2020高考数学(文科)全国三卷高考模拟试卷(3)

2020高考数学（文科）全国三卷高考模拟试卷（3）

一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1．（3分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x （x ﹣2）≤0}，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则（?U A ）∩B 的子集个数为（ ） A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

2．（3分）m ?n ＞0是方程x 2m

?y 2n

=1表示双曲线的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．（3分）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P （x ，y ），若初如位置为P 0(√3

2，1

2)，秒针从P 0（注：此时t ＝0）开始沿顺时针方向走动，则点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为（ ）

A ．y =sin(

π30t +π

6) B ．y =sin(?π60t ?π

6) C ．y =sin(?

π30t +π

6

) D ．y =sin(?

π30t ?π6

) 4．（3分）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ） A ．2

B ．sin2

C ．

2sin1

D ．2sin1

5．（3分）执行如图所示的程序框图，则输出的a 的值为（ ）

A ．﹣1

B ．1

2

C ．1

D ．2

6．（3分）若x ，y 满足约束条件{x +y ≥1

x ?y ≥?13x +y ≤3，则z ＝4x +3y 的最小值为（ ）

A ．9

B ．6.5

C ．4

D ．3

7．（3分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为（ ）

A ．1

8

B ．1

7

C ．1

6

D ．1

5

8．（3分）如图，已知三棱锥P ﹣ABC ，P A ⊥平面ABC ，D 是棱BC 上的动点，记PD 与平面ABC 所成的角为α，与直线BC 所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）

A ．α＞β

B ．α＝β

C ．α＜β

D ．不能确定

9．（3分）已知函数f （x ）是定义在R 上的增函数，且函数y ＝f （x ﹣2）的图象关于点（2，0）对称．若不等式f （mx 2+2m ）+f （4x ）＜0对任意x ∈[1，2]恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（?√2，√2）

B ．（﹣∞，?√2）

C ．（√2，+∞）

D ．（﹣∞，√2）

10．（3分）已知向量a →

，b →

夹角为π3

，|b →

|＝2，对任意x ∈R ，有|b →

+x a →

|≥|a →

?b →

|，则|t b →

?a →

|+|t b →

?

a

→

2

|（t ∈R ）的最小值是（ ） A ．√13

2

B ．3

2

C ．1+√3

2

D ．

√72

11．（3分）已知f （x ）为偶函数，当x ≥0时，f （x ）={cosπx ，x ∈[0，1

2]

2x ?1，x ∈(1

2，+∞)

，则不等式f （x ）≤1

2的解集为（ ） A ．[?3

4，?2

3]∪[2

3，3

4] B ．[?34，?13]∪[13，3

4] C ．[?7

4，?1

3]∪[1

3，7

4]

D ．[1

4，2

3]∪[4

3，7

4]

12．（3分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 是C 上一点，过P 点作C 的切线l 交x 轴于Q 点，且Q 在C 的准线上，则△PFQ 一定是（ ） A ．等边三角形

B ．等腰直角三角形

C ．直角三角形但不是等腰三角形

D ．等腰三角形但不是直角三角形

二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13．（3分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 23

?

y 2b =1的两条渐近线与直线x =√3

围成正三角形，则双曲线的离心率为 ．

14．（3分）已知复数z满足z+2z=6+i，则z的实部为．

15．（3分）对任意正实数x，y，f（xy）＝f（x）+f（y），f（9）＝4，则f(√3)=．

16．（3分）已知函数f（x）={x?1x，x＜0

lnx+ex，x＞0

，若g（x）＝f（x）﹣kx有两个不等的零点，

则实数k的取值范围为．三．解答题（共5小题）

17．在数列{a n}中，已知a1＝1+√3，且a n+1﹣a n=

2

a n+1+a n?2，n∈N

*．

（1）记b n＝（a n﹣1）2，n∈N*，求证：数列{b n}是等差数列；

（2）设{b n}的前n项和为S n，求证：1

S1+

1

S2

+

1

S3

+?+

1

S n

＜

3

4

．

18．在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=2，AC=√3，BC=1，AC⊥BC．D是AB的中点．

