昆明轻轨的最优票价分析方案 数学建模

三、模型的选择

1、用AHP模型来选择制定轻轨票价的方法

AHP层次结构模型

AHP层次模型分析选择定价模式如图1所示。该模型分为3层, 最高层是目标层, 也就是选取一种合适的票价制定方法。最底层是方案层, 就是待选的票价制定方法,模型以边际方法、拉姆塞方法和盈亏平衡方法为候选方案。中间层是准则层, 需要通过考虑众多票价制定影响因素来制定准则。考虑到影响因素众多, 各因素之间有一定的相关性,还有一些因素可以通过其他措施减少其影响(如公交竞争的程度可以通过行政协调的手段使其加强合作, 减少竞争), 在对各因素进行综合考虑的基础上, 选取轨道社会效益、政府财政负担、投资方利益、轻轨运营效率、乘客因素5个。故票价制定方法选择的5个准则为: 社会效益（B1）、政府财政负担（B2）、投资方利益（B3）、轻轨运营效率（B4）、乘客因素（B5）。

根据参考收集资料以及权衡各个因素的权重得到对比矩阵（原始数据见附件一），以下为AHP导出的对比判断矩阵：

表1 准则层相对于目标层的判断矩阵

表2 方案层相对于社会效益的判断矩阵

社会效益(B1) 边际成本(C1) 拉姆塞定价(C2)

盈亏平衡(C3) 权重(i W )

边际成本(C1) 1.0000 1.0000 1.4918 0.3771 拉姆塞定价(C2) 1.0000

1.0000

1.2214

0.3528

盈亏平衡(C3)

0.6703

0.8187

1.0000

0.2702

表3 方案层相对于政府财政负担的判断矩阵

政府财政负担(B2) 边际成本(C1) 拉姆塞定价(C2)

盈亏平衡(C3) 权重(i W )

边际成本(C1) 1.0000 0.8187 0.6703 0.2702 拉姆塞定价(C2) 1.2214

1.0000

1.0000

0.3528

盈亏平衡(C3)

1.4918

1.0000

1.0000 0.3771

昆明轻轨票价制定方法的选择(A) 社会效益(B1)

政府财政负担(B2)

投资方利益(B3) 轻轨运营效率(B4)

乘客因素(B5)

权重(i W )

社会效益(B1) 1.0000

2.2255

1.4918

1.2214

1.0000

0.2586

政府财政负担(B2) 0.4493

1.0000

0.6703

0.8187

0.6703

0.1363 投资方利益(B3) 0.6703 1.4918

1.0000

1.2214

0.8187

0.1954

轻轨运营效率(B4) 0.8187

1.2214

0.8187 1.0000 0.8187

0.1804

乘客因素(B5)

1.0000

1.4918

1.2214 1.2214 1.0000

0.2293

表4 方案层相对于投资方利益的判断矩阵

投资方利益(B3) 边际成本(C1) 拉姆塞定价

(C2)

盈亏平衡(C3) 权重(

i

W)

边际成本(C1) 1.0000 0.8187 0.5488 0.2506 拉姆塞定价

(C2)

1.2214 1.0000 1.0000 0.3498 盈亏平衡(C3) 1.8221 1.0000 1.0000 0.3996

表5 方案层相对于轻轨运营效率的判断矩阵

轻轨运营效率(B4) 边际成本(C1) 拉姆塞定价

(C2)

盈亏平衡(C3) 权重(

i

W)

边际成本(C1) 1.0000 1.2214 0.8187 0.3328 拉姆塞定价

(C2)

0.8187 1.0000 1.0000 0.3114 盈亏平衡(C3) 1.2214 1.0000 1.0000 0.3558

表6 方案层相对于乘客因素的判断矩阵

乘客因素(B5) 边际成本(C1) 拉姆塞定价

(C2) 盈亏平衡(C3) 权重(

i

W)

