小学奥数之裂项

小学奥数之裂项Revised on November 25, 2020

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：

（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5）n·n!=(n+1)!-n!

公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构)

1、分组法求数列的和：如an=2n+3n

2、错位相减法求和：如an=n·2^n

3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)

4、倒序相加法求和：如an=n

5、求数列的最大、最小项的方法：

①an+1-an=……如an=-2n2+29n-3

②(an>0)如an=

③an=f(n)研究函数f(n)的增减性如an=an^2+bn+c(a≠0)

6、在等差数列中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取最大值.

(2)当a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值.

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。

下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。

例1、计算1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100

分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。

1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3）

2×3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3）

3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（1×3）

4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（1×3）

……

98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3）

99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（1×3）

将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（99×100×101-0×1×2）÷3。

解：1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100

=（99×100×101-0×1×2）÷3

=333300

计算之裂项习题1

计算之裂项习题2