（I）求证：PD⊥平面ABC．

（Ⅱ）求点B到平面P AC的距离；（文科学生做）

（Ⅱ）求异面直线P A与BC所成角的余弦值．（理科学生做）

19．2019年中央电视台在周日晚上推出的一档新的综艺节目，为了解节目效果，一次节目结束后，现随机抽取了500名观众（含200名女性）的评分（百分制）进行分析，分别得到如图所示的两个频率分布直方图．

（Ⅰ）计算女性观众评分的中位数与男性观众评分的平均分；

（Ⅱ）若把评分低于70分定为“不满意”，评分不低于70分定为“满意”． （i ）试比较男观众与女观众不满意的概率，并说明理由；

（ii ）完成下列2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关．

女性观众

男性观众

合计 “满意” “不满意”

合计

参考数据：K 2

=n(ad?bc)

2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P （K 2≥k ）

0.05 0.010 0.001 k

3.841

6.635

10.828

20．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2

b

2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，上顶点为B ．点P 在E 上，点D （0，

﹣2b ），△PBD 的最大面积等于3√2

2

． （Ⅰ）求E 的方程；

（Ⅱ）若直线DP 与E 交于另一点Q ，直线BP ，BQ 分别与x 轴交于点M ，N ，试判断|OM |?|ON |是否为定值． 21．已知函数f(x)=

a+lnx

x

（a ∈R ）． （1）求函数f （x ）的单调区间；

（2）当函数f （x ）与函数g （x ）＝lnx 图象的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的取值集合；

（3）证明：当a ∈（0，1

2）时，函数h （x ）＝f （x ）﹣ax 有两个零点x 1，x 2，且满足

1x 1

+

1x 2

＜1

a

．

四．解答题（共2小题）

22．在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθ

y =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：

{x′=2x y′=y

得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π

4)=

3√10

2

．

（Ⅰ）求曲线C的普通方程及曲线D的直角坐标方程；

（Ⅱ）设M、N分别为曲线C和曲线D上的动点，求|MN|的最小值．23．设f（x）＝|x|+2|x﹣a|，（a＞0）．

（1）当a＝1时，解不等式f（x）≤4；

（2）若f（x）≥4，求实数a的取值范围．

2020高考数学（文科）全国三卷高考模拟试卷（3）

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1．（3分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x （x ﹣2）≤0}，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则（?U A ）∩B 的子集个数为（ ） A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

【解答】解：A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{﹣1，0，1，2，3}， ∴?U A ＝{x |x ＜0或x ＞2}，（?U A ）∩B ＝{﹣1，3}， ∴（?U A ）∩B 的子集个数为22＝4． 故选：B ．

2．（3分）m ?n ＞0是方程x 2m

?

y 2n

=1表示双曲线的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【解答】解：∵方程x 2m

?

y 2n

=1表示双曲线，

∴m ?n ＞0，

则“m ?n ＞0”是“方程x 2m

?

y 2n

=1表示双曲线”的充分必要条件，

故选：C ．

3．（3分）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P （x ，y ），若初如位置为P 0(√3

2，1

2)，秒针从P 0（注：此时t ＝0）开始沿顺时针方向走动，则点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为（ ）

A ．y =sin(π30t +π

6) B ．y =sin(?π60t ?π

6) C ．y =sin(?π30t +π

6)

D ．y =sin(?π

30t ?π

6)

