第一节 随机抽样
第一节 随机抽样
高考概览：1.理解随机抽样的必要性和重要性；2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；3.了解分层抽样和系统抽样方法．
[知识梳理]
1．简单随机抽样
(1)抽取方式：逐个不放回地抽取．
(2)特点：每个个体被抽到的概率相等．
(3)常用方法：抽签法和随机数表法．
2．分层抽样
(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
3．系统抽样的步骤
假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，
(1)编号码：先将总体的N 个个体编号．
(2)确定分段间隔k ：对编号进行分段，当N n (n 是样本容量)是整数
时，取k ＝N n .
(3)定规则：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )；按照一定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2
个个体编号l＋k，再加k得到第3个个体编号l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．
[辨识巧记]
1．一条规律
三种抽样方法的共同点都是等概率不放回抽样．若样本容量为n，总体的个体数为N，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率
都是n
N.
2．三种抽样方法的差异
(1)简单随机抽样：总体容量较少，尤其是样本容量较少．
(2)系统抽样：适用于元素个数很多且均衡的总体．
(3)分层抽样：适用于总体由差异明显的几部分组成的情形．
[双基自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．()
(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．()
(3)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．()
(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．() [答案](1)×(2)√(3)×(4)×
2．(必修3P64A组T6改编)在一次游戏中，获奖者可以得到5件不同的奖品，这些奖品要从由1～50编号的50种不同奖品中随机抽取确定，用系统抽样的方法为某位获奖者确定5件奖品的编号可以为()
A．5,15,25,35,45 B．1,3,5,7,9
C．11,22,33,44,50 D．12,15,19,23,28
[解析]1～50编号依次分成5组，在第一组随机抽取一个号码，其他组依次加10即可，选项A符合要求．故选A．
[答案] A
3．(必修3P100A组T2(2)改编)一段高速公路有300个太阳能标志灯，其中进口的有30个，联合研制的有75个，国产的有195个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的进口的标志灯的数量为() A．2 B．3
C．5 D．13
[解析]20×30
300＝2.故选A．
[答案] A
4．(必修3P64A组T5改编)一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。已知B层中每个个体被抽
到的概率都为1
12，则总体中的个体数为()
A．40 B．60
C．80 D．120
[解析]因为在随机抽样中每个个体被抽到的概率相等，所以总
体中的个体数N满足N×1
12＝10，得N＝120.故选D．
[答案] D
5．(2018·全国卷Ⅲ)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．
[解析]因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样，才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价．
[答案]分层抽样
考点一简单随机抽样
【例1】(1)关于简单随机抽样的特点，有以下几种说法，其中不正确的是()
A．要求总体的个数有限
B．从总体中逐个抽取
C．它是一种不放回抽样
D．每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关
(2)(2019·辽宁葫芦岛模拟)福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03，…，32,33这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球号码为()
81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33
75 85 61 39 85
06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46
88 15 19 20 49
C．06 D．16
[解析](1)简单随机抽样除具有A、B、C的三个特点外，还是等可能抽样，即各个个体被抽到的机会相等，与先后顺序无关．
(2)被选中的红色球号码依次为17,12,33,06,32,22.
所以第四个被选中的红色球号码为06，故选C．
[答案](1)D(2)C
应用简单随机抽样应注意以下两点
(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
(2)应用随机数表法的两个关键点：一是确定以表中的哪个数(哪行哪列)为起点，以哪个方向为读数的方向；二是读数时注意结合编号特点进行读取，若编号为两位数字，则两位两位地读取，若编号为三位数字，则三位三位地读取．
[对点训练]
1．下列抽样试验中，适合用抽签法的有()
A．从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验
[解析]A，D中的总体中个体数较多，不适宜抽签法，C中甲、乙两厂的产品质量有区别，也不适宜抽签法，故选B．
[答案] B
2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()
C．02 D．01
[解析]由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.
[答案] D
考点二 系统抽样
【例2】 (1)为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )
A ．50
B ．40
C ．25
D ．20
(2)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
[解析] (1)由100040＝25，可得分段的间隔为25.故选C ．
(2)由系统抽样定义可知，所分组距为84042＝20，每组抽取一个，
因为包含整数个组，所以抽取个体在区间[481,720]的数目为(720－480)÷20＝12.故选B ．
[答案] (1)C (2)B
[拓展探究] (1)本例(2)中条件不变，若第三组抽得的号码为44，则在第八组中抽得的号码是__________．
(2)本例(2)中条件不变，若在编号为[481,720]中抽取8人，则样本容量为__________．
[解析] (1)在第八组中抽得的号码为(8－3)×20＋44＝144.
(2)因为在编号[481,720]中共有720－480＝240人，又在[481,720]中抽取8人，所以抽样比应为240∶8＝30∶1，又因为单位职工共有
840人，所以应抽取的样本容量为84030＝28.
