三角函数诱导公式练习题
三角函数诱导公式练习题
选择题
1、已知函数f(x）=siｎ，g(x）=ｔan（π﹣ｘ）,则（）
A、f(x）与g（x)都是奇函数??
B、f(x)与ｇ(x)都是偶函数
C、f(x）是奇函数，g（x）是偶函数?
D、ｆ（x）是偶函数，g（x)是奇函数
２、点P(cos2009°,sｉn2009°）落在()
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
３、已知,则=()
Ａ、??Ｂ、Ｃ、D、
4、若tａn160°＝ａ，则ｓin2００0°等于（）
?Ａ、Ｂ、C、?D、﹣
5、已知cos(+α）=﹣,则sin（﹣α）＝（）
A、﹣
B、
C、﹣?
D、
6、函数的最小值等于（)
A、﹣3?
B、﹣２
C、?
D、﹣１
7、本式的值是（)
Ａ、1??B、﹣1 C、??D、
8、已知且α是第三象限的角，则cos(２π﹣α)的值是( ）
A、Ｂ、C、?D、
9、已知f(cosx）＝cos2x,则f（ｓin３0°)的值等于( )
?A、?B、﹣C、０D、1
１0、已知siｎ(a＋)=，则cos（２a﹣）的值是( ）
?A、?B、C、﹣??Ｄ、﹣
1１、若，,则的值为( )
A、?
B、
C、??Ｄ、
12、已知，则的值是（）?Ａ、?Ｂ、C、?D、
１3、已知cｏs（ｘ﹣)=m，则coｓx＋cos(x﹣)＝（)
?A、2m??B、±2m C、??D、
1４、设a=sin（sin２00８０）,b＝sin（cos20０8０），c=cos(ｓin2008０),ｄ＝cｏs（cｏs２0080），则a，b,ｃ，d的大小关系是(）
A、a<ｂ B、b＜a＜d 15、在△AＢC中，①sin(Ａ+B)＋sinC；②cｏs(Ｂ＋C）+ｃoｓA；③ｔaｎｔan;④ ，其中恒为定值的是(） ?Ａ、②③?Ｂ、①②Ｃ、②④?D、③④ １6、已知ｔaｎ２8°=a，则siｎ２００8°=( ） ?A、?B、C、D、 １7、设，则值是（) Ａ、﹣1??Ｂ、1 C、??D、 1８、已知f（x）＝ａｓin（πx+α)+bcｏｓ（πｘ+β）＋4（a，b，α，β为非零实数），f（2007)＝5，则f(2０08）=() A、３? B、5 C、1?Ｄ、不能确定 １9、给定函数①y＝xcoｓ（+x）,②y=1+ｓiｎ2（π+x）,③y=cos(coｓ（+x））中，偶函 数的个数是( ) A、３? B、2 C、１? D、0 20、设角的值等于( ) ?A、?B、﹣Ｃ、??D、﹣ ２１、在程序框图中,输入f0（x)＝cosx,则输出的是f4(x)=﹣ｃsx（） A、﹣siｎx ? B、sinx Ｃ、cosx?D、﹣cosｘ 二、填空题（共9小题) 22、若(﹣4，３）是角终边上一点,则Ｚ的值为． 2３、△AＢC的三个内角为Ａ、Ｂ、Ｃ,当A为°时，取得最大 值,且这个最大值为. ２４、化简：= ２5、化简:=． ２６、已知，则f(1）＋ｆ（２)+f（3）＋…+f(200９)＝．27、已知tanθ=3,则(π﹣θ）=. 2８、sｉn(π+）sｉn(2π+）sin(3π+）…ｓin(2010π+)的值等于． ２9、f（x)=,则f(1°)+f（2°）+…+f（58°)+f（59°）＝. ３０、若,且,则cｏｓ（2π﹣α)的值是. 答案与评分标准 一、选择题（共21小题) 1、已知函数f（x)＝sin,ｇ（x)=tａｎ(π﹣ｘ）,则（） A、f(x)与g（x)都是奇函数??Ｂ、ｆ（x)与g（ｘ）都是偶函数 C、ｆ（x)是奇函数，g（x)是偶函数? D、f(ｘ)是偶函数,g（x)是奇函数 考点:函数奇偶性的判断；运用诱导公式化简求值。 专题:计算题。 分析:从问题来看，要判断奇偶性,先对函数用诱导公式作适当变形,再用定义判断． 解答：解：∵ｆ（x)=ｓｉｎ=cｏs,ｇ（ｘ）=tan(π﹣x)＝﹣tanｘ, ∴f(﹣ｘ)=cos（﹣)＝coｓ=f(ｘ),是偶函数 g（﹣x）＝﹣ｔan（﹣x）=ｔanx＝﹣ｇ(x）,是奇函数. 故选D. 点评：本题主要考查函数奇偶性的判断,判断时要先看定义域,有必要时要对解析式作适当变形,再看ｆ(﹣x)与ｆ(x）的关系． 2、点Ｐ(cos20０９°，sin200９°）落在（） ?A、第一象限?B、第二象限 C、第三象限?Ｄ、第四象限 考点:象限角、轴线角;运用诱导公式化简求值。 专题:计算题。 分析：根据所给的点的坐标的横标和纵标,把横标和纵标整理,利用三角函数的诱导公式，判断出角是第几象限的角,确定三角函数值的符号,得到点的位置． 解答：解:∵ｃoｓ20０９°=cos(360°×5+２09°）＝cos２09° ∵209°是第三象限的角， ∴coｓ209°<0， ∵siｎ2009°＝sin（360°×5+2０9°）=siｎ209° ∵209°是第三象限的角, ∴sin２09°＜0， ∴点P的横标和纵标都小于0, ∴点P在第三象限, 故选C 点评:本题考查三角函数的诱导公式,考查根据点的坐标中角的位置确定坐标的符号,本题运算量比较小,是一个基础题． 3、已知,则=（） A、?Ｂ、 ?C、?Ｄ、 考点：任意角的三角函数的定义;运用诱导公式化简求值。 专题:计算题。 分析：求出cosa=,利用诱导公式化简，再用两角差的余弦公式,求解即可． 解答:解：cosａ＝，cos（+a)=ｃｏs(2π﹣+a)＝cｏs（ａ﹣） =cosacｏｓ+sｉnasin=×＋×=. 故选B. 点评：本题考查任意角的三角函数的定义，运用诱导公式化简求值，考查计算能力,是基础题. 4、若tａｎ１６0°＝a,则ｓiｎ2000°等于（） ?A、?Ｂ、 ?C、?D、﹣ 考点:同角三角函数间的基本关系;运用诱导公式化简求值。 专题：计算题。 分析:先根据诱导公式把已知条件化简得到tan20°的值,然后根据同角三角函数间的基本关系,求出cｏs20°的值，进而求出sin２0°的值，则把所求的式子也利用诱导公式化简后，将﹣sｉn20°的值代入即可求出值. 解答：解：ｔan160°＝tａｎ(180°﹣2０°）＝﹣tan20°=a＜０，得到a<0，tａn20°＝﹣a ∴cos20°=＝=， ∴ｓｉn2０°＝= 则siｎ２000°＝sｉn（11×１8０°＋２0°）=﹣sin20°=. 故选B． 点评：此题考查学生灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值,是一道基础题．学生做题时应注意a 的正负． 5、已知coｓ(+α)=﹣,则siｎ（﹣α）=( ) ?A、﹣??B、 C、﹣? D、 考点:同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值。 专题:计算题。 分析:利用诱导公式化简siｎ（﹣α)为cos(＋α)，从而求出结果． 解答：解：sin（﹣α）=coｓ[﹣（﹣α)]=ｃｏs(+α） =﹣. 故选A 点评:本题考查诱导公式，两角和与差的余弦函数，两角和与差的正弦函数,考查计算能力,是基础题. 6、（2０04?贵州)函数的最小值等于() A、﹣3?? B、﹣2 ?C、?D、﹣1 考点:运用诱导公式化简求值。 专题：综合题。 分析:把函数中的siｎ(﹣ｘ）变形为sin［﹣（＋ｘ）]后利用诱导公式化简后,合并得到一个角的余弦函数，利用余弦函数的值域求出最小值即可． 