高一数学试题及答案

高一数学试题及答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答题卡上）

1．某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生500人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取120人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为( ) A ．40 B ．48 C ．50 D ．80 【答案】 C

2．同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为( )．

A ．

14 B ． 19 C ．16 D ．112

【答案】 B

3．从一批产品中取出三件产品，设A =“三件产品全不是次品”，B =“三件产品全是次品”，C =“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）

A. A 与C 互斥

B. B 与C 互斥

C. 任何两个均互斥

D. 任何两个均不

互斥

【答案】 B

4.函数12sin[()]34

y x π

=+

的周期、振幅、初相分别是（

）

A .3π，2-，4

π

B .3π，2，

12

π C .6π，2，

12

π D .6π，2，

4

π 【答案】C

5．下列角中终边与330°相同的角是( )

A ．30°

B ．－30°

C ．630°

D ．－630° 【答案】选B.

6．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝1

5x ，则tan α＝( )

A.43

B.34 C ．－3

4 D ．－4

3

【答案】 D

【解析】 x <0，r ＝x 2＋16，∴cos α＝x x 2＋16＝15

x ，∴x 2

＝9，∴x ＝－3，∴tan α＝－43.

7．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin(π

2

＋A )＝( )

A ．－12

B.12 C ．－3

2

D.32

【答案】 B

解析：.cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，则cos A ＝12，sin(π2＋A )＝cos A ＝1

2.

8．若函数f (x )＝sin x ＋φ

3

(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )

A.π2

B.2π3

C.3π2

D.5π3

【答案】 C

解析：.由已知f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2，即φ＝3k π＋3π

2(k ∈Z )．

又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π

2

，故选C.

9.已知函数sin()y A x B ω?=++的一部分图象 如右图所示，如果0,0,||2

A π

ω?>><

，则（ ）

A.4=A

B.1ω=

C.6

π

?=

D.4=B

【答案】 C.

10．甲、乙、丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图，若s 甲，s 乙，s 丙分别表示他们测试成绩的标准差，则( ) A ．s 甲

甲 乙 丙 【答案】 D

11.已知1cos()63π

α+

=-，则sin()3

π

α-的值为（ ）

A .

13

B .13

-

C D .【答案】 A

12．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点(3π

4

，0)，

则ω的最小值是( )

A.13 B ．1 C.53

D ．2 【答案】 D

解析：选D.将函数f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得到函数y ＝sin[ω(x －π

4

)]

的图象，因为所得图象经过点(34π，0)，则sin ω2π＝0，所以ω

2

π＝k π(k ∈t )，即ω＝2k (k ∈t )，

又ω>0，所以ωmin ＝2，故选D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上）

13. 已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10，则xy =________________. 【答案】96

14.袋中有除颜色外完全相同的红、黄、白三种颜色的球各一个，从中每次任取1个．有放回地抽取3次， 则3个球颜色全不相同的概率为_______________． 【答案】2/9

15．如果sin α－2cos α

3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为_______________.

【答案】 －23

16

.

16．函数f(x )=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是_____________________. 【答案】13k <<

三、解答题（本大题共70分，解答应写出必要分文字说明、演算步骤或证明过程）17．（本小题满分10分） 已知α是第二象限角，sin()tan()

()sin()cos(2)tan()

f πααπαπαπαα---=

+--．

（1） 化简()f α； （2）若31

sin()23

πα-=-，求()f α的值． 【答案】17. 解析：（1）sin (tan )1()sin cos (tan )cos f ααααααα-=

=---；（2）若31

sin()23

πα-=-，

则有1cos 3

α=-，所以()f α=3。

18．（本小题满分12分）

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（x 吨）与 相应的生产能耗y （吨）标准煤的几组对照数据：

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程a bx y

+=?； （3）已知该厂技术改造前

100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回

归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？

（参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式 1

2

2

1

?n

i i

i n

i

i x y nx y

b

x

nx ==-?=-∑∑，?a

y bx =-） 【答案】(1)散点图如下

(2)

41

66.5i i

i X Y ==∑ 4

2

22221

345686i

i X

==+++=∑ 4.5X = 3.5Y =

2

66.54 4.5 3.566.563?0.7864 4.58681

b -??-===-?- ； ?? 3.50.7 4.50.35a Y b X =-=-?= 所求的回归方程为 0.70.35y x =+ (3) 100x =时， 35.70=y (吨)

预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65-=(吨)

19. （本小题满分12分）

甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率。

解：以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充要条件是

||15x y -≤。在平面上建立直角坐标系如图中的阴影部分所表示。

这是一个几何概型问题，由由几何概型的概率公式，

得22260457

()6016

P A -=

=。

20. （本小题满分12分） 已知x ∈[－π3，2π

3]， (1)求函数y ＝cos x 的值域；

(2)求函数y ＝－3sin 2x －4cos x ＋4的值域．

解： (1)∵y ＝cos x 在[－π3，0]上为增函数，在[0，2π

3]上为减函数,

∴当x ＝0时，y 取最大值1； x ＝2π3时，y 取最小值－1

2.

∴y ＝cos x 的值域为[－1

2，1]．

(2)原函数化为：y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，

即y ＝3(cos x －23)2－13，由(1)知，cos x ∈[－12，1]，故y 的值域为[－13，15

4]．

21．（本小题满分12分） 已知函数4

5)62sin(21++=

πx y (1)求函数的单调递增区间；

(2)写出y=sinx 图象如何变换到15

sin(2)264

y x π=

++的图象 解析： （1）15

t=2x+y=sin t+,624π令，则

要求15

y=sin t+24

的单增区间， 即求y=sin t 的单增区间

由y=sin t 的单增区间得单增区间为[2,

2],2

2

k k k Z π

π

ππ-

++∈

即222,2

6

2

k x k k Z π

π

π

ππ-+≤+≤

+∈

得,3

6

k x k k Z π

π

ππ-

+≤≤

+∈，

从而所求单增区间为[,

],36

k k k Z π

π

ππ-

++∈

（2）由sin y x =的图象向左平移6

π

个单位，得到函数sin()6y x π=+的图象，然后图象上

各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12倍得到函数1sin()26y x π

=+的图象，然后图象上

各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12倍得到函数1sin(2)26

y x π

=+的图象，最后向上

平移54个单位得到函数15

sin(2)264

y x π=++的图象。

22． （本小题满分12分）

已知函数()sin()(00π)f x x ω?ω?=+>，≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π04M ?? ???

，

对称，且在区间π02??

????

，上是单调函数，求ω和?的值.

解：()f x 是偶函数，

y ∴轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷，(0)sin 1f ?∴==±，

又0π?≤≤，π

2

?∴=.

由()f x 的图象关于点3π04M ?? ???，对称，3π04f ??∴= ???，即3ππ3πsin cos 0424ωω??

?+== ???

，

又0ω>，3ππ

π01242

k k ω∴=+=，，，….

2

(21),0,1,2,

3

k k ω∴=

+= 当0k =时，2

3ω=，

2π2()sin cos 323f x x x ??=+= ???在π02??

????

，上是减函数；

当1k =时，2ω=， π()sin 2cos 22f x x x ??=+= ???在π02??

????，上是减函数；

当2k ≥时，10

3ω≥，

π()sin cos 2f x x x ωω??=+= ???在π02??

????，上不是单调函数。

综上所述，23

ω=或π

22ω?==，