边际成本(C1) 1.0000 0.6703 0.8187 0.2650

拉姆塞定价

(C2)

1.4918 1.0000 1.8221 0.4517

盈亏平衡(C3) 1.2214 0.5488 1.0000 0.2833

2. 层次单排序及一致性检验

准则层相对于目标层的判断矩阵如表1 所示, 方案层相对于准则层的判断矩阵如表2~ 表6所示。计算每个矩阵的权向量并对其进行一致性检验, 昆明轻轨票价制定方法的选择A, 其判断矩阵一致性比例为0.0054; 社会效益（B1）判断矩阵一致性比例为0.0043, 对总目标的权重为0.2586; 政府财政负担(B2)判断矩阵一致性比例为

0.0043, 对总目标的权重为0.1363; 投资方利益(B3)判断矩阵一致性比例为0.0171, 对总目标的权重为0.1954; 轻轨运营效率(B4)判断矩阵一致性比例为0.0171, 对总目

标的权重为0.1804; 乘客因素(B5)判断矩阵一致性比例为0.0171, 对总目标的权重为0.2293; 各判断矩阵的一致性指标均小于0. 1, 则通过检验。

3. 层次单排序及一致性检验

计算组合权向量并作一致性检验, 得出层次总排序, 即边际方法、拉姆塞方法和盈亏平衡方法3 种方法的层次总排序向量为(0.3041 ，0.3674，0.3285), 拉姆塞定价在本例中评价最高, 因此应选用拉姆塞定价方法制定票价。在以下的模型建立过程中只考虑用拉姆塞定价方法。

四、模型的建立

参考文献并结合其他城市轻轨以及铁路票价的制定方法，根据以上数据分析可

以得出采取拉姆塞定价方法是最适合昆明轻轨的票价制定方法。

拉姆塞模型的一般表达式为:

=-P

MC

P ε

α

（1） 式中：P —价格，MC —边际成本；ε—价格需求弹性系数；α—拉姆塞指数 从公式（1）可以看出，拉姆塞定价模型正是考虑在边际成本基础上的一个加价。当市场存在高峰和非高峰时段差别时,令i P 、j MC 和i ε（i=1，2） 分别代表高峰和非高峰时段的价格、边际成本和价格需求弹性系数,则将上式变形为：

2

1

222111 )/P MC -P ( )/P MC -P ( εε= （2）

上式便是拉姆塞模型的一个重要应用：高峰负荷定价法。通常消费者在高峰时段对于价格的敏感程度明显小于非高峰时段，所以可以采取在高峰时段定高价，而在非高峰时段定低价的策略。

假设企业在所有时段（不考虑高峰和非高峰时段的差别）制定单一的盈亏平衡点票价P ，与之相对应的边际成本和价格需求弹性系数分别为MC 和ε ，再根据非高峰时段时的边际成本2MC 和价格需求弹性系数2ε ，利用公式（2）便能够求出非高

峰时段的票价2P （

同时对于昆明轻轨来讲，它在所有时段的边际成本变动很小，因此可将公式（2）改写为：

j

i

εε=

)/P MC -P ( )/P MC -P ( j j j i i i （3）

下面将根据这个思路，运用拉姆齐定价模型分 4 步制定出昆明轻轨的票价方案。 1、昆明轻轨弹性系数的确定

查阅文献可以得知，传统的确定需求弹性的方法有 2 个：一是建立一个适合于自身交通系统特点的需求弹性模型，二是采用著名的 Simpson-Curtin 法则，假设需求弹性系数恒为-0.33，即票价每提高 10%，客流量会减少 3.3%。在这里我们采用方法二，即用1ε=-0.33作为昆明轻轨弹性系数的所有时段的平均值。参考其他城市对轻轨弹性系数的估计，我们用40.02-=ε作为昆明轻轨非高峰时段的需求弹性值。 2、昆明轻轨的成本分析