解答：解：y=2siｎ（﹣ｘ）﹣coｓ（+x)＝2siｎ[﹣(+x)]﹣coｓ（+ｘ)=２cｏs（＋x）﹣cos(＋ｘ）=cos（＋x)≥﹣１ 所以函数的最小值为﹣1 故选D 点评：此题考查学生灵活运用诱导公式化简求值,会根据余弦函数的值域求函数的最值,是一道综合题. 做题时注意应用（﹣x)+(+x）=这个角度变换. 7、本式的值是（) ?A、1 ?B、﹣1 ?C、Ｄ、 考点：运用诱导公式化简求值。 专题:计算题。 分析:利用诱导公式及三角函数的奇偶性化简可得值． 解答：解：原式=sin（４π﹣）﹣cｏs（4π+)+ｔan(4π+) =﹣ｓiｎ﹣coｓ+tan=﹣+×＋×＝1 故选A 点评：此题为一道基础题，要求学生会灵活运用诱导公式化简求值,掌握三角函数的奇偶性.化简时学生应注意细心做题,注意符号的选取. 8、已知且α是第三象限的角,则cｏs（２π﹣α)的值是（） ?Ａ、B、 ?C、?Ｄ、 考点:运用诱导公式化简求值。 专题：计算题。 分析：由已知中且α是第三象限的角,我们易根据诱导公式求出ｓinα，cｏsα,再利用诱导公式即可求出ｃos(2π﹣α）的值． 解答：解:∵且α是第三象限的角， ∴, ∴ ∴ｃos(２π﹣α)= 故选B 点评：本题考查的知识点是运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解答本题的关键,解答中易忽略α是第三象限的角，而选解为D 9、已知f（cosｘ）=ｃos2x,则f(sin30°)的值等于（) A、?? B、﹣ ?C、0 ?D、１ 考点：运用诱导公式化简求值。 专题:计算题。 分析:利用诱导公式转化f（sin3０°)=f（ｃoｓ6０°),然后求出函数值即可. 解答:解:因为f(coｓｘ)=ｃos2x所以ｆ(sin3０°)=ｆ（cos6０°)=ｃｏs120°=﹣, 故选B． 点评:本题是基础题,考查函数值的求法，注意诱导公式的应用是解题的关键． 10、已知sｉｎ(a+）=，则cos(2a﹣）的值是( ） A、B、 ?C、﹣?D、﹣ 考点：运用诱导公式化简求值。 专题:计算题。 分析:把已知条件根据诱导公式化简，然后把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后代入即可求出值. 解答:解:sin（a+)=sin[﹣(﹣α)]=cｏs(﹣α)=cos(α﹣）＝, 则cos(2α﹣）=2﹣1＝２×﹣１＝﹣ 故选D 点评:考查学生灵活运用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简求值． １１、若，，则的值为（) A、Ｂ、 ?C、?D、 考点：运用诱导公式化简求值;三角函数值的符号；同角三角函数基本关系的运用。 专题:计算题。 分析：角之间的关系：(﹣ｘ)+(+x）＝及﹣2x=2（﹣ｘ),利用余角间的三角函数的关系便可求之. 解答：解:∵ ∴, cｏｓ(﹣x）>0,coｓ（﹣x)＝==. ∵（﹣x)+(+x)=， ∴cos(+x)=siｎ(﹣x)①． 又cｏｓ2x=ｓiｎ（﹣2ｘ) =ｓin２(﹣x）=2ｓin(﹣x)coｓ（﹣x）②， 将①②代入原式，∴==＝ 故选Ｂ 点评：本题主要考查三角函数式化简求值．用到了诱导公式及二倍角公式及角的整体代换．三角函数中的公式较多,应强化记忆,灵活选用. 12、已知,则的值是( ） ?A、B、 C、? D、 考点:运用诱导公式化简求值。 专题：计算题。 分析：由sｉnθ＞0,sｉnθcosθ＜0，得到cｏsθ＜０,利用同角三角函数间的基本关系求出cｏsθ的值，把所求式子利用诱导公式化简后，将ｓiｎθ和coｓθ的值代入即可求出值. 解答：解：由sinθ=＞0，siｎθcｏｓθ＜０，得到cosθ＜0, 得到cｏsθ＝﹣=﹣， 则=sｉｎθcｏsθ=×(﹣)=﹣． 故选Ｂ 点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用诱导公式化简求值，是一道基础题. 13、已知cos(ｘ﹣)=ｍ,则cosｘ+coｓ(ｘ﹣)=（） ?A、2m Ｂ、±2ｍ C、?Ｄ、 考点:运用诱导公式化简求值。 专题:计算题。 分析：先利用两角和公式把coｓ（x﹣)展开后加上cosx整理,进而利用余弦的两角和公式化简,把cｏs(x﹣）的值代入即可求得答案. 解答:解:ｃoｓx+cｏs（x﹣）＝cosx+cｏｓx+sｉnx =（cｏsｘ+sinx)=cos（x﹣） =m 故选Ｃ. 点评：本题主要考查了利用两角和与差的余弦化简整理．考查了学生对三角函数基础公式的熟练应用. 14、设ａ=sｉn(sin2０0８0)，b=ｓin(ｃos200８0)，c=cos（sin20080)，ｄ=coｓ（ｃoｓ２０080）,则a,b,ｃ,d的大小关系是(） ?A、ａ C、ｃ＜d D、d 考点:运用诱导公式化简求值。 专题:计算题;综合题。 分析：因为20０8°=３×３60°+１８0°+２8°分别利用诱导公式对a、ｂ、ｃ、d进行化简,利用正弦、余弦函数图象及增减性比较大小即可． 解答:解：a=sin(ｓin2０08°)=sin（﹣ｓin28°）=﹣sin（sin28°）； b=sｉn（cｏｓ20０8°)＝sｉn(﹣coｓ2８°)=﹣ｓin(cｏｓ2８°)； c=cos(ｓin2008°)=ｃos(﹣sin2８°）=ｃoｓ(sin２8°); d=cos(cｏs２008°)=ｃoｓ(﹣coｓ2８°)=cos(cos２8°). 根据正弦、余弦函数的图象可知a<0，b<0；c>0，ｄ>0． 又因为0<２8°<45°,所以cos28°＞sin2８°,根据正弦函数的增减性得到a>b，c＞ｄ． 综上得到a,b,c，d的大小关系为b＜a 故选Ｂ 点评：本题为一道综合题，要求学生会利用诱导公式化简求值，会根据正弦、余弦函数的图象及性质比较大小． 15、在△AＢC中,①sin（A+B）+sinC；②cｏｓ(B+Ｃ)+ｃｏsA;③ｔan tan;④，其中恒为定值的是( ） A、②③ B、①② ?C、②④??Ｄ、③④ 考点:运用诱导公式化简求值。 专题:计算题。 分析：利用三角形内角和和诱导公式化简①得2ｓinC不是定值,②结果为0是定值；③结果ｃotｔａn=1是定值； ④sin2不是定值． 解答：解:ｓｉn(A＋Ｂ）+sinC=sｉn(π﹣c)+sinC＝2ｓinC，不是定值．排除①； cｏs(B＋C)+ｃosＡ=cos(π﹣A)+cｏｓA=﹣cosＡ+cosＡ=0②符合题意； tan tan＝tａｎ（﹣）tan=cot taｎ=1③符合; =siｎsin=sin２不是定值．④不正确. 故选A 点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．考查了学生分析问题和基本的推理能力.属基础题． 16、已知ｔａn28°=a，则sin２008°=（） ?A、?B、 ?C、D、 考点:运用诱导公式化简求值。 专题:计算题。 分析：由已知中tan２8°=a，我们能根据同角三角函数关系式，得到ｓiｎ28°值,根据诱导公式，我们可以确定siｎ2008°与ｓｉｎ2８°的关系,进而得到答案. 