河南高考理科数学试题

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

（1） 设复数z 满足1+z

1z

-＝i ，则|z |＝

(A )1 (B )2 (C )3 (D )2 (2)sin 20°cos 10°－con 160°sin 10°＝ (A )32-

(B )32 (C )12- (D )12

(3)设命题P ：?n ∈N ，2n >2n ，则?P 为

(A )?n ∈N ， 2n >2n (B )? n ∈N ， 2n ≤2n (C )?n ∈N ， 2n ≤2n (D )? n ∈N ， 2n ＝2n

(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的

概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A ) (B ) (C ) (D )

(5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：2

212

x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若12

MF MF ?u u u u r u u u u r ＜0，则y 0的取值范围是

(A )(－

3，3

) (B )(－

3，3

) (C )(223-

，22

3

) (D )(233-，233)

(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，

下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 (A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛

(7)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r

，则

(A ) 1433AD AB AC =-+u u u r u u u

r u u u r (B ) 1433

AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r

(C ) 4133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r (D ) 4133

AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r

(8)函数f (x )＝的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为 (A )()，k (b )()，k

(C )(

)，k

(D )(

)，k

(9)执行右面的程序框图，如果输入的t ＝，则输出的n ＝

(A )5 (B )6 (C )7 (D )8

（10）2

5

()x x y ++的展开式中，52

x y 的系数为

(A )10 (B )20 (C )30 (D )60

（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体， （12）该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 （13）表面积为16 ＋ 20π，则r ＝ (A )1 (B )2 (C )4 (D )8

12.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a 1，若存在唯一的 整数x 0，使得f (x 0)0，则a 的取值范围是( ) A .[32e -

，1) B . [33,24e -) C . [33,24e ) D . [3

2e

，1) 第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)若函数f (x )＝xln (x ＋2a x +)为偶函数，则a ＝ (14)一个圆经过椭圆

的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 .

(15)若x ，y 满足约束条件10

040

x x y x y -≥??

-≤??+-≤?

，则y x 的最大值为 .

(16)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)

S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，

2r

r

正视图 俯视图

r

2

r

(Ⅰ)求{a n }的通项公式： (Ⅱ)设

，求数列

}的前n 项和

(18)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°， E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ， DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC . (1)证明：平面AEC ⊥平面AFC

(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值 (19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

1

1

x +∑

(x 1－x r

)2

1

1

x +∑

(w 1－w u r )2

1

1

x +∑

(x 1－x r

)(y －

y u r )

1

1

x +∑

(w 1－

w u r )(y －y u r )

1469

表中w 1 x 1， ，w u r ＝

1

8

1

1

1x w +∑

(Ⅰ)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋x y 关于年宣传费x 的回归方

程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

(Ⅲ)以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z ＝－x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：

（i ） 年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ） 年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据(u 1 v 1)，(u 2 v 2)…….. (u n v n )，其回归线v ＝αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： (20)(本小题满分12分)

在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝2

4

x 与直线y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，

(Ⅰ)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；

(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由. (21)(本小题满分12分)

已知函数f (x )＝31

,()ln 4

x ax g x x ++=-

A B

C F E

D 年宣传费(千元)

年销售量/t

(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；

(Ⅱ)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),()

(0)h x f x g x x => ，

讨论h (x )零点的个数

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，AB 是☉O 的直径，AC 是☉O 的切线，BC 交☉O 于点E （I ） 若D 为AC 的中点，证明：DE 是☉O 的切线；

（II ） 若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小.?

(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中.直线1C :x ＝－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （I ） 求1C ，2C 的极坐标方程； （II ） 若直线3C 的极坐标方程为()4

R π

θρ=

∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△C 2MN

的面积

(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数

＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.

(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；

(Ⅱ)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围

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理科数学试题答案

选择题答案 一、 选择题

（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B （7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D A 、B 卷非选择题答案 二、填空题

（13）1 （14） 22325

()24x y ±+= （15）3

（16）

二、 解答题

（17）解：

（I ）由2243n n n a a S +=+，可知2

11124 3.n n n a a S ++++=+ 可得221112()4n n n n a a a a a +++-+-= 即

由于0n a >可得1 2.n n a a +-=

C

D

A

E B

O

又2111243a a a +=+，解得111()3a a =-=舍去，

所以{}n a 是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为2 1.n a n =+ （II ）由21n a n =+

设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则

（18）解：

（I ）连结BD ，设BD I AC=G ，连结EG ，FG ，EF.

