博士《现代数学基础》测验考试复习题及参考答案

2016级博士生数学复习题

1. 设()||||f x x =是实Hilbert 空间H 上的泛函，证明，当0x ≠，()f x 在点x 处沿着h 方向的Gateaux 微分。P81 证明：

x

h

x x th x t th

th th x x th x t x x th x th x x th x t x th x x th x t x th x x th x t x th x t x f th x f t t t t t t ,)(,,2lim )(,,lim )(lim )

())((lim lim )

()(lim

002

2

0000

=++-=++-++=++-+++++-+=-+=-+→→→→→→

于是，当0≠x 时，f 在x 处沿着h 方向的teaux a G )

微分为：

x

h

x h x Df ,),(=

2. 设泛函

342

, (,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y

x y x y f x y x y

x y ?++≠?=+??=?

，证明(,)f x y 在点(0,0)

处不是Frechet 微分。P84

证明：由于

R y x x y x y x ∈?≤+,,2

1

243

所以f 在点（0,0）处连续，令),(ηξ=h ，则有

ηξηξη

ξηξ+=++

+=-+→→t

t t t t t t t f th f t t 24300)()()(lim )0()0(lim 因此，f 在点（0,0）处沿方向h 的teaux a G )

微分为ηξηξ+=)),(),0,0((Df ，但是，如果令2ηξ=，则有

2/1422/122)()(ξξηξ+=+=h

于是

02

1)()(lim )()

(lim ),0()0()(lim 2/1422242

3

02/1422

4300≠=++=++-+++=--→→→ξξξξξ

ξξξηξηξη

ξηξh h h h h Df f h f

所以，f 在点（0,0）处不是chet e Fr )

可微的。

3. 设(,)k t s 为[0,1][0,1]?上的二元连续函数，定义以(,)k t s 为积分核的积分算子

22:([0,1])([0,1])K L L →为

1

20

()()(,)(),([0,1]).

Kf t k t s f s ds f L =?∈?P42

证明：对于任意的[])1,0(,2L g f ∈，有

??????????=?

??

?????=???

?????=??

?

???=??

????==10________

1010_____

__________________1

10____

________________

1

01

0______

______

1

01

010)(),(,)(),()()(),()()(),()()()(),()(,)(),(,ds s g s t k f dt ds s g s t k t f ds

dt t g s t k s f ds dt t g s t k s f dt

t g ds s f s t k t g ds s f s t k g Kf

则有

[]?∈?=1

02)1,0(,)(),())((L f ds s f s t k t Kf

4. 求证：

1

*20

()()(,)(),([0,1]).

K f t k s t f s ds f L =?∈?

1223121

(,,)(,,,,)

23n n T x x x x x n -???=??????.

求

T

.P41

证明：对于任意的221),,(l x x x ∈=Λ，有

[

]

[]

x

x x x x x x x x n n x x x n n x x x x T Tx n n n n =+++++≤++++≤?

?

?

???+++++=+==2

/1223222

1

2

/1223222

/1223223221)

)()()()

()

)()()())1()32()21()

,1,,32,21(),,(ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ

于是1≤T ，另外，对于),0,1,0,,0(ΛΛ=n e ，则有

)(11

,0,1,

0,,0∞→→+=+=n n n n n Te n ΛΛ 所以 1=T

5. 判断下面方程的类型并把它化成标准型：

4520.

xx xy yy x y u u u u u +++++=

证明：因为判别式,0942?=-=?ac b 故方程为双曲型。

其特征方程为

41,1==dy dx dx dy ，则,4

1

,dx dy dx dy == 求得特征线是214

1

,c x y c x y =-=-，

其中c 1，c 2为任意常数，作变化 ??

?

??-=-=,41,x y x y ηξ

可将方程化成双曲型第一标准型：09

8

31=--ηξηu u

若再作变换，?

??+=-=,,

ηξηξt s

方程就可化成双曲型第二标准型098

3131=++--t s tt ss u u u u .

6. 求初值问题

()(),0,1u u y u u x x y x y u xy ???-+-=-?

???

?==?

当时的解.

证明：由特征方程

y

x du

x u dy u y dx -=-=- 求得两个相互独立的初积分是

22221,c u y x c u y x =++=++

因此，全特征线都是一些圆的曲线。

我们必须选择通过已给曲线：xy=1，u=0的全特征线族，当xy=1时，u=0表明有2221,c y x c y x =+=+，且xy=1，即

222221+=++=c xy y x c

故所求积分曲面的隐式解为

()22222+++=++u y x u y x

写成显式形式为

y

x xy

u +-=

1

7. “平面上给定两个固定点，求连接这两个固定点的曲线中最短的曲线方程”。试建立这一问题的变分模型，并求解。P93 证明：转化为在边界条件1100)(,)(y x y y x y ==，在此条件下求解泛函

[]dx y x y J x x ?

'+=1

2)(1)(

的极小值。

因为21y F '-=，所以

21,0y y y F y F '

+'

=

'??=?? E -L 方程：

0)(='

??-??y F

dx d y F 则有

1C y

F

='??

