中考“网格”中的相似三角形问题

中考“网格”中的相似三角形问题

所谓网格中的形似三角形就是在正方形的网格中寻找三角形相似的问题.这类问题是近年来全国各地中考的一个热点和亮点，试题的特点主要是以用勾股定理等知识计算三角形的边长，再加上正方形的对角线形成的特殊角，要求能从正方形网格中挖掘出条件，灵活运用相似三角形的性质与判定解决问题.目的是要考查同学们的观察、猜想、探究问题的能力，为了帮助同学们掌握这一知识点，现以中考试题为例说明如下：

例1 如图1，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的为（ ）

分析 先利用勾股定理求出△ABC

2

，再分别求出选择支中三角形的三边的长，然后分别求出对应边长的比.

解 由于正方形边长均为1，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，AB ＝10；图A 中三角形三边长为1

22，而与△ABC

它们不相等；图B 中三角形三边长为1，2

ABC

＝2

，

2

2，故对应边的比相等；同样的道理可以得出在图C 和图D 中的两个三角形三边分别与△ABC 三边的比不相等.故选B .

例2 如图2，若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 都是5×7方格纸中的格点，为使△DME ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、O 四点中的（ ）

A.F

B.G

C.H

D.O

B A

图

2

C D

图1

分析 若△DME ∽△ABC ，△ABC 又是一个等腰直角三角形，故△DME 也应是等腰直角三角形，这样观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系即可求解.

解 因为△ABC 是一个等腰直角三角形，所以要使△DME ∽△ABC ，△DME 也必须是一个等腰直角三角形，

所以观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系只有点H 能与D 、E 两点构成等腰直角三角形.故应选C .

以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图3中5×5的方格中，作格点△ABC 和△OAB 相似(相似比不为1)，则点C 的坐标是_____.

分析 由于△OAB 是直角三角形，所以求得的格点△ABC 也一定是直角三角形，而在5×5的方格中以点O 为直角顶点的格点Rt △ABC 作不出来，只有分别以点A 或B 为直角的顶点可以作出Rt △ABC .

解 若以A 为直角的顶点，作格点Rt △ABC ，则点C 的坐标为(4，0)，若以B 为直角的顶点，作格点Rt △ABC ，则点C 的坐标为(3，2)，所以点C 的坐标是(4，0)或(3，2).

例4 如图4，在4×4的正方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.

（1）填空：∠ABC ＝_____，BC ＝_____；

（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.

分析 要解答第（1）小问，只要利用正方形的特性和勾股定理即可求解；而要判断△ABC 与△DEF 是否相似，可以利用“如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且这两条边的夹角也对应相等，那么这两个三角形相似”；或“如果一个

图4

图3

三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似”来验证.

解（1）利用正方形对角线平分一组对角的性质可得∠ABC ＝180°－45°＝135°，由勾

股定理得BC 22；

（2）△DEF 中，∠DEF ＝135°，分别计算△ABC 的边AB 、BC 和△DEF 的边DE 、EF ，AB ＝2，BC ＝22；EF ＝2，DE ＝2.

因为

AB

DE 2，BC EF ＝2＝2，

所以AB DE ＝BC

EF

，且∠ABC ＝∠DEF ＝135°，所以△ABC ∽△DEF .

透过网格去看相似

网格型试题具有新颖性、直观性、可操作性和综合性，不仅能考查图形的对称、勾股定理、面积公式等数学知识，体现了分类讨论、数形结合等重要数学思想，而且能通过学生的识图、思考、动手操作、自主探究等过程，能较好地把数学知识与多种能力有效地整合在一起，符合新课程标准的要求．

在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得；

（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．

利用这些特征就可以设计出很多有趣的、具有操作性的探究性的题目来，特别是在研

究相似问题时具有独到上午效果．

一、网格与相似三角形

例1．如图1，在正方形网格上，若使△ABC ∽△PBD ， 则点P 应在（ ）

A ．P 1处 ；

B ．P 2处；

C ．P 3处 ；

D ．P 4处

图1

分析：本题根据网格的特征结合三角形相似的判定条件即可解决问题 解：答案为C

例2．如图2，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ ABC 相似的是( )。

析解：透过网格我们可得一些特殊角如450，900，本题只要抓住∠CAB=

1350的特征，可选择答案C ，因为透过网格的直观性我们易知其他点都没有1350的角的特征，本题很好地考查了学生的观察能力和判断能力．

点评：以上两例就是在网格内来判定三角形相似的问题，这里只要注意利用网格的两个显著特征，就很容易找出三角形的对应边（角），从而解决问题

二、网格与位似图形

例3．如图3，图中的小方格都是边长为1的正方形， △ABC 与△A ′ B ′ C ′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点0；

(2)求出△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比；

(3)以点0为位似中心，再画一个△A 1B 1C 1，使它与△ABC 的位似比等于1.5．

析解：此题把网格与位似（特殊的相似）变换融合在一起，利用网格的特征，按照要求就很容易解决问题

（1）根据两个位似图形，对称点的连线必过位似中心的性质，只要分别连结AA /

、BB /

，它们的交点就是位似中心O(如图4)；

（2）根据位似比就是相似比，△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比等于AB 与A ′B ′的比，也等

于AB 与A ′B ′在水平线上的投影比，即6:32:1 ．

（3）本小题是网格操作画图问题，在位似中心O 固定后，只要按照题目要求画图即可．

要画△A 1B 1C 1，先确定点A 1的位置，因为△A 1B 1C 1与△ABC 的位似比等于1.5

，因此

图2

OA 1=1.5OA ，所以OA 1=9．再过点A 1画A 1B 1∥AB 交O B ′于B 1，过点A 1画A 1C 1∥AC 交O C ′于C 1．

例4、如图5，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的ABC △是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B 的坐标为(11)--，．

（1）把ABC △向左平移8格后得到111A B C △，画出111A B C △的图形并写出点1B 的坐标；

（2）把ABC △绕点C 按顺时针方向旋转90后得到22A B C △，画出22A B C △的图形并写出点2B 的坐标；

（3）把ABC △以点A 为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1:2，画出

33AB C △的图形．

图3

图4

x

图5

分析：本题第一问利用了平移变换，第二问利用了旋转变换，第三问利用了位似变换将一个图形放大为原来的2倍，以及在平面直角坐标系下位似变换图形的坐标特点。

解：（1）画出的111A B C △如图所示，点1B 的坐标为()91--，． （2）画出的22A B C △的图形如图所示，点2B 的坐标为()55，． （3）画出的33AB C △的图形如图6所示．

说明：我们已经学习了平移、轴对称、旋转、位似四种变换，其中平移、轴对称、旋转变换都是全等变换，变换前后的图形是全等的，而位似变换是一种相似变换，变换前后的图形不全等而是相似的。平面直角坐标系下位似变换一般考查两个方面，（一）平面直角坐标系下位似图形的点的坐标变化的特点；（二）利用这种坐标变化的特点，画出平面直角坐标系下的位似图形。