由经济学原理可知，轻轨的运营成本与客流量存在以下函数关系： C(Q)=bQ e （4）

式中：b 、e 为待定系数，C 为运营成本，Q 为客流量。

在固定成本不变的情况下，边际成本实际上就是运营成本对客流量的导数，即：

MC=1)

()(-==e e beQ dQ bQ d dQ Q dC （5）

对（4）式两边同时取对数，得：

LnC(Q)=Lnb+eLnQ (6) 根据以上公式，还可以推出盈亏平衡点时相对应的平均票价水平P 1 3、昆明轻轨的平均票价

把盈亏平衡点时平均票价P 1，所有时段需求弹性的平均值1ε，，非高峰时段的需

求弹性值2ε以及边际成本 MC 代入（3）式，即2211/)(/)(P MC P P MC P --=1

2

εε

可得P 2即为昆明轻轨的平均票价。

查阅资料可知， 昆明城际铁路全长约300公里，投资预估算总额为 356.8亿元。根据预测，昆明轻轨全日客运总量2020年将达到19.9万人，2030年达29.3万人。由于昆明轻轨2013年才能完工，缺乏相关数据，因此可以参考同类项目的历史数据。在这里，我们选取广珠轻轨的运营数据作参考。广珠轻轨全线总长约143公里，连接广州、佛山、珠海等几市，总投资约195.4亿，日客流量超过20万人，而且广珠轻轨所经过地区，经济发展水平与昆明轻轨所经地区相差不大，人口总量、人均可支配收入也比较相近，因此昆明轻轨与广珠轻轨的情况非常相似，具有很高的参考价值。查阅相关资料可知，广珠轻轨的平均票价约为4元。本文中取P 2=3.5元为昆明轻轨的平均票价。

4、昆明轻轨票价的制定

参考文献可知，世界各国的轨道交通系统，几乎 60%以上都采用的是计程票价制，因此昆明轻轨也采用分段计程票价制。具体步骤如下： 4.1昆明轻轨的基本票价

参照其他城市轨道交通系统计程票价方法，在充分考虑青、威、烟三市市民的承受能力的基础上，采用基本票价为平均票价 30%的方案，即基本票价为：

P=P 2%30?=3.5%30?1≈元 4.2昆明轻轨的运价率

目前京津城际铁路上开行的200公里时速动车组硬座平均运价为0.304元/（人·公里），软座运价为0.372元/（人·公里）。广珠轻轨全长143公里，全程总价约为44元，平均运价为0.308元/（人·公里）。参考以上数据，我们取0.30元/（人·公里）作为昆明轻轨的平均票价。 4.3昆明轻轨的计程区间

采用按实际乘距，逐渐增加优惠的策略。昆明轻轨正线全长299.18公里。因为昆明轻轨速度快，其时速最终定位于200km/h 至250km/h ，对短途旅客吸引力相对较低，而对中长途旅客具有较大的吸引力，因此在制定计程票价方案时，应考虑尽可能多的

吸引中长途乘客。参考其他交通方式，并结合山东半岛人均消费水平，我们把昆明轻轨的起步价定为3元。

由以上分析可得行驶路程与票价之间的关系为：

P*=3+S30

.0

?1

?（7）

五、模型求解

1、相邻站点距离

表7 昆明轻轨相邻站点距离

起点青岛

北

城阳即

墨

北

夏

格

庄

莱西莱

阳

桃

村

北

福

山

南

烟

台

牟

平

威

海

北

区

威

海

威

海

威

海

机

场

终点城阳即墨

北

夏

格

庄

莱

西

莱阳桃

村

北

福

山

南

烟

台

牟

平

威

海

北

区

威

海

荣

成

威

海

机

场

荣

成

距离（K m）24.8 14.2 31 23.

2

20.2 48.

9

12.

6

31.

9

16 44 4.

1

46 40.

1

21.