【解答】解：∵秒针是顺时针旋转，

∴角速度ω＜0．又由每60秒转一周， ∴ω=?2π

60=?π

30（弧度/秒）， 由P 0（

√32，12），得，cos φ=√32，sin φ=1

2． 解得φ=π6， 故选：C ．

4．（3分）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ） A ．2

B ．sin2

C ．

2sin1

D ．2sin1

【解答】解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1 故半径为

1sin1

这个圆心角所对的弧长为2×1

sin1=2

sin1 故选：C ．

5．（3分）执行如图所示的程序框图，则输出的a 的值为（ ）

A ．﹣1

B ．1

2

C ．1

D ．2

【解答】解：依题意，设进入判断框时的a 为a i （i 为计数变量）， 则a 1＝2． a 2=1

2， a 3＝﹣1，

a 4＝2， ……

∴a n 以3为周期， 输出值为a 2019＝a 3＝﹣1， 故选：A ．

6．（3分）若x ，y 满足约束条件{x +y ≥1

x ?y ≥?13x +y ≤3，则z ＝4x +3y 的最小值为（ ）

A ．9

B ．6.5

C ．4

D ．3

【解答】解：x ，y 满足约束条件{x +y ≥1

x ?y ≥?13x +y ≤3所表示的可行域为下图中的△ABC ，

当目标函数对应的直线z ＝4x +3y 经过点B （0，1）时，z 取得最小值3．

故选：D ．

7．（3分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为（ ）

A ．1

8

B ．1

7

C ．1

6

D ．1

5

【解答】解：由三视图得，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，截去四面体A ﹣A 1B 1D 1，如

图所示，设正方体棱长为a ，则V 三棱锥=

13×12a 3=16

a 3， 故正方体的体积为：a 3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为：16

． 故选：C ．

8．（3分）如图，已知三棱锥P ﹣ABC ，P A ⊥平面ABC ，D 是棱BC 上的动点，记PD 与平面ABC 所成的角为α，与直线BC 所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）

A ．α＞β

B ．α＝β

C ．α＜β

D ．不能确定

【解答】解：∵P A ⊥平面ABC ，∴∠PDA 为直线PD 与平面ABC 所成的角， 故sin α=PA

PD ，

过P 向直线BC 作垂线，垂足为E ，则∠PDE 为直线PD 与直线BC 所成的角， 故sin ∠β=

PE

PD ， 又P A ＜PE ，故sin α＜sin β，于是α＜β． 故选：C ．

9．（3分）已知函数f （x ）是定义在R 上的增函数，且函数y ＝f （x ﹣2）的图象关于点（2，0）对称．若不等式f （mx 2+2m ）+f （4x ）＜0对任意x ∈[1，2]恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（?√2，√2）

B ．（﹣∞，?√2）

C ．（√2，+∞）

D ．（﹣∞，√2）

【解答】解：函数y ＝f （x ﹣2）的图象关于点（2，0）对称， 由y ＝f （x ）的图象可由y ＝f （x ﹣2）的图象向左平移2个单位可得，

则f （x ）的图象关于原点对称，即f （x ）为奇函数，且f （x ）是定义在R 上的增函数， f （mx 2+2m ）+f （4x ）＜0即为f （mx 2+2m ）＜﹣f （4x ）＝f （﹣4x ）， 由f （x ）为R 上的增函数，可得mx 2+2m ＜﹣4x ， 即有m ＜?

4x

x 2+2对任意x ∈[1，2]恒成立， 又2√2≤x +2x

≤3，有2√2≤2+x 2

x ≤3，即13≤x 2+x 2≤√24

， 即?√2≤?4x

x 2+2≤?4

3，则m ＜?√2，

故选：B ．

10．（3分）已知向量a →

，b →

夹角为π

3

，|b →|＝2，对任意x ∈R ，有|b →

+x a →|≥|a →

?b →|，则|t b →

?a →

|+|t b →

?

