人教版高二第二学期理科数学期中考试试卷

人教版高二第二学期理科数学期中考试试卷

（试卷共150分，时间120分钟）

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)。

1．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝（ ）。 A ．{0} B ．{0，1} C ．{0，2} D ．{0，1，2} 2．复平面内表示复数i(1－2i)的点位于（ ）。

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 3．命题“?x?R ，1

x

A ．?x ?R ，1x

B ．?x ?R ，1

x ≥x

C ．?x 0?R ，1x 0

D ．?x 0?R ，1

x 0

≥x 0

4．若向量a ＝(1，1)，b ＝(2，5)，c ＝(3，x )满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝（ ）。

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

5．(x －y )n 的二项展开式中，第r 项的系数是( )

A ．C r n

B ．

C r ＋1n C ．C r －1n

D ．(－1) r －1C r －1

n 6. 在等差数列{a n }中，已知4826a a +=，则该数列前11项和S 11＝（ ）。 A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 7.一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的体积为（ ）。 A ．2π＋4 B ．2π＋8 C ．4π＋4 D ．4π＋8

8．阅读如图的程序框图，若输入x ＝2，则输出的y 值为（ ）。

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

9．函数f(x)＝(x －3)e x 的单调递增区间是（ ）。 A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)

D ．(2，＋∞)

10．已知二次函数y ＝ f(x)的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）。

A.2π5

B.43

C.3

2 D.π2

11．椭圆

22

1167

x y +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的第7

第8题

面积为（ ）。 A ．212

B ．214

C ．21

8

D ．21

12．若函数()3212

33

f x x x =+-在区间(),5a a +上存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ）

。 A ．[－3,0) B ．(－3,0) C ．[－5,0) D ．(－5,0)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)。

13．22

2sin 1

12cos αα

-=- 。 14．已知x ，y 满足241y x x y x ≥??

+≤??≥?

，则z ＝2x ＋y 的最大值是 。

15．二维空间中圆的一维测度(周长)2C r π=，二维测度(面积)2

S r π=；观察发现S C '=；三维空间中球的二维测度(表面积)2

4S r π=，三维测度(体积)3

43

V r π=

，观察发现V S '=，则四维空间中“超球”的三维测度3

8V r π=，猜想其四维测度W ＝ 。

16．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个。

三、解答题(本大题共6个小题，第17题为10分；第28题~22题每题为12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)。

17．（共10分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a ·sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C.

求角A 的大小。

18．（共12分）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，且112a b ==，

4427a b +=，4410S b -= 。

(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； (2)记n n n c a b =，求数列{}n c 前n 项和n T 。

19．（共12分）在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取3个数． (1)求这3个数中恰有1个是奇数的概率；

(2)设X 为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时X 的值是2)．求随机变量X 的分布列及其数学期望E(X)．

20．（共12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P —ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE.

(1)证明：PB ⊥平面DEF.试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由．

(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为3

π，求DC

BC 的值。

21．（共12分）如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．

(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；

(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．

22．（共12分）已知函数f (x )＝a ln x (a ＞0)，e 为自然对数的底数．

(1)若过点A (2，f (2))的切线斜率为2，求实数a 的值； (2)当x ＞0时，求证：()11f x a x ?

?≥-

??

?

．

参考答案

（试卷共150分，时间120分钟）

一、选择题

CADCD CBBDB AA

1. 解析：选C ?A ＝{x |x 2－2x ＝0}＝{0，2}，B ＝{0，1，2}，?A ∩B ＝{0，2}，故选C.

2. 解析：选A 复数i(1－2i)＝2＋i 在复平面内对应的点的坐标是(2，1)，位于第一象限．

3. 解析：选D ?命题“?x ?R ，1x

x 0≥x 0”．

4. 解析：选C 8a －b ＝8(1，1)－(2，5)＝(6，3)，

所以(8a －b )·c ＝(6，3)·(3，x )＝30，即18＋3x ＝30，解得x ＝4.

5. 解析：选D 本题中由于y 的系数为－1，故其第r 项的系数为(－1)r －1C r －1n .

6. 解析：选C ?a 4＋a 8＝26，?a 6＝13，?S 11＝11a 6＝143.

7. 解析：选B 由三视图知该几何体的上面是一个半圆柱，下面是一个长方体，则由三视图的尺寸知该几何体的体积为V ＝1×2×4＋1

2×π×12×4＝8＋2π.

8. 解析：选B ∵2>0，∴y ＝2×2－3＝1.

