形态。

答：总纹脊数属计数数据。

计数数据的频数分布图为柱状图，频数分布图如下：

样本特征数（以TFRC的中值计算）SAS程序：

options nodate;

data tfrc;

do i=1 to 10; input y @@;

input n @@;

do j=1 to n;

output;

end;

end;

cards;

20 2

40 1

60 8

80 29

100 54

120 63

140 68

160 51

180 18

200 6

;

run;

proc means mean std skewness kurtosis;

var y;

run;

结果见下表：

The SAS System

Analysis Variable : Y

Mean Std Dev Skewness Kurtosis

------------------------------------------------------

126.5333333 32.8366112 -0.2056527 -0.0325058

------------------------------------------------------

从频数分布图可以看出，该分布的众数在第七组，即总纹脊数的中值为140的那一组。分布不对

称，平均数略小于众数，有些负偏。偏斜度为-0.2056527，偏斜的程度不是很明显，基本上还可以认为是对称的，峭度几乎为零。

1.13 海南粗榧叶长度的频数分布[4]：

叶长度/mm中值频数

2.0~2.2 2.1390

2.2~2.4 2.3 1 434

2.4~2.6 2.5 2 643

2.6~2.8 2.7 3 546

2.8~

3.0 2.9 5 692

3.0~3.2 3.1 5 187

3.2~3.4 3.3 4 333

3.4~3.6 3.5 2 767

3.6~3.8 3.7 1 677

3.8~

4.0 3.9 1 137

nag

4.0~4.2 4.1667

4.2~4.4 4.3346

4.4~4.6 4.5181

绘出频数分布图，并计算偏斜度和峭度。

答：表中第一列所给出的数值为组限，下图为海南粗榧叶长度的频数分布图。

计算偏斜度和峭度的SAS程序和计算结果如下：

options nodate;

data length;

do i=1 to 13; input y @@;

input n @@;

do j=1 to n;

output;

end;

end;

cards;

2.1 390

2.3 1434

2.5 2643

2.7 3546

2.9 5692

3.1 5187

3.3 4333

3.5 2767

3.7 1677

3.9 1137

4.1 667

4.3 346

4.5 181

;

run;

proc means n skewness kurtosis;

var y;

run;

The SAS System

Analysis Variable : Y

n Skewness Kurtosis

---------------------------------

30000 0.4106458 0.0587006

---------------------------------

样本含量n＝30000，是一个很大的样本，样本的偏斜度和峭度都已经很可靠了。偏斜度为0.41，有一个明显的正偏。

1.14 马边河贝氏高原鳅繁殖群体体重分布如下[5]：

体质量/g中值雌鱼雄鱼

2.00~

3.00 2.5014

3.00~

4.00 3.5067

4.00~

5.00 4.501311

5.00~

6.00 5.503025

6.00~

7.00 6.502525

7.00~8.007.501623

8.00~9.008.502117

9.00~10.009.501816

10.00~11.0010.50124

11.00~12.0011.503

12.00~13.0012.502

首先判断数据的类型，然后分别绘制雌鱼和雄鱼的频数分布图，计算样本平均数、标准差、偏斜度和峭度并比较两者的变异程度。

答：鱼的体重为度量数据，表中第一列所给出的数值为组限。在下面的分布图中雌鱼和雄鱼的

分布绘在了同一张图上，以不同的颜色表示。

计算统计量的SAS程序与前面的例题类似，这里不再给出，只给出结果。

雌鱼：

The SAS System

Analysis Variable : Y

N Mean Std Dev Skewness Kurtosis

-----------------------------------------------------------

147 7.2414966 2.1456820 0.2318337 -0.6758677

-----------------------------------------------------------

雄鱼：

The SAS System

Analysis Variable : Y

N Mean Std Dev Skewness Kurtosis

-----------------------------------------------------------

132 6.7803030 1.9233971 -0.1322816 -0.5510332

-----------------------------------------------------------

直观地看，雄鱼的平均体重低于雌鱼。雌鱼有一正偏，雄鱼有一负偏。因此，相对来说雌鱼低体重者较多，雄鱼高体重者较多。但两者都有很明显的负峭度，说明“曲线”较平坦，两尾翘得较高。

1.15 黄胸鼠体重的频数分布[6]：

组界/g频数

0

15

30

45

60

75

90

105

120<≤1356

135<≤1504

150<≤1652

总数169

绘制频数分布图，从图形上看分布是对称的吗，说明什么问题？

答：下面是频数分布图：

从上图可见，图形不是对称的，有一些正偏。说明在该黄雄鼠群体中，低体重者分布数量，高于高体重者的数量。另外，似乎峭度也有些低。

1.16 25名患者入院后最初的白细胞数量（×103）[7]如下表：

8512411687712

7311141196656

1014455

计算白细胞数量的平均数、方差和标准差。

答：用means过程计算，程序不再给出，只给出运行结果。

The SAS System

Analysis Variable : Y

N Mean Variance Std Dev

-------------------------------------------

25 7.8400000 10.3066667 3.2103998

--------------------------------------------

1.17 细胞珠蛋白基因（CYGB）可能是非小细胞肺癌（NSCLC）的抑制基因之一。一个研究小组研究了该基因的表达、启动子甲基化和等位基因不平衡状态等，以便发现它与肿瘤发病间的关联。下面列出了其中15名患者的基因表达（肿瘤患者/正常对照，T/N），肿瘤患者与正常对照甲基化指数差（MtI T-MtI N）[8]：

样本号T/N MtI T-MtI N

3570.0140.419

3700.0190.017

3670.0350.105

3160.0440.333

3690.0540.170

3580.0840.246

3030.1110.242

3140.1350.364

3080.2360.051

3100.2530.520

3410.2640.200

3480.3150.103

3230.3590.167

3600.4220.176

3360.4420.037

计算以上两项指标的平均数和标准差并计算两者的变异系数，这两个变异系数可以比较吗？为什么？

答：记T/N为，MtI T-MtI N为，用means过程计算，SAS运行的结果见下表：

The SAS System

Variable N Mean Std Dev CV

------------------------------------------------------

Y1 15 0.1858000 0.1505624 81.0346471

Y2 15 0.2100000 0.1465274 69.7749634

------------------------------------------------------

两个变异系数是可以比较的，因为它们的标准差都是用平均数标准化了的，已经不存在不同

单位的影响了。