a

→

2

|（t ∈R ）的最小值是（ ） A ．√13

2

B ．3

2

C ．1+√3

2

D ．

√72

【解答】解：向量a →

，b →

夹角为π3

，|b →

|=2，对任意x ∈R ，有|b →

+xa →

|≥|a →

?b →

|， 两边平方整理可得x 2a →

2+2x a →?b →

?（a →

2﹣2a →?b →

）≥0， 则△＝4（a →?b →

）2

+4a →2（a →2

﹣2a →?b →

）≤0， 即有（a →2

?a →?b →）2

≤0，即为a →2

=a →?b →

， 则（a →

?b →

）⊥a →

，

由向量a →

，b →

夹角为π

3

，|b →

|＝2，

由a →2

=a →?b →

=|a →

|?|b →

|?cos π

3

，

即有|a →

|＝1，

则|a →

?b →

|=√a →2+b →

2?2a →

?b →

=√3， 画出AO →

=a →

，AB →=b →

，建立平面直角坐标系，如图所示； 则A （1，0），B （0，√3）， ∴a →

=（﹣1，0），b →

=（﹣1，√3）；

∴|tb →

?a →

|+|tb →

?a →

2|=√(1?t)2+(√3t)2+√(1

2?t)2+(√3t)2 =√4t 2?2t +1+√4t 2?t +14=2（(t ?14)2+(0?√34)2+(t ?1

8)2+(0+√38

)2 表示P （t ，0）与M （1

4，

√34），N （18

，?√38）的距离之和的2倍， 当M ，P ，N 共线时，取得最小值2|MN |．

即有2|MN |＝2(14?1

8)2+(34+38)2=√72．

故选：D ．

11．（3分）已知f （x ）为偶函数，当x ≥0时，f （x ）={cosπx ，x ∈[0，1

2]

2x ?1，x ∈(1

2，+∞)，则不等式f （x ）≤1

2的解集为（ ） A ．[?3

4，?2

3]∪[2

3，3

4] B ．[?34，?13]∪[13，3

4] C ．[?7

4，?1

3]∪[1

3，7

4]

D ．[1

4，2

3]∪[4

3，7

4]

【解答】解：当x ≥0时，若x ∈[0，12

]，则πx ∈[0，π2

]由不等式f （x ）≤1

2，可得cos πx ≤1

2，

可得

π3≤πx ≤π2

，∴1

3

≤x ≤12

，它的解集为[13

，1

2

]．

若x ＞1

2，不等式f （x ）≤1

2，即2x ﹣1≤1

2，它的解集为{x |12

＜x ≤3

4}． 综上可得，当x ≥0时，不等式的解集为{x |1

3＜x ≤34

}，

再根据f （x ）为偶函数，可得在R 上，不等式的解集为{x |1

3

＜x ≤34，或?34≤x ＜?1

3}，

故选：B ．

12．（3分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 是C 上一点，过P 点作C 的切线l 交x 轴于Q 点，且Q 在C 的准线上，则△PFQ 一定是（ ） A ．等边三角形

B ．等腰直角三角形

C ．直角三角形但不是等腰三角形

D ．等腰三角形但不是直角三角形 【解答】解：设P （

m 22p

，m ），过点P 的切线方程为：my ＝p （x +m 2

2p

），

点Q （?P 2，0）在my ＝p （x +m 22p ）上，0＝（?p 2+m 2

2p ）?m ＝p

∴P （p

2

，p ）．

故PF ⊥x 轴，且QF ＝PF ＝p ，则△PFQ 一定是等腰直角三角形， 故选：B ．

二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13．（3分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 23

?

y 2b =1的两条渐近线与直线x =√3

围成正三角形，则双曲线的离心率为 2√3

3

． 【解答】解：双曲线

x 23

?

y 2b 2

=1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，

所以双曲线的渐近线的倾斜角为30°和150°， 所以

√3

=

√3

3

，所以b ＝1， 所以双曲线的离心率为：e =c

a =3

=2√33． 故答案为：

2√3

3

． 14．（3分）已知复数z 满足z +2z =6+i ，则z 的实部为 2 ．

【解答】解：设z ＝a +bi ，（a ，b ∈R ）． ∵复数z 满足z +2z =6+i ， ∴3a ﹣bi ＝6+i ，

可得：3a ＝6，﹣b ＝1，解得a ＝2，b ＝1． 则z 的实部为2． 故答案为：2．

15．（3分）对任意正实数x ，y ，f （xy ）＝f （x ）+f （y ），f （9）＝4，则f(√3)= 1 ． 【解答】解：令x ＝y ＝3，则f （9）＝2f （3）＝4， ∴f （3）＝2，