8

2、票价的制定

根据：票价=起步价+乘车距离*平均运价，即P*=3+S30

.0

?1

?已知：平均票价为3元，平均运价取0.3，则用MATLAB可以编以下程序：MATLAB源程序：

A=[24.8 14.2 31.0 23.2 20.2 48.9 12.6 31.9 16.0 44.0 4.1 46.0] ;

s=0;q=0;p=zeros(13);

for i=1:12

s=0;

for j=i:12

s=s+A(j);

q=3+s/3;

p(i,j+1)=round(q);

end

end

p

程序结果（即票价）；

0 10 15 24 31 37 52 55 65 70 83 84 98 0 0 7 17 24 30 44 48 58 62 76 77 91 0 0 0 12 19 25 40 44 53 58 71 73 86 0 0 0 0 10 16 31 34 44 49 62 63 77 0 0 0 0 0 9 24 28 37 42 55 56 70 0 0 0 0 0 0 18 21 31 36 49 50 64 0 0 0 0 0 0 0 7 16 21 34 36 49 0 0 0 0 0 0 0 0 13 17 31 32 46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 21 22 36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 17 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

上述程序结果中的上三角矩阵为票价的矩阵，只包括了单向的（反向价格相同）。其中第一行表示从青岛北到各站的票价，非0元素代表到以后各站的票价，到前站以及本站的价格显示为0。第二行表示第二站到以后各站的票价，其他依次类推。

第一站到第十三站分别指青岛北、城阳、即墨北、夏格庄、莱西、莱阳、桃村北、福山南、烟台、牟平、威海北区、威海、荣成。

此结果并不包括“威海—威海机场—荣成”线路。威海到威海机场的票价为15元，威海机场到荣成的票价为10元。

3、票价一览表

表8 昆明轻轨各站间的最优票价：

终点站

费用 （元）

起始站

青岛北

城阳 即墨北 夏格

庄 莱西 莱阳 桃村北 福山

南

烟台 牟平 威海

北区

威海 荣成

青岛北 0 10 15 24 31 37 52 55 65 70 83 84 98 城阳 10 0 7 17 24 30 44 48

58 62 76 77 91

即墨北 15 7

12 19 25 40 44 53 58 71 73 86

夏格庄 24 17 12 0

10 16 31 34 44 49 62

63 77 莱西 31 24 19 10 0 9 24 28 37 42 55 56 70 莱阳 37 30 25 16 9

18 21 31 36 49

50 64 桃村北 52 44 20 31 24 18 0 7 16 21 34 36 49 福山南 55 48 44 34 28 21 7

13 17 31

32 46 烟台 65 58 53 44 37 31 16 13 0 8 21 22 36 牟平 70 62 58 49 42 36 21 17 8

16

17 31 威海北区 83 76 71 62 55 49 34 31 21 16 0 4 18 威海 84 77 73 63 56 50 36 32 22 17 4 0 17 荣成

98

91 86 77 70 64 49 46 36 31 18

17 0

终 点

站

车

票费

价 （

元

）

起

始

站

六、结果分析及对比

由于昆明轻轨站点较多，我们选取了几个比较有代表性的站点之间的票价进行分析对比。根据所查资料以及我们建模所得数据可得下表：

表9 昆明轻轨与长途汽车票价对比

青岛--烟台青岛--威海烟台--威海

票价乘车区间

（元）

乘车方式

昆明轻轨65 84 22

长途汽车66 93 24

由以上对比可以得出昆明轻轨的平均票价水平较长途汽车的票价水平要稍低，更重要的是昆明轻轨可以大大节省旅客的出行时间，再加上舒适的乘车环境、较高的安全性，乘坐轻轨最终会成为人们的首要选择。

七、模型推广

本文通过层次分析法确定最优模型，应用性比较强，适合各类交通工具票价的制定。该方法还可以推广应用到不同省市轨道交通票价制定方法的选取, 在选取过程中,根据不同省市的实际情况, 选取合适的准则和票价制定方法, 形成准则层和方案层, 并结合实际对判断矩阵评分, 通过求解AHP模型,选取合适的票价制定方法。

