高考数学考点归纳之 椭 圆
高考数学考点归纳之椭圆
一、基础知识
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数
2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.
2．椭圆的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆
的标准方程为x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆
的标准方程为y2
a2＋x2
b2＝1(a＞b＞0)．
3．椭圆的几何性质
?长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心．
?离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝a2－c2越小，因此椭圆越扁．
二、常用结论
(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b 2
a ，过焦点最长弦为长轴．
(2)过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b .
(3)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有共焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2
b 2＋λ＝1(λ＞－b 2)．
(4)焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)中：
①当r 1＝r 2，即点P 为短轴端点时，θ最大；
②S ＝1
2|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为
bc ；
③△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )．
第一课时 椭圆及其性质 考点一 椭圆的标准方程
[典例] (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为( )
A.x 26＋y 2
4＝1 B.x 216＋y 2
36＝1 C.x 236＋y 2
16
＝1 D.x 249＋y 2
9
＝1 (2)已知中心在坐标原点的椭圆过点A (－3,0)，且离心率e ＝5
3
，则椭圆的标准方程为________．
[解析] (1)由长、短半轴长之和为10，焦距为45，可得a ＋b ＝10,2c ＝45，∴c ＝2 5.又
a 2＝
b 2＋
c 2，∴a 2＝36，b 2＝16.∵焦点在
x 轴上，∴所求椭圆方程为x 236＋y 2
16
＝1.故选C.
(2)若焦点在x 轴上，由题知a ＝3，因为椭圆的离心率e ＝
5
3
，所以c ＝5，b ＝2，所以椭圆方程是x 29＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝3，a 2－c 2＝9，又离心率e ＝c a ＝5
3
，解得
a 2
＝814，所以椭圆方程是y 2814
＋x 2
9
＝1.
[答案] (1)C (2)x 29＋y 24＝1或y 2814＋x 2
9
＝1
[题组训练]
1．(2018·济南一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将
长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
A.x 236＋y 2
32＝1 B.x 29＋y 2
8＝1 C.x 29＋y 2
5
＝1 D.x 216＋y 2
12
＝1 解析：选B 椭圆长轴长为6，即2a ＝6，得a ＝3， ∵两焦点恰好将长轴三等分， ∴2c ＝1
3·2a ＝2，得c ＝1，
∴b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，
∴此椭圆的标准方程为x 29＋y 2
8
＝1.故选B.
2．椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率等于1
2，且它的一个顶点
恰好是抛物线x 2＝83y 的焦点，则椭圆C 的标准方程为______________．
解析：由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)．
由题设知抛物线的焦点为(0,23)，所以椭圆中b ＝2 3. 因为e ＝c a ＝1
2
，所以a ＝2c ，
又a 2－b 2＝c 2
，联立????
?
a ＝2c ，
b ＝23，
a 2－
b 2＝
c 2，
解得c ＝2，a ＝4，
所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 2
12＝1.
答案：x 216＋y 2
12
＝1
3．已知椭圆中心在原点，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点，则椭圆的标准方程为________．
解析：设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )．
依题意有?
????
3m ＋4n ＝1，
12m ＋n ＝1，解得
???
m ＝115
，
n ＝15.
∴所求椭圆的方程为x 215＋y 2
5＝1.
答案：x 215＋y 2
5＝1
考点二 椭圆的定义及其应用
[典例] (1)(2019·郑州第二次质量预测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点
分别为F 1，F 2，离心率为2
3，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则
椭圆C 的标准方程为( )
A.x 23＋y 2
＝1 B.x 23＋y 2
2＝1 C.x 29＋y 2
4＝1 D.x 29＋y 2
5
＝1
(2)已知点P (x ，y )在椭圆x 236＋y 2
100＝1上，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的面积
为18，则∠F 1PF 2的余弦值为________．
[解析] (1)由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12，所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝2
3，所以c ＝2，所
以
b 2＝a 2－
c 2＝5，所以椭圆
C 的方程为x 29＋y 2
5
＝1，故选D.