在菱形ABCD 中不妨设GB=1.由∠ABC=120°，

可得

由 BE ⊥平面ABCD, AB=BC 可知AE=EC. 又AE ⊥EC ，所以

，且EG ⊥AC.在Rt ?EBG 中， 可得

故

DF=

2

.在Rt ?FDG 中，可得

FG=2.

在直角梯形BDFE 中，由BD=2，

，

DF=

2

， 可得

.从而222,EG FG EF EG FG +=⊥所以 又,.AC FG G EG AFC =⊥I 可得平面因为EG AEC ?平面 所以平面AEC AFC ⊥平面

（III ） 如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，

GB u u u r

为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.

由（I

）可得(0(10(10(0A E F C --，

，所以

(1(2AE CF ==-u u u r u u u r

故cos ,3AE CF AE CF AE CF

?==-?u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u

r u u u r 所以直线AE 与直线CF

所成直角的余弦值为

3

. （19）解：

（I

）由散点图可以判断，y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型。 ……2分 （II

）令w =

y 关于w 的线性回归方程。由于

??56368 6.8100.6c

y dw =-=-?=。 所以y 关于w 的线性回归方程为?100.668y

w =+，因此y 关于x 的回归方程

为?100.6y

=+ ……6分 （III ）（i ）由（II ）知，当x=49时，年销售量y 的预报值

年利润z 的预报值

?576.60.24966.32z

=?-=。 ……9分 （ii ）根据（II ）的结果知，年利润z 的预报值

13.6

6.82

=

=，即x=时，?z

取得最大值 故年宣传费为千元时，年利润的预报值最大。 ……12分

（20）解：

（I

）有题设可得),(),M a N a M

-或（）.

又2

=y 24

x x y x '==，故在处的导数值

为，C 在

点)a 出的切线方程

为

a 0y x y a -=---=

2

4

x y x ==-在

0y a -+=.

股所求切线方程为00y a y a --=++= （III ） 存在符合题意的点，证明如下：

设P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k 故12124,4.x x k x x a +==-

从而2440.kx a C kx a +--=代入的方程得x 当b=-a 时，有 （21）解：

（I ）设曲线y=f(x)与x 轴相切于点000300

200(,0)()0,()01043013

,24

x f x f x x ax x a a ==??

++=????

??+=??

=-

则即

解得x

因此，当3

x y ()4

a f x =-=时，轴为曲线的切线

（II ）当

是{}5

()a ,(1),(1)(1)0,1(4h x f g f x h x <-=<=的零点；若则f(1)<0,h(1)=min 故不是的零点

x (0,1)g()10.f x nx ∈=->当时，所以只需考虑(x)在（0,1）的零点个数

综上，当

（22）解：

（I ）链接AE ，由已知得，AE BC ⊥AC AB ⊥

在Rt AEC ?中，由已知得，DE=DC 故DEC DCE ∠=∠

链接OE ，则∠OBE=∠OEB 又∠ACB+∠ABC=90°所以∠DEC+∠OEB=90° 故90o

OED ∠=，DE 是O e 得切线

（II ）设CE=1，AE=X

，由已知得AB =

BE =由摄影定理可得，AE=

，所以2x =4

2

120x x +-=

可得x =

60o ACB ∠=

（23）解：

（I ）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为

22cos 4sin 40ρρθρθ--+=。 ……5分

（II ）将4

π

θ=

代入2

2cos 4sin 40ρρθρθ--+=

，得240ρ-+=

，解得1ρ=

，

2ρ=

12ρρ-=

MN =

由于2C 的半径为1，所以2C MN ?的面积为1

2

。 ……10分 （24）解：

（I ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +--->， 当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解；

当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得2

13

x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<。

所以()1f x >的解集为223x

x ??

<

。 ……5分 （II ）由题设可得，()12,1,312,1,12,,x a x f x x a x a x a x a --<-??

=+--≤≤??-++>?

所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -??

???

，()21,0B a +，

(),1C a a +，ABC ?的面积为

()2

213

a +。 由题设得

()2

2163

a +>，故2a >。 所以a 的取值范围为()2,+∞ ……10分