解答:解：∵sｉn20０８°=siｎ(5×３6０°+２08°）＝siｎ208°=sin（180°+28°）＝﹣sin２8° 又∵ｔａｎ28°=a(a>0)， ∴cｏt28°= ｃsc228°＝= ∴ｓin２8°= ∴sｉn2０08°=﹣ 故选Ｄ 点评：本题考查的知识点是运用诱导公式化简求值，同角三角函数关系，其中由tan2８°＝a,求sｉn２8°值时难度较大. 1７、设，则值是（) ?A、﹣1 B、１ C、D、 考点：运用诱导公式化简求值。 专题：综合题。 分析:把已知条件利用余弦函数为偶函数及诱导公式化简可得cosα的值，然后把所求的式子的分子利用二倍角的正弦函数公式化简后,提取2ｃosα,分母利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后,分子与分母约分得到关于cｏsα的式子，把cｏｓα的值代入即可求出值. 解答：解：cos(α﹣3π）＝cos（2π+π﹣α）=﹣cｏsα＝,所以cosα=﹣, 则===2×（﹣)=﹣1. 故选A． 点评：此题考查学生灵活运用诱导公式、二倍角的正弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化简求值,是一道综合题． １8、已知f(x)=asiｎ（πｘ+α）+ｂｃｏs(πx+β)+4(a，b，α，β为非零实数）,f（20０7)=5，则f(２008）=（) ?Ａ、3 B、5 ?C、1?D、不能确定 考点:运用诱导公式化简求值。 专题:计算题。 分析:把x=200７代入ｆ（ｘ）中,求出的f(200７）=5，利用诱导公式化简，得到一个关系式，然后把x=2008代入ｆ（ｘ),表示出f（2０08），利用诱导公式化简后,将得到的关系式代入即可求出值． 解答：解：把ｘ=2007代入得：f（200７）=asin(2007π＋α）+ｂcoｓ（2０07π+β）+４ =﹣aｓinα﹣ｂｃosβ+4=5，即asiｎα+bcosβ=﹣1， 则f(200８）=asin（２0０８π+α)＋bcos(２00８π+β)+4 =asｉｎα+bcoｓβ+４=﹣1+4=3. 故选A 点评:此题考查了诱导公式及整体代入得数学思想．本题用到的诱导公式有ｓin（π＋α）=﹣siｎα，cｏs(π＋α)=﹣ｃosα及sin(2kπ＋α）=siｎα,cos（2kπ+α)=ｃosα．熟练掌握这些公式是解本题的关键. 19、给定函数①y=ｘcｏs（+x)，②y＝１+ｓiｎ2(π+x），③y=ｃos(coｓ（+x))中，偶函数的个数是( ) ?A、3 B、2 ?C、1?D、0 考点:运用诱导公式化简求值；函数奇偶性的判断。 专题:综合题。 分析：把三个函数利用诱导公式化简后，把x换成﹣x求出的函数值与y相等还是不相等，来判断函数是否为偶函数，即可得到偶函数的个数即可． 解答：解:对于①ｙ＝xｃoｓ(π+x)=xｓｉｎｘ，是偶函数,故①正确; 对于②y=1+ｓｉｎ2（π+x）＝ｓiｎ2x+1,是偶函数,故②正确； 对于③ｙ＝coｓ(ｃos(+ｘ))=ｃos（﹣sinx)=cos(sｉnx）, ∵f（﹣x)=cos（sin（﹣ｘ))＝cos（﹣siｎx)=ｃｏs（sinx)=f(x）, ∴函数是偶函数,故③正确. 故选Ａ. 点评：此题考查学生灵活运用诱导公式化简求值，掌握判断函数的奇偶性的方法,是一道中档题. 20、设角的值等于（) ?A、?Ｂ、﹣ C、? D、﹣ 考点:运用诱导公式化简求值。 专题:计算题。 分析:先把所求的式子利用诱导公式化简后,将α的值代入,然后再利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简后,即可求出值． 解答:解:因为， 则 ＝= ＝ = =＝． 故选Ｃ 点评：此题考查学生灵活运用诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值,是一道综合题. 21、在程序框图中,输入f0（ｘ）=cosx，则输出的是ｆ4（ｘ)=﹣csｘ（) ?A、﹣sｉｎx B、sinx ?C、ｃoｓx D、﹣cｏsｘ 考点：运用诱导公式化简求值；循环结构。 专题：应用题。 分析:由题意求出ｆi（x)的前几项，观察发现函数值具有周期性，且周期等于４，由此可得最后输出的值ｆ２01（x) １ ＝f3(x)． 解答:解:由题意可得f1(x)=ｃos(）=﹣sinx,ｆ2（x)=﹣sin(）＝﹣coｓx， f3(ｘ）＝﹣cos()=siｎx，f4（x)=sｉｎ（)=ｃosｘ=f０(x). 故f i(x)的值具有周期性，且周期等于4. ∵２011=4×502＋３,∴最后输出的值f2011（x）=f3(x)＝sinx, 故选B. 点评：本题考查诱导公式、函数的周期性及循环结构，属于基础题． 二、填空题(共９小题） ２2、若（﹣4，3）是角终边上一点,则Z的值为﹣. 考点:任意角的三角函数的定义;运用诱导公式化简求值。 专题：计算题。 分析：利用大公司化简,得到siｎα的表达式，通过任意角的三角函数的定义,求出sinα的值，即可求出结果. 解答:解：原式可化为,由条件（﹣4,3)是角终边上一点，所以,故所求值为．故答案为: 点评:本题是基础题,考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用,考查计算能力，常考题型． 23、△ABC的三个内角为Ａ、B、C，当A为６0°时,取得最大值，且这个最大值为． 考点:运用诱导公式化简求值。 专题：计算题。 分析:由A+Ｂ+C=１80°得=﹣,然后把已知条件分别利用二倍角的余弦函数公式和诱导公式化为关于sｉｎ 的二次三项式，然后配方求出这个式子的最大值及取最大值时sin的值，利用特殊角的三角函数值即可求出此时的A的值. 解答：解:因为Ａ＋Ｂ+Ｃ=180°,则=1﹣２+2cｏｓ（﹣）=1﹣2+２ｓin=﹣2+, 所以当siｎ＝,因为为锐角，所以=30° 即A=6０°时，原式的最大值为． 故答案为：60, 点评：此题是一道三角函数与二次函数综合在一起的题，要求学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及诱导公式化简求值，要牢记特殊角的三角函数值,做题时注意角度的范围. 2４、化简：= ﹣cosθ 考点：运用诱导公式化简求值。 专题:计算题。 分析:把原式的分子分别用ｃoｓ（4π＋θ)＝coｓθ,cｏs(π+θ）＝﹣cｏsθ，siｎ（3π＋θ）=ｓin(π+θ）＝﹣sinθ化简；分母分别用siｎ（﹣4π＋θ)=sinθ，ｓiｎ(5π＋θ）=sin（π+θ)＝﹣sinθ,cｏs(﹣π﹣θ）=cos（π+θ）=﹣ｃｏsθ化简，然后约分即可得到原式的值. 解答:解：原式=＝＝﹣cosθ 故答案为:﹣ｃｏsθ 点评：此题是一道基础题，要求学生灵活运用诱导公式化简求值,做题时注意符号的选取． 2５、化简：=﹣sｉｎθ . 考点：运用诱导公式化简求值。 专题:计算题。 分析:根据诱导公式的口诀”奇变偶不变，符号看象限”和三角函数在各个象符号限中的符号，对式子进行化简. 解答：解：式子＝=＝﹣sinθ, 故答案为:﹣sinθ． 点评:本题考查了诱导公式的应用，利用口诀“奇变偶不变，符号看象限”和三角函数在各个象符号限中的符号，一定注意符号问题,这也是易错的地方． ２6、已知，则f(1)+f(２）+f(3)＋…+f（２0０9)= 2010． 考点:运用诱导公式化简求值。 专题：计算题。 