(2)椭圆x 236＋y 2
100＝1的两个焦点为F 1(0，－8)，F 2(0,8)，
由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝20，
两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝202，
由余弦定理得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos ∠F 1PF 2＝162， 两式相减得2|PF 1||PF 2|(1＋cos ∠F 1PF 2)＝144. 又S △PF 1F 2＝1
2|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝18，
所以1＋cos ∠F 1PF 2＝2sin ∠F 1PF 2， 解得cos ∠F 1PF 2＝3
5
.
[答案] (1)D (2)3
5
[变透练清]
1．已知椭圆x 225＋y 2
16＝1上一点P 到椭圆一个焦点F 1的距离为3，则P 到另一个焦点F 2
的距离为( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．7
解析：选D 因为a 2＝25，所以2a ＝10，由定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝10，所以|PF 2|＝10－|PF 1|＝7.
2.(变结论)若本例(2)条件不变，则△PF 1F 2的内切圆的面积为________．
解析：由椭圆的定义可知△PF 1F 2的周长的一半为a ＋c ＝18，所以由三角形的面积公式S ＝pr (其中p ，r 分别为三角形的周长一半，内切圆的半径)，得r ＝1，所以△PF 1F 2的内切圆的面积为π.
答案：π
考点三 椭圆的几何性质
考法(一) 求椭圆离心率的值(或范围)
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1
⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )
A ．1－3
2
B ．2－3 C.
3－1
2
D.3－1
(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x
－4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4
5，则椭圆E
的离心率的取值范围是( )
A.?
??
?0，
32 B.????0，34 C.??
?
?
32，1
D.????34，1
[解析] (1)在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°， 不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2， 则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，
由椭圆的定义可知，在方程x 2a 2＋y 2
b 2＝1中，
2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋3
2，c ＝1，
所以离心率e ＝c a ＝2
1＋3
＝3－1.
(2)根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆的左、右焦点的距离和为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝|3×0－4×b |32＋(－4)2≥45，所以1≤b ＜2，所以e ＝c
a ＝
1－b 2
a
2
＝
1－b 24.因为1≤b ＜2，所以0＜e ≤3
2.
[答案] (1)D (2)A
[解题技法] 求椭圆离心率的方法
(1)定义法：根据条件求出a ，c ，直接利用公式e ＝c
a
求解．
(2)方程法：根据条件得到关于a ，b ，c 的齐次等式(不等式)，结合b 2＝a 2－c 2转化为关于a ，c 的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．
考法(二) 与椭圆性质有关的最值问题
[典例] 已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 2
16＝1的左、右焦点，点M 是该椭圆上的一个动
点，那么|MF 1―→＋MF 2―→
|的最小值是( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10 [解析] 设M (x 0，y 0)，F 1(－3,0)，F 2(3,0)． 则MF 1―→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2―→
＝(3－x 0，－y 0)， 所以MF 1―→＋MF 2―→
＝(－2x 0，－2y 0)， |MF 1―→＋MF 2―→|＝4x 20＋4y 20＝
4×25???
?1－y 2
16＋4y 20＝ 100－94
y 2
0，
因为点M 在椭圆上，所以0≤y 20≤16， 所以当y 20＝16时，|MF 1―→＋MF 2―→|取最小值为8. [答案] C
[解题技法] 椭圆几何性质的应用技巧
(1)与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．
(2)椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系．
[题组训练]
1．(2018·贵阳摸底)P 是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，A 为左顶点，F 为右焦点，
PF ⊥x 轴，若tan ∠P AF ＝1
2
，则椭圆的离心率e 为( )
A.23
B.22
C.33
D.12
解析：选D 不妨设点P 在第一象限，因为PF ⊥x 轴，所以x P ＝c ，将x P ＝c 代入椭圆方程得y P ＝b 2a ，即|PF |＝b 2a ，则tan ∠P AF ＝|PF ||AF |＝b 2a a ＋c ＝1
2，结合b 2＝a 2－c 2，整理得2c 2＋ac
－a 2＝0，两边同时除以a 2得2e 2＋e －1＝0，解得e ＝1
2
或e ＝－1(舍去)．故选D.
2．已知P 在椭圆x 24＋y 2
＝1上，A (0,4)，则|P A |的最大值为( )
A.