9. 解析：选D 函数f(x)＝(x －3)e x 的导数为f ′(x)＝[(x －3)e x ]′＝e x ＋(x －3)e x ＝(x －2)e x .由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x)＞0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f ′(x)＝(x －2)e x ＞0，解得x ＞2. 10. 解析：选B 由图象可知f(x)＝－ x 2＋1，所以()1

2

311141133

S x dx x x -??=

-+=-+= ?-??? 11. 解析：选A 依题意得227

2

b AB a ==，|F 1F 2|＝216－7＝6， 因此△ABF 2的面积等于12|AB|×|F 1F 2|＝12×72×6＝21

2

.

12. 解析： 选A 由题意，()()2

22f x x x x x '=+=+，故f(x)在(－∞，

－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令

32122

333x x +-=-得，x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，3050

a a -≤?

解得[)3,0a ∈-，故选A.

二、填空题

13． 1 解析：22

2sin 1cos 112cos cos αα

αα

--==-- 14． 3

15． 4

2r π 解析：∵(

)43

28r

r

ππ'=，∴4

2W r π=.

16． 12 解析：：当相同的数字不是1时，有1

3C 个；当相同的数字是1时，

共有1133C C 个，由分类加法计数原理知共有“好数”111

33312C C C +=个．

三、解答题

17．（共10分）解：(1)∵2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C ， ∴2a 2

＝(2b －c)b ＋(2c －b)c ，即bc ＝b 2

＋c 2

－a 2

， ∴cos A ＝12，

∴∠A ＝60°.

18．（共12分）解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .

由条件，得方程组?????2＋3d ＋2q 3＝27，8＋6d －2q 3

＝10，解得?????d ＝3，q ＝2.

所以a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ?N *.

(2)证明：由(1)，得

T n ＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n －1)×2n ，? 2T n ＝2×22＋5×23＋…＋(3n －4)×2n ＋(3n －1)×2n ＋1.? 由?－?，得

－T n ＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n

－(3n －1)×2

n ＋1

＝6×（1－2n ）

1－2

－(3n －1)×2n ＋1－2＝－(3n －4)×2n ＋1－8，

所以T n＝(3n－4)×2n＋1+8

19．（共12分）解：(1)记“这3个数恰有一个是奇数”为事件A，

则P(A)＝C15·C24

C39＝5 14.

(2)随机变量X的取值为0，1，2. X的分布列为

所以X的数学期望为

E(X)＝0×5

12

＋1×1

2

＋2×1

12

＝2

3.

20．（共12分）解：(1)法一：证明：因为PD⊥底面ABCD，

所以PD⊥BC.

由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，

而PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD.

而DE?平面PCD，所以BC⊥DE.

又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC.

而PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC.

而PB?平面PBC，所以PB⊥DE.

又PB⊥EF ，DE∩EF＝E，所以PB⊥平面DEF.

由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，

即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.

法二：证明：如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设

PD ＝DC ＝1，BC ＝λ(λ＞0)，则D(0，0，0)，P(0，0，1)，B(λ，1，0)，C(0，1，0)，＝(λ，1，－

1)，因为点E 是棱PC 的中点，

所以E ? ??

??0，12，12，＝? ??

??0，12，12， 于是

＝0，所以PB ⊥DE.

又已知EF ⊥PB ，而DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF. 因为

＝(0，1，－1)，所以

＝0，所以DE ⊥PC ，

而PB ∩PC ＝P ，所以DE ⊥平面PBC. 由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，

可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，

即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB. (2)由PD ⊥平面ABCD ， 所以

＝(0，0，1)是平面ABCD 的一个法向量．

由(1)知，PB ⊥平面DEF ， 所以

＝(－λ，－1，1)是平面DEF 的一个法向量．

若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π

3

，

结合λ＞0，解得λ＝2，所以

DC BC ＝1λ＝22

. 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC ＝2

2.

21．（共12分）解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ，代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0， 则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .

(2)证明：设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2. 又直线AB 的斜率k AB ＝

y 3－y 1x 3－x 1＝2p

y 1＋y 3

， 直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2p

y 2＋y 4

，

∴k AB k MN ＝y 2＋y 4

y 1＋y 3＝－2p 2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p 2

y 1y 3(y 1＋y 3)y 1＋y 3＝2. 故直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．

22．（共12分） 解：(1)∵f ′(x )＝a x ，f ′(2)＝a 2

＝2，∴a ＝4.

(2)证明：令g (x )＝a ????ln x －1＋1

x ， 则g ′(x )＝a ????

1x －1x 2.

令g ′(x )＞0，得x ＞1，g ′(x )<0，得0

x .