分析:分别把x＝１,2，3，…，2009代入f(x）求出各项,除过2009个1外，根据诱导公式和特殊角的三角函数值可得：从sｉn开始每连续的四个正弦值相加为0，因为２009除以４余数是1，所以把最后一项的sin(）利用诱导公式求出值即可得到原式的值． 解答：解：由, 则ｆ（１)＋ｆ（2)+ｆ（3)+…+f(2009） =1＋sin＋1+sinπ+１+sｉn+1＋sin2π+1+sin+…+1＋sin ＝2０09+(sin+sinπ＋sin+sin２π)+(ｓin+sin3π+sin+siｎ4π）+…+(sin+sin１００3π＋siｎ+sin1004π） ＋sin＝２009+（sin+sinπ+sin+sin2π)+（sin+sinπ＋sin+ｓin2π)+…+（ｓin+ｓiｎπ+ｓｉn+sin2π)+sｉn =200９＋0+0+…+0+sin(２×502π+） ＝200９+1 =2010 故答案为:2010 点评:此题是一道基础题，要求学生灵活运用诱导公式化简求值,牢记特殊角的三角函数值.做题时要找出每四项的正弦值为0这个规律． ２7、已知tanθ=3，则（π﹣θ）=． 考点:运用诱导公式化简求值。 专题:计算题。 分析:由tanθ=3,知或,故由 （π﹣θ）=ｓin2θ﹣2siｎθcosθ+3coｓ２θ，能求出其结果．解答:解：∵tａnθ=３,∴或, ∴(π﹣θ） =sｉn2θ﹣2siｎθcosθ+3cos2θ ==． 故答案为：． 点评：本题考查三角函数的诱导公式和化简求值,解题时要注意三角函数的符号和等价转化. 2８、ｓin（π+）sin(2π+）siｎ(3π＋）…sｉn（2010π+)的值等于﹣． 考点:运用诱导公式化简求值。 专题：计算题。 分析:利用三角函数的诱导公式ｓｉn（2kπ+α）=ｓｉｎα；ｓin（2kπ+π＋α)=﹣sｉｎα化简三角函数式，求出值. 解答:解:原式=（﹣)(﹣)…＝﹣. 故答案为﹣ 点评：本题考查三角函数的诱导公式：ｓin（2kπ+α)=ｓinα;sin(2kπ+π＋α）=﹣siｎα并利用诱导公式化简求值. 29、ｆ（ｘ)=，则f（1°）+f（2°）+…+f(５8°）+f(59°)=． 考点:运用诱导公式化简求值。 分析:利用ｆ(x)＝,可得,从而首尾配对，可得结论. 解答：解:∵f（x）=, ∴ ∴首尾配对，得原式=. 故答案为 点评：本题以函数为载体，考查函数的性质，考查三角恒等变换,属于中档题. ３0、若,且，则coｓ（2π﹣α)的值是． 考点：运用诱导公式化简求值。 专题:计算题。 分析:把已知条件的右边利用诱导公式化简,左边利用换底公式化简,即可得到ｓinα的值，然后根据α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，利用诱导公式把所求的式子化简后得到其等于ｃosα，即可得到所求式子的值. 解答：解：ｓｉn（π﹣α)=ｓiｎα==﹣，而α∈（﹣，0）, 则cｏs(２π﹣α）=ｃoｓα==． 故答案为： 点评:此题考查学生灵活运用诱导公式、同角三角函数间的基本关系及对数函数的换底公式化简求值，是一道中档题．学生做题时应注意角度的范围． 三角函数有关诱导公式一览表 公式 ) ( tan ) 2 tan( cos ) 2 cos( sin ) 2 sin( .1Z k k k k ∈ ? ? ? ? ? = + = + = + α α π α α π α α π ? ? ? ? ? = + - = + - = + α α π α α π α α π tan ) tan( cos ) cos( sin ) sin( .2 ? ? ? ? ? - = - = - - = - α α α α α α tan ) tan( cos ) cos( sin ) sin( .3 ? ? ? ? ? - = - - = - = - α α π α α π α α π tan ) tan( cos ) cos( sin ) sin( .4 ? ? ? ? ? = - = - α α π α α π sin ) 2 cos( cos ) 2 ( sin .5 ? ? ? ? ? - = + = + α α π α α π sin ) 2 cos( cos ) 2 ( sin .6 ? ? ? ? ? - = - - = - α α π α α π sin ) 2 3 cos( cos ) 2 3 ( sin .7 口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看先象限 图形 简记结合图形，7组公式可用口诀概括为：“奇变偶不变，符号看象限” 说明①公式的推导思路：前面4组通过找角的终边位置关系—坐标关系—三角函数关系而得出（后面3组通过角的变换，进而借助前面的有关公式转化得到）②各组诱导公式都可用含角度的形式 ③在应用诱导公式解题时，基本思路是：“负化正，大化小，化成锐角再求值”。 一定要记清特殊角的三角函数值，根据问题做到准确应用，正确求解。 三角函数诱导公式： 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n?(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。 符号判断口诀： “一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。 “ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。 三角函数诱导公式- 其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 商的关系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系 sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ?tanβ) tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ?tanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα 训练专题化设计 能力系统化培养 必修4三角函数的诱导公式专项练习题 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1. 已知sin(π+α)=4 5 ，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是 【 】 (A)－ 5 3 (B) 53 (C)±5 3 (D) 5 4 2. 若cos100°= k ，则tan ( -80°)的值为 【 】 (A) (D) 3. 在△ABC ，则△ABC 必是 【 】 (A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形 4. 已知角α终边上有一点P (3a ，4a )（a ≠0），则sin(450°-α)的值是 【 】 (A)－45 (B)－35 (C)±3 5 (D)±4 5 5. 