这里C 1为积分常数，即

12

1C y y ='

+'

解得 a C

C y =-=

'2

1

11

所以

b ax y +=

由1100)(,)(y x y y x y ==，可得

)(00

10

10x x x x y y y y ---+

=

8. “已知周长的一切封闭曲线中包围最大面积的图形必定是圆”。试建立这一问题的变分模型，并求解。 解：

i. 假设所考虑的曲线用参数形式表示： x = x (s ), y = y (s )

s 为参数。取s 1为曲线上的某一定点，则坐标表示x 1=x (s 1),y 1=y (s 1),因曲线

是封闭的，必存在一个s 2点使x 2 = x (s 2),y 2 = y (s 2)与点s 1(x 1,y 1)重合。 ii. 该封闭曲线的周长： L =ds ds dy ds dx s s

?+2

1

2

2)()(

该曲线所围成的面积：R = ??

Ω

dxdy

iii. 转换R 的表达式 由Green 公式：

?

??

+=??-??2

1)(s s Qdy Pdx dxdy y

P x Q Ω

取P =-2y ,Q =2x

, 则：

1=??-??y

P x Q ∴?

?

-=

-=

21

21

))(')('(2121s

s

s s

ds s yx s xy ydx xdy R

在满足端点条件x (s 1) = x (s 2), y (s 1) = y (s 2)及周长一定

L s s ds dy ds dx =+?

2

1

22

)()( 条

件下，寻找曲线函数???)

()

(s y s x 使泛函R 取驻值的为圆。

9. 求泛函

?+'+'=20

22]2[)](),([π

dx

yz z y x z x y J 满足边界条件

1)2/(,0)0(,1)2/(,0)0(-====ππz z y y 的逗留曲线。P93

证明：由于[]()()yz z y z y z y x F 2,,,,2

2+'+'=''

故Euler 方程为

??

???='-='-,

0)2(2;0)2(2z dx d

y y dx d z 即

?

?

?=''-=''-,0;

0z y y z 于是y y =)4(，上述方程的通解为

???--+=''=+++=--,

sin cos ;

sin cos 43214321x c x c e c e c y z x c x c e c e c y x

x x x 由边界条件可得1,04321====c c c c ，故所求的极值曲线为

??

?-==,sin ;sin x z x y

10. 查阅文献资料，说明变分法的应用和意义等（如有可能结合具体的使用学科

或实例加以说明）。 答：变分法是研究泛函卡及值的数学分支，其基本问题是求泛函(函数的雨数)的

极值及相应的极值函数。变分法是重要的数学分支，与诸如微分方程、数学物理、极小曲面用论、微分几何、黎曼几何、积分力‘程、拓扑学等许多数学分支或部门均有密切联系。变分法有着广泛的应用：变分法构成了物理学中的种种变分原理，成为物理学理论不可缺少的组成部分，是研究力学、弹性理论、电磁学、相对论、量子力学等许多物理学分支的重要工具；变分法通过“直接方法”而成为近似计算的有效于段，为微分方程边值问题的数值解法开辟了一条途径，形成了有限元方法的基础之一。近年来，变分法又在经济、电子工程和图像处理等领域得以广泛应用。因此研究变分法的思想演化过程，无论从数学史还足从科学史的角度来说，都具有十分重要的理论价值和现实意义。

12.证明卷积定理：若(())()f t F ω?=，(())()g t G ω?=

证明：(()())()()f t g t F G ωω?*=g

，1

(()())()()2f t g t F G ωωπ?=

*g

证明（1）：根据卷积的定义：

τττd t g f t g t f )()()()(-=??

+∞

∞

-

代入傅里叶变换公式

dt e t f F t f F t i ωω-+∞∞

-?

==)()()]([

可得

)

()()()()()(])()[(])()([)]()([ωωττωτ

ωττ

τττττωωωωG F d e f G d e G f d dt e t g f dt

e d t g

f t

g t f F t i t i t i t i ===-=-=?-∞+∞

--∞

+∞

-∞

+∞-∞

+∞

---+∞

∞-+∞∞

-?

?

????

∴ )()()(*)(ωωG F t g t f =

证明（2）：ωωπωωπωd du u G u F e G F t j ??+∞∞

-+∞

∞--?])()([)21()(*)(212

所以

)

()()()()21

(])()([)21

(])()([)21

()(*)(2122)(2t g t f du

e u F dx e x G dx

du x G u F e e dx

du x G u F e G F jut jxt jut jxt t u x j ===???????∞+∞

-∞+∞-∞+∞

-∞+∞-+∞∞

-+∞∞-+πππωωπ ∴ )()(21

)(*)(ωωπ

G F t g t f =

13.叙述MRA 的定义。并解释由MRA 所确定的数字滤波器的特征。P171 答：MRA 是理解和构造小波的基本框架，也是信号在小波基下进行分解与恢复的基本理论保证，无论是理论分析还是在构造、理解和应用小波方面都起着非常重要的作用。利用MRA ，可以将一个复杂的函数分解为几个简单的函数分别进行讨论，这时函数由一个粗糙部分和一系列细节部分构成，粗糙部分对应于信号的低频分量，细节部分对应于信号的高频分量。高频分量时分层的，是在不同分辨率下逐级产生的，由多分辨子空间的Riesz 基推导出尺度基，再由尺度基产生小波基，这就形成了构造小波的框架。在多分辨分析的意义下，尺度函数和小波函数与信号处理中的低通滤波器和高通滤波器形成对应关系，这就导致了信号分解与恢复的快速算法的实现。

14. 构造HAAR 小波。并说明与一个尺度函数对应的小波函数是否唯一。P191