2183
B.763 C ．5
D ．25
解析：选C 设P (x 0，y 0)，则由题意得x 20
4
＋y 20＝1， 故x 20＝4(1－y 20)， 所以|P A |2＝x 20＋(y 0－4)2 ＝4(1－y 20)＋y 20－8y 0
＋16 ＝－3y 20－8y 0＋20 ＝－3????y 0＋432＋76
3， 又－1≤y 0≤1，
所以当y 0＝－1时，|P A |2取得最大值25， 即|P A |最大值为5.故选C.
3．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，
使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )
A.????23，1
B.????13，2
2 C.????13，1 D.???
?0，13
解析：选C 如图所示， ∵线段PF 1的中垂线经过F 2， ∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ， 即椭圆上存在一点P ， 使得|PF 2|＝2c . ∴a －c ≤2c ＜a ＋c . ∴e ＝c a ∈????
13，1.
[课时跟踪检测]
A 级
1．椭圆以x 轴和y 轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为( )
A.x 24＋y 2
＝1 B.y 216＋x 2
4
＝1 C.x 24＋y 2＝1或y 216＋x 2
4＝1 D.x 24＋y 2＝1或y 24
＋x 2
＝1 解析：选C 由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a ＝2b .因为椭圆经过点(2,0)，所以若焦点在x 轴上，则a ＝2，b ＝1，椭圆的标准方程为x 24＋y 2
＝1；若焦点在y 轴上，则a
＝4，b ＝2，椭圆的标准方程为y 216＋x 2
4
＝1，故选C.
2．已知方程x 2|m |－1＋y 2
2－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )
A.?
???－∞，3
2 B ．(1,2)
C ．(－∞，0)∪(1,2)
D ．(－∞，－1)∪???
?1，3
2 解析：选D 依题意得不等式组????
?
|m |－1＞0，2－m ＞0，
2－m ＞|m |－1，
解得m ＜－1或1＜m ＜3
2
，故选D.
3．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m ＞0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33
C.22
D.12
解析：选B 由题意得椭圆的标准方程为x 2m 2＋y 2
m 3＝1，
所以a 2＝m 2，b 2＝m
3，
所以
c 2＝a 2－b 2＝
m 6，e 2＝c 2a 2＝13，e ＝3
3
. 4．已知椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥
F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P ―→·F 2A ―→
的最大值为( )
A.32
B.332
C.94
D.154
解析：选B 由椭圆方程知c ＝1， 所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)．
因为椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2，则可设A (1，y 0)， 代入椭圆方程可得y 20＝94，所以y 0＝±3
2
. 设P (x 1，y 1)，则F 1P ―→＝(x 1＋1，y 1)，F 2A ―→
＝(0，y 0)， 所以F 1P ―→·F 2A ―→
＝y 1y 0.
因为点P 是椭圆C 上的动点，所以－3≤y 1≤3，
故F 1P ―→·F 2A ―→
的最大值为332
.
5．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A ．1 B.2 C ．2
D ．22
解析：选D 设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以1
2×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅
当b ＝c ＝1时取等号)，故选D.
6．(2019·惠州调研)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 2
5＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1
的中点在y 轴上，则|PF 2|
|PF 1|
的值为( )
A.514
B.59
C.49
D.513
解析：选D 如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝5
3，|PF 1|＝2a －|PF 2|
＝133，故|PF 2||PF 1|＝513
，故选D. 7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，
则椭圆的左顶点为________．
解析：∵圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，
∴圆心坐标为(3,0)，∴c ＝3.又b ＝4，∴a ＝b 2＋c 2＝5. ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)． 答案：(－5,0)
8．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 2
4
＝1有相同焦点的椭圆方程为________．
解析：法一：设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则a 2－b 2＝c 2＝5，且9a 2＋4
b 2＝1，
解方程组?????
a 2－
b 2＝5，9a 2＋4b 2
＝1，得a 2＝15，b 2
＝10，故所求椭圆方程为x 215＋y 2
10＝1.
法二：椭圆x 29＋y 24＝1的焦点坐标为(±5，0)，设所求椭圆方程为x 2λ＋5＋y 2
λ
＝1(λ＞0)，代
入点A (3，－2)得9λ＋5＋4λ＝1(λ＞0)，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，故所求椭圆方程为x 215＋
y 2
10＝1.