设A ，B ，C 是三角形的三个内角，下列关系恒等成立的是 【 】 (A)cos(A +B )=cos C (B)sin(A +B )=sin C (C)tan(A +B )=tan C (D)sin 2A B +=sin 2 C 二、填空题 6. 若1cos()2A π+=-，则sin()2 A π +的值是 . 7. 若cos() (||1)6m m πα-=≤，则2 sin()3 πα-是 . 8. 计算： tan(150)cos(570)cos(1140) tan(210)sin(690) -??-??-?-??-?= . 9. 化简：sin 2( 3π－x )+sin 2(6 π +x )= . 10. = . 三、解答题 11. 化简23 tan()sin ()cos(2) 2cos ()tan(2) π πααπααπαπ-?+?---?-. 12. 设f (θ)=322 2cos sin (2)cos()322cos ()cos(2)θπθθπθπθ+-+--+++-，求f (3π )的值. 三角函数公式大全三角函数定义 函数关系 倒数关系： 商数关系： 平方关系： ． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数 名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的范围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终 边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数 值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得 到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终 边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负 值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角 的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项 数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。 三角函数诱导公式专项练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（） A． B． C． D． 2．的值为（） A． B． C． D． 3．已知，则cos（60°–α）的值为 A． B． C． D．– 4．已知，且，则（）A． B． C． D． 5．已知sin(π－α)＝－，且α∈(－，0)，则tan(2π－α)的值为( ) A． B．－ C．± D． 6．已知，则=( ) A． B． C． D． 7．已知，，则（） A． B． C． D． 8．已知，则（） A． B． - C． D． - 9．如果，那么 A． - B． C． 1 D． -1 10．已知，则（） A． B． C． D． 11．化简的值是（） A． B． C． D． 12．的值是（） A． B． C． D． 13．已知角的终边经过点，则的值等于 A． B． C． D． 14．已知，则（） A． B． C． D． 15．已知的值为（）A． B． C． D． 16．已知则（） A． B． C． D． 17．已知，且是第四象限角，则的值是( ) A． B． C． D． 18．已知sin＝，则cos＝( ) A． B． C．－ D．－ 19．已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝( ) A．－ B． C．± D．－k 20．＝( ) A． sin 2－cos 2 B． sin 2＋cos 2 C．±(sin 2－cos 2) D． cos 2－sin 2 21．的值为 A． B． C． D． 22．（） A． B． C． D． 三角函数计算公式大全-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 三角函数公式 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 定义式 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直角三角形 任意角三角函数 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan或t g） 余切（cot或ct g） 正割（sec） 余割（csc） 表格参考资料来源：现代汉语词典[1]． 函数关系 倒数关系：①；②；③ 商数关系：①；②． 平方关系：①；②；③． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限[2]．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 三角函數誘導公式大全 三角函数诱导公式 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于k2π/2±α(k∈Z)的个三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即 sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 （符号看象限） 例如： sin(2π－α)＝sin(42π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。 当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。 所以sin(2π－α)＝－sinα 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时，角k2360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”． 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”； 第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”； 第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”； 第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”． 上述记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦 三角函数诱导公式与同角的三角函数 【知识点1】诱导公式及其应用 公式一： sin()-sin αα-=； cos()cos αα-= ； tan()tan αα-=- 公式二： ααπ-sin sin(=+）； ααπ-cos cos(=+）； ααπtan tan(=+）． 