拉姆塞定价法是经过层次模型分析得到的最优定价方法。再根据我国基本国情，交通运输系统一般是属于政府主管机关自然垄断的行业，拉姆塞定价法比较符合交通运营的实际情况，可以解决大多数类似的定价问题。

参考文献:

[1]、陆卫、张宁、杨利强、黄卫基于层次分析法的轨道交通票价制定方法 2009年4月。

[2]、陈义华、车天义、赵良杰、董玉成重庆市轻轨票价理论及应用 2005年6月。

[3]、蔡顺利、蒋玉现北京地铁计程票价方案探讨 2002年8月。

[4]、青烟威轻轨走出“规划图” 2007年5月，

网站链接：https://www.360docs.net/doc/c310172604.html,/blog/static/181986532007499554496/

[5]、赵良杰公共交通的最优定价理论与模型研究 2006年5月

[6]、百度地图链接：https://www.360docs.net/doc/c310172604.html,/

附件（一）

以下为根据参考收集资料以及权衡各个因素的权重得到的对比判断矩阵表1 准则层相对于目标层的判断矩阵

表2 方案层相对于社会效益的判断矩阵

社会效益(B1) 边际成本(C1) 拉姆塞定价

(C2) 盈亏平衡(C3) 权重(

i

W)

边际成本(C1) 1 2 3 0.5396 拉姆塞定价

(C2)

1/2 1 2 0.2969 盈亏平衡(C3) 1/3 1/2 1 0.1634

表3 方案层相对于政府财政负担的判断矩阵

政府财政负担(B2)边际成本(C1) 拉姆塞定价

(C2)

盈亏平衡(C3) 权重(

i

W)

昆明轻轨票价制定方法的选择(A) 社会效益

(B1)

政府财政

负担(B2)

投资方利

益(B3)

轻轨运营

效率(B4)

乘客因素

(B5)

权重

(

i

W)

社会效益

(B1)

1 5 3

2 1 0.3430

政府财政

负担(B2)

1/5 1 1/3 1/2 1/3 0.0693

投资方利

益(B3)

1/3 3 1 2 1/2 0.1775

轻轨运营

效率(B4)

1/2 2 1/2 1 1/2 0.1305

乘客因素

(B5)

1 3

2 2 1 0.2817

边际成本(C1) 1 1/2 1/3 0.1692 拉姆塞定价

(C2)

2 1 1 0.3874 盈亏平衡(C3)

3 1 1 0.4344

表4 方案层相对于投资方利益的判断矩阵

投资方利益(B3) 边际成本(C1) 拉姆塞定价

(C2)

盈亏平衡(C3) 权重(

i

W)

边际成本(C1) 1 1/2 1/4 0.1428 拉姆塞定价

(C2)

2 1 1/2 0.2857 盈亏平衡(C3) 4 2 1 0.5715

表5 方案层相对于轻轨运营效率的判断矩阵

轻轨运营效率(B4) 边际成本(C1) 拉姆塞定价

(C2)

盈亏平衡(C3) 权重(

i

W)

边际成本(C1) 1 2 1/2 02711 拉姆塞定价

(C2)

1/2 1 1/3 0.2545 盈亏平衡(C3) 2 3 1 0.4744

表6 方案层相对于乘客因素的判断矩阵

乘客因素(B5) 边际成本(C1) 拉姆塞定价

(C2) 盈亏平衡(C3) 权重(

i

W)

边际成本(C1) 1 1/3 1/2 0.1634 拉姆塞定价

(C2)