[答案] (1)144 (2)28
系统抽样的解题技巧
(1)系统抽样又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．
(2)系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．
[对点训练]
1．(2019·贵州凯里一中期末)利用系统抽样法从编号分别为1,2,3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽的产品的最大编号为
( )
A ．73
B ．78
C ．77
D ．76
[解析] 样本的分段间隔为8016＝5，所以13号在第三组，则最大
的编号为13＋(16－3)×5＝78.故选B ．
[答案] B
2．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1～1000，适当分组后在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.抽到的50人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷A ，编号落入区间[401,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中做问卷C 的人数为( )
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
[解析] 若采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调
查，则需要将这1000人分为50组，每组20人．若第一组中抽到的号码为8，则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108，…，所以编号落入区间[1,400]的有20人，编号落入区间[401,750]的有18人，所以做问卷C的有12人．故选A．
[答案] A
考点三分层抽样
【例3】(1)(2019·福建德华一中期末)某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：
100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为()
A．25,25,25,25 B．48,72,64,16
C．20,40,30,10 D．24,36,32,8
(2)(2017·江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取__________件．
[解析](1)解法一：因为抽样比为100
20000＝1
200，所以每类人中应抽选出的人数分别为
4800×1
200＝24,7200×
1
200＝36,6400×
1
200＝32,1600×
1
200＝8.故
选D．
解法二：最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4800∶7200∶6400∶1600＝6∶9∶8∶2，所以每类人中应抽选出的人数分别为
6
6＋9＋8＋2×100＝24，
9
6＋9＋8＋2
×100＝36，
8
6＋9＋8＋2
×100＝
32，2
6＋9＋8＋2
×100＝8，故选D．
(2)应从丙种型号的产品中抽取60×
300
200＋400＋300＋100
＝
18(件)．
[答案](1)D(2)18
分层抽样问题的解题策略
(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．
(2)已知某层个体数量，求总体容量：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．
(3)确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况．
[对点训练]
1．(2019·东北三校联考)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝()
A．54 B．90
C．45 D．126
[解析]依题意得3
3＋5＋7
×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.故选B．
[答案] B
2．某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样
本．已知高一有760名学生，高二有840名学生，则在该学校的高三应抽取________名学生．
[解析]由分层抽样的定义可知，高一抽取760×120
2400＝38人，
高二抽取840×120
2400＝42人，故高三应抽取120－(38＋42)＝40人．[答案]40
课后跟踪训练(六十六)
基础巩固练
一、选择题
1．某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级1000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下面说法正确的是()
A．1000名学生是总体
B．每个学生是个体
C．1000名学生的成绩是一个个体
D．样本的容量是100
[解析]1000名学生的成绩是总体，其容量是1000,100名学生的成绩组成样本，其容量是100.故选D．
[答案] D
2．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是()
A．抽签法B．系统抽样法
C．分层抽样法D．随机数法
[解析]因为要了解三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，所以采用分层抽样的方法最合理．故选C．
[答案] C
3．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生
中抽取50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是( )
A ．5
B ．7
C ．11
D ．13
[解析] 间隔数k ＝80050＝16，即每16人抽取一个人．由于39＝
2×16＋7，所以第1小组中抽取的数为7.故选B ．
[答案] B
4．FRM(Financial Risk Manager)——金融风险管理师，是全球金融风险管理领域的一种资格认证．某研究机构用随机数表法抽取了2017年参加FRM 考试的某市50名考生的成绩进行分析，先将50名考生按01,02,03，…，50进行编号，然后从随机数表第8行第11列的数开始向右读，则选出的第12个个体是(注：下面为随机数表的第8行和第9行)
第8行：63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
第9行：33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54( )
A ．12
B ．21
C ．29
D ．34
[解析] 由随机数表的读法可得，所读的读数依次为16,19,10,50,12,07,44,39,38,33,21,34,29，…，即选出的第12个个体是
34.故选D ．
[答案] D
5．某工厂在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )
A ．800
B ．1000
C．1200 D．1500
[解析]因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即为1200双皮靴．故选C．
[答案] C
二、填空题
6．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一m人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13，则m＋n＝________.
[解析]由题知，
35
m＋780＋n
×780＝13，解得m＋n＝1320.