答案：x 215＋y 2
10
＝1
9．已知△ABC 的顶点A (－3,0)和顶点B (3,0)，顶点C 在椭圆x 225＋y 216＝1上，则
5sin C
sin A ＋sin B ＝________.
解析：由椭圆x 225＋y 2
16＝1知长轴长为10，短轴长为8，焦距为6，则顶点A ，B 为椭圆
的两个焦点．在△ABC 中，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则c ＝|AB |＝6，a ＋b ＝|BC |＋|AC |＝10，由正弦定理可得5sin C sin A ＋sin B ＝5c
a ＋
b ＝5×610
＝3.
答案：3
10．点P 是椭圆上任意一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，∠F 1PF 2的最大值是60°，则椭圆的离心率e ＝________.
解析：如图所示，当点P 与点B 重合时，∠F 1PF 2取得最大值60°，此时|OF 1|＝c ，|PF 1|＝|PF 2|＝2c .由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4c ＝2a ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝12
.
答案：12
11．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)． (1)求椭圆的标准方程；
(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积． 解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，
依题意得?
????
2a ＝10，
c ＝3，因此a ＝5，b ＝4，
所以椭圆的标准方程为x 225＋y 2
16＝1.
(2)易知|y P |＝4，又c ＝3，
所以S △F 1PF 2＝12|y P |×2c ＝1
2
×4×6＝12.
12．已知焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝1
2
，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右
顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF ―→·P A ―→
的最大值和最小值．
解：设P 点坐标为(x 0，y 0)． 由题意知a ＝2， ∵e ＝c a ＝1
2，∴c ＝1，
∴b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆方程为x 24＋y 2
3＝1.
∴－2≤x 0≤2.
又F (－1,0)，A (2,0)，PF ―→＝(－1－x 0，－y 0)，P A ―→
＝(2－x 0，－y 0)， ∴PF ―→·P A ―→＝x 20－x 0－2＋y 20 ＝14x 20－x 0＋1＝14
(x 0－2)2. 当x 0＝2时，PF ―→·P A ―→
取得最小值0， 当x 0＝－2时，PF ―→·P A ―→
取得最大值4.
B 级
1．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝????b 2＋c 2
有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e 的取值范围为( )
A.???
?
55，35
B.?
??
?0，
25 C.????
25
，35 D.??
??
35
，55 解析：选A 由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，
则???
a ＞b
2
＋c ，b ＜b
2＋c ，
整理得?????
(a －c )2＞14(a 2－c 2)，a 2－c 2＜2c ，
解得55＜e ＜3
5
.
2．(2018·南昌摸底考试)P 为椭圆x 225＋y 2
9＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，
过P 点作PH ⊥F 1F 2于点H ，若PF 1⊥PF 2，则|PH |＝( )
A.254
B.83 C ．8
D.94
解析：选D 由椭圆x 225＋y 2
9＝1得a 2＝25，b 2＝9，
则c ＝a 2－b 2＝25－9＝4， ∴|F 1F 2|＝2c ＝8.
由椭圆的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝64.
∴2|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝100－64＝36， ∴|PF 1|·|PF 2|＝18.
又S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝1
2|F 1F 2|·|PH |，
∴|PH |＝
|PF 1|·|PF 2||F 1F 2|＝9
4
.故选D.
3．已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为3
2
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.
解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)．
由题意得????
?
a ＝2，c a ＝3
2，解得c ＝ 3.所以b 2＝a 2－c 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)证明：设M (m ，n )，则D (m,0)，N (m ，－n )． 由题设知m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM ＝
n
m ＋2
， 故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2
n .
所以直线DE 的方程为y ＝－
m ＋2
n
(x －m )． 直线BN 的方程为y ＝n
2－m
(x －2)．
联立???
y ＝－m ＋2n
(x －m )，
y ＝
n
2－m (x －2)，
解得点E 的纵坐标y E ＝－n (4－m 2)
4－m 2＋n 2.
由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2， 所以y E ＝－4
5
n .
又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝2
5|BD |·|n |，
S △BDN ＝1
2
|BD |·|n |.
所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.