3 1 2 0.5396 盈亏平衡(C3) 2 1/2 1 0.2969

附件（二）

给交通部门的报告--有关昆明轻轨票价的制定

尊敬的领导：

您好！建设昆明轻轨对促进半岛地区交通系统事业的发展，加快基础设施建设，改善投资环境，提高各城市载体功能起到了积极作用。但票价的制定是一个棘手的问题，往往具有双面性：过高的票价会使众多居民不堪负重；过低的票价一方面可能使建设和运营成本难以收回，也可能使得铁路部门因售票情况不佳而损失惨重。

纵观国内其他城市，北京轻轨票价每公里0.122元，大连每公里0.129元，上海每公里0.291元，广州每公里0.358元。昆明轻轨票价的制定，需要考虑到市民的承受能力，昆明轻轨投资成本、各种维护费用、资金回收期限，同时结合其他运输方式的价格及现在的动车组票价等进行分析。我们根据搜集得到的资料，进行数学建模后分析得到的结果，建议如下：

先试运行1--2年，经过客流统计和成本核算后再定出具体的合适的具体定价。试运期间，昆明城际轻轨的平均运价可以制定为为0.30元/（人·公里）。以下为我们推算的昆明轻轨各站间的最优票价：

表7 昆明轻轨各站间的最优票价

终点站 费用 （元）

起始站

青岛北

城阳 即墨北 夏格

庄 莱西 莱阳 桃村北 福山

南

烟台 牟平 威海

北区

威海 荣成

青岛北 0 10 15 24 31 37 52 55 65 70 83 84 98 城阳 10 0 7 17 24 30 44 48

58 62 76 77 91

即墨北 15 7

12 19 25 40 44 53 58 71 73 86

夏格庄 24 17 12 0

10 16 31 34 44 49 62

63 77 莱西 31 24 19 10 0 9 24 28 37 42 55 56 70 莱阳

37

30 25 16 9

18 21 31 36 49

50 64

终

点

站

车

票费

价 （

元

）

起

始

站

桃村北52 44 20 31 24 18 0 71621343649福山南55 48 44 34 28 21 7 0 1317 313246烟台65 58 53 44 37 31 16 13 0 8212236牟平70 62 58 49 42 36 21 17 8 0 161731威海北区83 76 71 62 55 49 34 31 21 16 0 418威海84 77 73 63 56 50 36 32 22 17 4 0 17荣成98 91 86 77 70 64 49 46 36 31 18 17 0 （注：①此结果不包括“威海—威海机场—荣成”线路

②威海到威海机场的票价为16元，威海机场到荣成的票价为10元）

票价的高低对客运量、客运周转量及票款收入的影响较大。在对昆明轻轨的票价制定问题上，我们建模得到：票价高于0.30元/（人·公里），客运量与票款收入均会下滑；票价低0.30元/（人·公里），客运量有所上升，但票款收入下降幅度较大。因此定在0.30元/（人·公里）比较适宜。我们觉得按照这个票价吸引客流，能让更多人选择轻轨，同时建议在试运行或者在整个一段时间内，采取点灵活方式的手段来吸引客流。试运期间，应进行定价的适时调整。如果在现有价格水平下，轻轨“吃不饱”，轨道公司应考虑票价是不是过高，进行适当的调高；如果轻轨“吃不了”，轨道公司应考虑票价是不是偏低，进行适当的调高。同时根据城际铁路的功能定位和乘客出行习惯，初步确定昆明城际轻轨的运营时间是从早6点至晚12点，全天运营18个小时，以实现资源利用效率、经济效益的最大化。

昆明轻轨作为具有公益性质的省级设施，按照“行业公益性、运作市场化”的新思路，票价实施方面，还可以实行一些辅助性措施来体现社会公德。轻轨应制定对残疾人、老人、学生、军人、职工的优惠方案等。

以上为我们利用数学模型对票价的制定提出的一点建议，正确与否，要经过实践的检验，毕竟与此相关的影响因素太多。希望我们的数据及思路能对你们的相关政策有点帮助。

谢谢！