公式三： ααπsin sin(=-）； ααπ-cos cos(=-）； ααπtan tan(-=-） 公式四： sin(2sin παα-=-）； cos(2cos παα-=）； tan(2tan παα-=-） 公式五： sin( 2π-α) = cos α； cos(2π -α) = sin α． 公式六： sin(2π+α) = cos α； cos(2π +α) =- sin α． 公式七： sin(32π-α)=- cos α； cos(32π -α) = -sin α． 公式八： sin(32π+α) = -cos α； cos(32 π +α) = sin α． 公式九：απαsin )2sin(=+k ； απαcos )2cos(=+k ； απαtan )2tan(=+k ．（其中Z ∈k ）． 方法点拨： 把α看作锐角 一、前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限 公式（五）到公式（八）总结为一句话：函数名改变，符号看象限（原函数所在象限） 二、奇变偶不变，符号看象限 将三角函数的角度全部化成απ +?2 k 或是απ-? 2 k ，符号名该不该变就看k 是奇数还是偶数，是奇数就改变函 数名，偶数就不变 例1、求值（1）29cos( )6π= __________． （2）0tan(855)-= _______ ___． （3）16 sin()3 π-= __________． 的值。 求：已知、例)sin(2)4cos() 3sin()2cos( , 3)tan( 2απααπαπαπ-+-+--=+ 例3、 )2cos()2sin(21++-ππ【 】 A ．sin2－cos2 B ．cos2－sin2 C ．±（sin2－cos2） D ．sin2+cos2 例4、下列各式不正确的是【 】 A ． sin （α＋180°）=－sin α B ．cos （－α＋β）=－cos （α－β） C ． sin （－α－360°）=－sin α D ．cos （－α－β）=cos （α＋β） 例5、若sin （π＋α）＋sin （－α）=－m ,则sin （3π＋α）＋2sin （2π－α）等于【 】 A ．－23 m B ．－32 m C ．23 m D ．3 2 m 例6、已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为【 】 A ．5 B ．－5 C ．6 D ．－6 例7、试判断 sin(2)cos() (9tan (5) 2αππαα παπα-+??+- ??? ··cos 为第三象限角）符号 例8、化简3 sin(3)cos()cos(4) 25 tan(3)cos()sin() 22 πααππαπαπααπ-?-?+-?+?- 例9、已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求 ) sin()2 3sin(2) 2cos(5)sin(α--α-π α-π+α-π 例10、若1sin()3 πθ-= ,求 []cos() cos(2) 3 3 cos()1cos sin()cos()sin() 22 πθθππθθ θπθπθπ+-+ --?-?--+的值． 提示：先化简，再将1sin 3 θ=代入化简式即可． 【立方计算公式，不是体积计算公式】 完全立方和公式 (a+b)^3 =(a+b)(a+b)(a+b) = (a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3 + 3(a^2)b + 3a(b^2)+ b^3 完全立方差公式 (a-b)^3 = (a-b)(a-b)(a-b)= (a^2-2ab+b^2)(a-b) = a^3 - 3(a^2)b + 3a(b^2)-b^3 立方和公式： a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2） 立方差公式： a^3-b^3=(a-b) (a^2+ab+b^2) 3项立方和公式： a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 第7讲 三角函数概念及诱导公式 【知识梳理】 1.任意角：按逆时针旋转所成的角为正角，按顺时针旋转所成的角为负角. 2．象限角:角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 9．三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 10.三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 三角函数计算练习 1.已知x €( A r 24 冗 :, 0), B . cosx=-贝U tan2x=() 5 D. _ 24 7 _ 7 24 C . ■ 7 2.COS240 ° = =() A B . _ 1 C.— D. 2 ~2 2 2 3.已知COS a =k , k € R, a €( TT 2， n ),贝9 sin ( n + a ) =( ) A -_ 7" B . Vi - C ?士钟.k D. -k 4. 已知角a 的终边经过点（-4, 3），贝U COS a = 5. COS480 °的值为 6. 已知.* ■ ，那么COS a = ￡ o 7. 已知 sin ( + a )=，贝V cos2 a 等于( 2 3 9. 已知 sin a =贝U COS2 a = 3 10. 若 COS ( a + )=—，贝V COS (2 a + )= 6 5 3 11. 已知 0 €( 0, n ),且 Sin ( 0 8.已知a 是第二象限角，P （X , F 为其终边上一点，且 V2 COS a = X , 4 则x= ：)=|「则 tan2 试卷答案 1. D 考点：二倍角的正切. 专题：计算题. 分析：由cosx的值及x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinx的值，进而求 出tanx的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tanx的值代入即 可求出值. 解答：解：由cosx= = , x€ (—一, 0), 5 2 得至U sinx=—'，所以tanx=—丄 5 4 2X 则tan2x= 八亠二= 1 - tan X 1一 故选D 点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式?学生求sinx 和tanx时注意利用x的范围判定其符合. 2. B 考点：运用诱导公式化简求值. 专题：计算题；三角函数的求值. 分析：运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值. 解答: 解：cos240° =cos (180° +60°) = —cos60° =—, 2 故选: B. 