令x =y =√3，则f(3)=2f(√3)=2， ∴f(√3)=1． 故答案为：1．

16．（3分）已知函数f （x ）={

x ?1x

，x ＜0

lnx +ex ，x ＞0

，若g （x ）＝f （x ）﹣kx 有两个不等的零点，

则实数k 的取值范围为 （﹣∞，1）∪（e ，e +1

e ） ．

【解答】函数g （x ）＝f （x ）﹣kx 有两个不等的零点，即方程f （x ）＝kx 有2个不等根， 因为x ≠0，所以也等价于f(x)x

=k 有2个不等实根，根据条件令h （x ）=

f(x)

x

={1?1

x 2，x ＜0

lnx

x +e ，x ＞0， 因为x ＜0时，h （x ）＝1?1

x 2

＜1， x ＞0时，h ′（x ）=1?lnx

x 2

，当0＜x ＜e 时，h （x ）单调递增，当x ＞e 时，h （x ）单调递减，

且当x →+∞时，h （x ）→e ， 作出函数f （x ）的图象如图：

根据图象可知，k∈（﹣∞，1）∪（e，e+1 e），

故答案为：（﹣∞，1）∪（e，e+1 e）．

三．解答题（共5小题）

17．在数列{a n}中，已知a1＝1+√3，且a n+1﹣a n=

2

a n+1+a n?2，n∈N

*．

（1）记b n＝（a n﹣1）2，n∈N*，求证：数列{b n}是等差数列；

（2）设{b n}的前n项和为S n，求证：1

S1+

1

S2

+

1

S3

+?+

1

S n

＜

3

4

．

【解答】证明：（1）∵a n+1﹣a n=

2

a n+1+a n?2，

∴a n+12﹣a n2﹣2a n+1+2a n＝2，

∵b n＝（a n﹣1）2，n∈N，

∴b n+1﹣b n＝（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2＝a n+12﹣a n2﹣2a n+1+2a n＝2，∵a1＝1+√3，

∴b1＝（a1﹣1）2＝3，

∴数列{b n}是以3为首项，2为公差的等差数列，

（2）由（1）可得b n＝3+2（n﹣1）＝2n+1，

∴S n=n(3+2n+1)

2

=n（n+2），

∴1

s n =

1

2

（

1

n

?

1

n+2

），

∴1

S1+

1

S2

+

1

S3

+?+

1

S n

=

1

2

[（1?

1

3）+（

1

2

?

1

4

）+（

1

3

?

1

5

）+…+（

1

n?1

?

1

n+1

）+（

1

n

?

1

n+2

）]=12（1+12

?

1n+1?1n+2）=34?12（1n+1+1n+2）＜3

4

18．在三棱锥P ﹣ABC 中，PA =PB =PC =2，AC =√3，BC =1，AC ⊥BC ．D 是AB 的中点．

（I ）求证：PD ⊥平面ABC ．

（Ⅱ）求点B 到平面P AC 的距离；（文科学生做）

（Ⅱ）求异面直线P A 与BC 所成角的余弦值．（理科学生做）

【解答】证明：（Ⅰ）连CD ，PD ． 由AC =√3，BC ＝1，AC ⊥BC ， 得AB =2，CD =12

AB =1

又PA =PB =2，PD ⊥AB ，PD =√3， ∴PC 2＝PD 2+CD 2，∴PD ⊥CD ，

又AB ?平面ABC ，CD ?平面ABC ，AB ∩CD ＝D ， ∴PD ⊥平面ABC ．

解：（2）（文科做）三棱锥P ﹣ABC 的体积V =13×PD ×12×AC ×BC =1

2， P A ＝PC ＝2，AC =√3， ∴P 到AC 的距离为√13

2

， ∴S △PAC =√39

4，

设点B 到平面P AC 距离为d ，则1

3

×d ×S △PAC =V =1

2

，

解得点B 到平面P AC 距离d =2√39

13．

（2）（理科做）延长CD 至E 使CD ＝DE ，则AE 平行于BC ， ∴∠P AE 或其补角为异面直线P A 与BC 所成的角，AE ＝BC ＝1 由PD ⊥平面ABC 得PD ⊥DE ，PE ＝2，