[答案]1320
7．大、中、小三个盒子中分别装有同一种产品120个、60个、20个，现在需从这三个盒子中抽取一个样本容量为25的样本，较为恰当的抽样方法为________．
[解析]因为三个盒子中装的是同一种产品，且按比例抽取每盒中抽取的不是整数，所以将三盒中产品放在一起搅匀按简单随机抽样法(抽签法)较为恰当．
[答案]简单随机抽样
8．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为__________的学生．
[解析]因为12＝5×2＋2，即第三组抽出的是第二个同学，所以每一组都相应抽出第二个同学，所以第8组中抽出的号码为5×7＋2＝37号．
[答案]37
三、解答题
9．为了考察某校的教学水平，将抽查这个学校高三年级的部分学生本年度的考试成绩．为了全面反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查(已知该校高三年级共有20个班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生的人数相同)：①从高三年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20名学生，考察他们的学习成绩；②每个班抽取1人，共计20人，考察这20名学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察(已知该校高三学生共1000人，若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人)．
根据上面的叙述，试回答下列问题：
(1)上面三种抽取方式的总体、个体、样本分别是什么？每一种抽取方式抽取的样本中，样本容量分别是多少？
(2)上面三种抽取方式各自采用的是何种抽取样本的方法？
[解] (1)这三种抽取方式的总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩．其中第一种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式的样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.
(2)三种抽取方式中，第一种采用的是简单随机抽样法；
第二种采用的是系统抽样法和简单随机抽样法；
第三种采用的是分层抽样法和简单随机抽样法．
10．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n .
[解] 总体容量为6＋12＋18＝36.
当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样
的比例是n 36，抽取的工程师人数为n 36×6＝n 6，技术员人数为n 36×12
＝n 3，技工人数为n 36×18＝n 2，所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.
当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1
必须是整数，所以n 只能取6.即样本容量n ＝6. 能力提升练
11．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样，同时将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.
关于上述样本的下列结论中，正确的是( )
A ．②、③都不能为系统抽样
B ．②、④都不能为分层抽样
C ．①、④都可能为系统抽样
D ．①、③都可能为分层抽样
[解析] ①在1～108之间有4个，109～189之间有3个，190～270之间有3个，符合分层抽样的规律，可能是分层抽样．同时，从第二个数据起每个数据与其前一个的差都为27，符合系统抽样的规律，则可能是系统抽样得到的；同理③符合分层抽样的规律，可能是分层抽样，同时从第二个数据起每个数据与其前一个的差都为27，符合系统抽样的规律，则可能是系统抽样得到的，故选D ．
[答案] D
12．从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为()
A．480 B．481
C．482 D．483
[解析]根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a1＝7，a2＝32，d＝25，所以7＋25(n－1)≤500，所以n≤20，最大编号为7＋25×19＝482，故选C．
[答案] C
13．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为________．
[解析]由系统抽样的特点，知抽取号码的间隔为960
32＝30，抽
取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋(n－1)×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人．[答案]10
14．某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：
(1)
(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，
则应怎样抽选出席人？
(3)若要抽20人调查对北京冬奥会举办情况的了解，则应怎样抽样？
[解](1)按老年、中年、青年分层用分层抽样法抽取，
抽取比例为
40
2000＝
1
50.
故老年人、中年人、青年人各抽取4人，12人，24人．(2)按管理、技术开发、营销、生产分层用分层抽样法抽取，
抽取比例为
25
2000＝
1
80，
故管理、技术开发、营销、生产各部门分别抽取2人，4人，6人，13人．
(3)用系统抽样，
对全部2000人随机编号，号码从0001～2000，每100号分为一组，从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，…，1900，共20人组成一个样本．
拓展延伸练
15．(2018·广西南宁摸底联考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()
A．100,20 B．200,20
C．200,10 D．100,10
[解析]由题图甲可知学生总人数是10000，样本容量为
10000×2%＝200，抽取的高中生人数是2000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以高中生的近视人数为40×50%＝20，故选B．
[答案] B
16．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定：如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是________．[解析]由题意知m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.
[答案]76
第二节用样本估计总体
高考概览：1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解他们各自的特点；2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释；4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想；5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．
[知识梳理]
1．频率分布直方图和茎叶图
(1)作频率分布直方图的步骤
①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．
②决定组距和组数．
③将数据分组．
④列频率分布表．
⑤画频率分布直方图．
(2)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
(3)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．
(4)茎叶图的画法步骤
第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；
第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列，写在分界线左(右)侧；有两组数据时，写在中间；
第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧．
2．样本的数字特征
(1)众数、中位数、平均数
(2)标准差、方差
①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，
s＝
1
n[(x1－x
－)2＋(x
2
－x－)2＋…＋(x n－x)2].
②方差：标准差的平方s2
s2＝
1
n[(x1－x)
2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]，
其中x i(i＝1,2,3，…，n)是样本数据，n是样本容量，x是样本平
均数．
[辨识巧记]
1．频率分布直方图中的三个结论
(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．
(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．
2．平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，x n的平均数为x－，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mx n＋a的平均数是m x－＋A．
(2)若数据x1，x2，…，x n的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b的方差为a2s2.
[双基自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．()
(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中．()
(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大．()
(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．()
[答案](1)√(2)×(3)√(4)×
2.在如图所示的茎叶图所示的数据中，众数和中位数分别是()
A．23,26
B．31,26
C．24,30