点评：本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在化简求值中的应用，属于基本知 识的考查. 3. A 考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值. 专题：三角函数的求值. 分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sin a，从而由诱导公式即可得解. K 解答：解：T cos a =k, k€ R, a €(—, n ), 训练专题化设计能力系统化培养 必修4三角函数的诱导公式专项练习题 班级：姓名：座号：一、选择题 1. 已知sin(π+α)= 4 5 ，且α是第四象限角，则c os(α－2π)的值是【】 (A) －3 5 (B) 3 5 3 (C) ± 5 (D) 4 5 2. 若cos100 °= k，则t an ( - 80°)的值为【】 (A) －1 k k 2 (B) 1 k k 2 (C) 1 k k 2 (D) － 1 k k 2 3. 在△ABC 中，若最大角的正弦值是2 2 ，则△ABC 必是 【】 (A) 等边三角形(B) 直角三角形(C)钝角三角形(D)锐角三角形 4. 已知角α终边上有一点P(3a，4a)（a≠0），则s in(450 -°α)的值是【】 (A) －4 5 (B) － 3 5 3 (C) ± 5 4 (D) ± 5 5.设A，B，C 是三角形的三个内角，下列关系恒等成立的是【】 (A)cos( A +B)=cosC (B)sin( A+ B)=sin C(C)tan( A+B )=tanC (D)sin A B 2 =sin C 2 二、填空题 6. 若 1 cos( A) ，则s in( A) 的值是. 2 2 2 7. 若cos( ) m (| m |≤1) ，则s in( ) 6 3 是. 8. 计算：t an( 150 ) cos( 570 ) cos( 1140 ) tan( 210 ) sin( 690 ) = . 9. 化简：sin 2( 2( 2( －x)+sin 3 6 +x)= . 10. 化简： 1 2sin10 cos10 2 cos10 1 cos 170 = . 三、解答题 11. 化简 2 tan( ) sin ( ) cos(2 ) 2 3 cos ( ) tan( 2 ) . 12.设f(θ)= 3 2 2cos sin (2 ) cos( ) 3 2 2 2cos ( ) cos(2 ) ，求f( 3 )的值. 三角函数公式大全 三角函数定义 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直 任 角三角形 意角三角函数 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan 或tg） 余切（cot 或ctg） 正割（sec） 余割（csc） 函数关系 倒数关系： 商数关系： 平方关系： ． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终 边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数 值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得 到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终 边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负 值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角 的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要项数要 最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。 三角函数公式 1． 同角三角函数基本关系式 sin 2 α＋cos 2 α=1 sin α cos α =tan α tan αcot α=1 2． 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限) （一） sin(π－α)＝sin α sin(π+α)＝-sin α cos(π－α)＝-cos α cos(π+α)＝-cos α tan(π－α)＝-tan α tan(π+α)＝tan α sin(2π－α)＝-sin α sin(2π+α)＝sin α cos(2π－α)＝cos α cos(2π+α)＝cos α tan(2π－α)＝-tan α tan(2π+α)＝tan α （二） sin(π2 －α)＝cos α sin(π2 +α)＝cos α cos(π2 －α)＝sin α cos(π 2 +α)＝- sin α tan(π2 －α)＝cot α tan(π 2 +α)＝-cot α sin(3π2 －α)＝-cos α sin(3π 2 +α)＝-cos α cos(3π2 －α)＝-sin α cos(3π 2 +α)＝sin α tan(3π2 －α)＝cot α tan(3π 2 +α)＝-cot α sin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α 3． 两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin β sin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin β sin (α－β)=sin αcos β－cos αsin β tan(α+β)= tan α+tan β 1－tan αtan β tan(α－β)= tan α－tan β 1＋tan αtan β 4． 二倍角公式 sin2α=2sin αcos α cos2α=cos 2α－sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2α tan2α=2tan α 1－tan 2α 三角函数常用公式：（^表示乘方，例如^2表示平方）正弦函数sinθ=y/r 余弦函数cosθ=x/r 正切函数tanθ=y/x 余切函数cotθ=x/y 正割函数secθ=r/x 余割函数cscθ=r/y 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数： 正矢函数versinθ =1-cosθ 余矢函数vercosθ =1-sinθ 同角三角函数间的基本关系式：· 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) · 积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 三角函数恒等变形公式· 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) · 辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) ·倍角公式：si n(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] · 三角函数诱导公式大全 三角函数诱导公式 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 （符号看象限） 例如： sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 规律总结 上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变; ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot，cot→tan. (奇变偶不变) 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。