∴cos ∠PAE =PA 2

+AE 2?PE 22PE?AE =1

4

，

∴异面直线P A 与BC 所成角的余弦值为1

4

．

19．2019年中央电视台在周日晚上推出的一档新的综艺节目，为了解节目效果，一次节目结束后，现随机抽取了500名观众（含200名女性）的评分（百分制）进行分析，分别得到如图所示的两个频率分布直方图．

（Ⅰ）计算女性观众评分的中位数与男性观众评分的平均分；

（Ⅱ）若把评分低于70分定为“不满意”，评分不低于70分定为“满意”． （i ）试比较男观众与女观众不满意的概率，并说明理由；

（ii ）完成下列2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关．

女性观众

男性观众

合计 “满意” “不满意”

合计

参考数据：K 2

=n(ad?bc)

2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P （K 2≥k ）

0.05 0.010 0.001

k 3.841 6.635 10.828

【解答】解：（I ）根据题意，设女性观众评分的中位数为x ， ∴10×0.01+10×0.02+（x ﹣70）×0.04＝0.5， ∴x ＝75，

男性观众评分的平均数为55×0.15+65×0.25+75×0.3+85×0.2+95×0.1＝73.5； （II ）（i ）男性观众不满意的概率大，

记?A 表示事件：“女性观众不满意”；?B 表示事件：“男性观众不满意”，

由直方图得P （?A ）的估计值为（0.01+0.02）×10＝0.3，P （?B ）的估计值为（0.015+0.025）×10＝0.4，

所以男性观众不满意的概率大； （ii ）列联表如下图：

女性观众 男性观众 合计 “满意” 140 180 320 “不满意”

60 120 180 合计

200

300

500

所以K 2

=500×(140×120?180×60)2

200×300×320×180

≈5.208＞3.841， 故有95%的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关． 20．已知椭圆E ：

x 22+y 2

b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22

，上顶点为B ．点P 在E 上，点D （0，﹣2b ），△PBD 的最大面积等于3√2

2

． （Ⅰ）求E 的方程；

（Ⅱ）若直线DP 与E 交于另一点Q ，直线BP ，BQ 分别与x 轴交于点M ，N ，试判断|OM |?|ON |是否为定值．

【解答】解法一：（Ⅰ）由题意，可得△PBD 的最大面积为1

2×3b ×a =

3√22

，即ab =√2．…

①1分

又e =c a =√2

2?②2分a 2＝b 2+c 2…③3分 联立①②③，解得a =√2，b ＝1， 故E 的方程

x 22

+y 2=1．…4分

（Ⅱ）设直线DP 的方程为y ＝kx ﹣2，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．…5分

联立方程组{y =kx ?2

x 2

2

+y 2

=1

消去y ，得x 2+2（kx ﹣2）2＝2，…6分

整理，得（2k 2+1）x 2﹣8kx +6＝0，…7分 由韦达定理，得x 1+x 2=

8k 2k 2

+1

，x 1x 2=

6

2k 2

+1

，…8分

又直线BP 的方程为y =y 1?1

x 1x +1，所以M(x

1

1?y 1，0)，…9分 直线BQ 的方程为y =y 2?1x 2x +1，所以N(x

21?y 2

，0)，…10分 所以|OM|?|ON|=|x 1y 1?1?x 2y 2?1|11分=|x 1x 2(kx 1?3)(kx 2?3)|=|x 1x 2

k 2x 1x 2?3k(x 1+x 2)+9

|=|

6

6k 2?24k 2+9(2k 2

+1)