(符号看象限) 例如： sin(2π-α)=sin(4·π/2-α)，k=4为偶数，所以取sinα。 当α是锐角时，2π-α∈(270°，360°)，sin(2π-α)<0，符号为“-”。 所以sin(2π-α)=-sinα 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α(k∈Z)，-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变;符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正;二正弦(余割);三两切;四余弦(正割)”. 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”; 第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“-”; 第三象限内切函数是“+”，弦函数是“-”; 第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“-”. 余割函数esc =r/y 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数: 正矢函数versin 0 =1cos 0 余矢函数vercos 0 =1-sin 0 同角三角函数间的基本关系式: 平方关系：sin A2( a )+cos A2( a )=1 tanA2( a )+仁secA2( a) COtA2( a )+1= cscA2( a ) ? 积的关系： sin a =tan a *cos a cos a =cot a *Sin a tan a =sin a *sec a cot a =cos a *CSC a sec a =tan a *csc a csc a =sec a *COt a 倒数关系： tan a?cot a =1 sin a?csc a =1 cos a?sec a =1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边， 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边， 三角函数恒等变形公式 两角和与差的三角函数： cos( a + 3 )=cos a?cssi^a，sin 3 cos( a 3 )=cos a?cos 3 +sin a?sin 3 sin( a±3 )=sin a?cos 3 土cos a?sin 3 tan( a + 3 )=(tan a +tan 3執仏?tan 3 ) tan( a 3 )=(tan -tan 3 )/(1+tan a?tan 3 ) ? 辅助角公式： As in a +Bcos a =(AA2+BA2)A(1/2)s in( a +其中 si nt=B/(AA2+BA2)A(1/2) cost=A/(AA2+BA2)A(1/2) 倍角公式：si n(2 a )=2sin a?cos a =2/(tan a +cot a ) cos(2 a )=cosA2( -s)n人2( a )=2cosA2( -a=1- 2si门人2( a ) tan(2 a )=2tan a ■/[an人2( a )] ? 三倍角公式： sin(3 a )=3sin-4sin A3( a ) 三角函数诱导公式练习题 一、选择题(共21小题) 1、已知函数f(x)=sin,g(x)=tan(π﹣x),则( ) A、f(x)与g(x)都就是奇函数 B、f(x)与g(x)都就是偶函数 C、f(x)就是奇函数,g(x)就是偶函数 D、f(x)就是偶函数,g(x)就是奇函数 2、点P(cos2009°,sin2009°)落在( ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 3、已知,则=( ) A、B、C、D、 4、若tan160°=a,则sin2000°等于( ) A、B、C、D、﹣ 5、已知cos(+α)=﹣,则sin(﹣α)=( ) A、﹣ B、 C、﹣ D、 6、函数得最小值等于( ) A、﹣3 B、﹣2 C、 D、﹣1 7、本式得值就是( ) A、1 B、﹣1 C、 D、 8、已知且α就是第三象限得角,则cos(2π﹣α)得值就是( ) A、B、C、D、 9、已知f(cosx)=cos2x,则f(sin30°)得值等于( ) A、B、﹣C、0 D、1 10、已知sin(a+)=,则cos(2a﹣)得值就是( ) A、B、C、﹣D、﹣ 11、若,,则得值为( ) A、B、C、D、 12、已知,则得值就是( ) A、B、C、D、 13、已知cos(x﹣)=m,则cosx+cos(x﹣)=( ) A、2m B、±2m C、 D、 14、设a=sin(sin20080),b=sin(cos20080),c=cos(sin20080),d=cos(cos20080),则a,b,c,d 得大小关系就是( ) A、a＜b＜c＜d B、b＜a＜d＜c C、c＜d＜b＜a D、d＜c＜a＜b 15、在△ABC中,①sin(A+B)+sinC;②cos(B+C)+cosA;③tantan;④,其中恒为定值得就是( ) A、②③ B、①② C、②④ D、③④ 16、已知tan28°=a,则sin2008°=( ) A、B、C、D、 17、设,则值就是( ) A、﹣1 B、1 C、 D、 18、已知f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4(a,b,α,β为非零实数),f(2007)=5,则f(2008)=( ) A、3 B、5 C、1 D、不能确定 19、给定函数①y=xcos(+x),②y=1+sin2(π+x),③y=cos(cos(+x))中,偶函数得个数就是( ) A、3 B、2 C、1 D、0 20、设角得值等于( ) A、B、﹣C、D、﹣ 21、在程序框图中,输入f0(x)=cosx,则输出得就是f4(x)=﹣csx( )(完整版)三角函数诱导公式一览表(打印)
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