|=2

3，

即|OM |?|ON |为定值23

．…12分

（直接写出“|OM |?|ON |为定值2

3”给1分）

解法二：（Ⅰ）同解法一； …4分

（Ⅱ）设直线DP 的方程为y ＝kx ﹣2，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．…5分

联立方程组{y =kx ?2

x 2

2

+y 2

=1消去y ，得x 2+2（kx ﹣2）2＝2，…6分 整理，得（2k 2+1）x 2﹣8kx +6＝0，…7分 由韦达定理，得x 1+x 2=

8k 2k 2

+1

，x 1x 2=

6

2k 2

+1

，…8分

所以k BP ?k BQ =y 1?1x 1?y 2?1

x 2

9分 =(kx 1?3)(kx 2?3)x 1x 2=k 2

x 1x 2?3k(x 1+x 2)+9x 1x 2=6k 2?24k 2+9(2k 2+1)6

=3

2，…10分 又k BP ?k BQ =k BM ?k BN =

|OB||OM|?|OB||ON|=32，故|OM|?|ON|=2

3

， 即|OM |?|ON |为定值23

．…12分

（直接写出“|OM |?|ON |为定值2

3”给1分）

21．已知函数f(x)=

a+lnx

x

（a ∈R ）． （1）求函数f （x ）的单调区间；

（2）当函数f （x ）与函数g （x ）＝lnx 图象的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的取

值集合；

（3）证明：当a ∈（0，1

2）时，函数h （x ）＝f （x ）﹣ax 有两个零点x 1，x 2，且满足

1x 1

+

1x 2

＜1

a

．

【解答】解：（1）对f(x)=

a+lnx x 求导，得f ′(x)=1?a?lnx

x 2

， 令f ′（x ）＝0，解得x ＝e 1﹣

a ，

当x ∈（0，e 1﹣

a ）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增．

当x ∈（e 1﹣

a ，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减．

（2）设公切线l 与函数g （x ）＝lnx 的切点为（x 0，y 0），则公切线l 的斜率k ＝g ′（x 0）=

1

x 0

， 公切线l 的方程为：y ?y 0=1

x 0(x ?x 0)，将原点坐标（0，0）代入，得y 0＝1，解得x 0

＝e ．

公切线l 的方程为：y =1

e x ，将它与f(x)=

a+lnx x 联立，整理得a =1e

x 2

?lnx ． 令m(x)=1e x 2?lnx ，对之求导得：m ′(x)=2x 2?e ex ，令m ′（x ）＝0，解得√e

2．

当x ∈(0，√e 2)时，m ′（x ）＜0，m （x ）单调递减，值域为(

ln2

2

，+∞)， 当x ∈(√e 2

，+∞)时，m ′（x ）＞0，m （x ）单调递增，值域为(ln2

2

，+∞)， 由于直线l 与函数f （x ）相切，即只有一个公共点，因此． 故实数a 的取值集合为{

ln22

}．

（3）证明：?(x)=a+lnx?ax 2

x

，要证h （x ）有两个零点，只要证k （x ）＝ax 2﹣lnx ﹣a

有两个零点即可．k （1）＝0， 即x ＝1时函数k （x ）的一个零点．

对k （x ）求导得：k ′(x)=2ax ?1

x ，令k ′（x ）＝0，解得 x =2a ．当x 2a

时，k ′（x ）＞0，k （x ）单调递增； 当0＜x 2a 时，k ′（x ）＜0，k （x ）单调递减．当x =2a 时，k （x ）取最小值，k(2a

)＜k(1)=0，

k （x ）＝ax 2﹣lnx ﹣a ＞ax 2﹣（x ﹣1）﹣a ＝ax 2﹣x +1﹣a ＞ax 2﹣x +1

2，必定存x 02a

在