平面向量的概念与几何运算(答案
第13讲：平面向量的概念与向量的几何运算
一、基础概念： 1、向量的的概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫向量。要注意标量与向量的区别：标量只有大小，是个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向和大小的双重性，两个向量不能比较大小：但大小和方向是向量的两个要素，向量的大小称为向量的模。 （2）零向量：模为零的向量叫做零向量（始、终点重合），记作0。 注意：0的方向是任意的；0与0的区别。 （3）单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量。
（4）相等的向量：长度相等且方向相同的两个量叫做相等的向量。若向量相等，记作：.b a 任意两相等的向量都可以用一有向线段表示，与起点无关。 （5）负向量：大小相同且方向相反的两个向量称它们互为负向量。 2、平行向量
两个方向相同或相反的向量，记作：//。任意一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。 规定：0与任意向量平行。 3．向量的表示方法
（1）始终点法（几何表示法）：如图向量AB ； （2）单个字母表示法（代数表示法）：小写字母加上箭头，如a
从向量的表示我们可以看到，可以由几何与代数两方面来刻划画向量，使数与形统一于向量之中，体现了数形结合的思想。 二、向量的加、减法运算 1、向量的加法
求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：两个向量的和仍是向量（简称和向量）。
（1） 向量加法的平行四边形法则；
（2） 向量加法的三角形法则：将第二个向量的始点与第一个向量的终点相重合，则第一
个向量的始点为始点，第二个向量的终点为终点所组成的向量，即为两向量的和
B
（3） 对于共线的向量，分别为同向或反向的两种情况。 2、向量加法的性质
（1）向量加法的交换律：a b b a +=+；
（2）向量加法的结合律：)()(++=++； （3）=+=+。 3、向量的减法
向量的减法是向量加法的逆运算（用加法的逆运算定义向量的减法）。
若,a x b =+则x 叫做与的差，记作b a -。 4、求作差向量
已知向量与，求作向量-。
作法：在平面内取一点O ，作,,;OA b OB a AB a b ===-则可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量。 三、实数与向量的乘积 1、实数与向量的积
定义：实数λ与非零向量的积是一个向量，记作?λ。它的模与方向规定如下： （1
）
=λλ
(2)0,;0,;0,0.:0,.a a a a a a a λλλλλλλλ>?
实数与向量积的运算
（1） 结合律：)()(λμμλ=?；
（2） 分配律：.)(,)(b a b a a a a ?+?=+?+?=+λλλμλμλ 2、单位向量
定义：长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 设 a 是非零向量a 同方向的单位向量，则00;.
a a a a a a
=
=
或
C
A
O
3、向量平行的充要条件
与非向量平行（共线）的充要条件是有且只有一个实数λ使得.?=λ
推论：//的充要条件是存在实数.,,2121b a ?=?λλλλ使 四、应用举例：
例1、如图，正六边形ABCDEF 的中心为O ，则与相等的向量相
等的向量是 ，
OD 的负向量是 是 。OD 的平行向量是 。
答：与相等的向量是,,,的负向量是
,,,。
与OD 平行的向量是BC FE DA AD CB EF AO OA DO ,,,,,,,,等共有9个。
反思：掌握概念是关键
例2、化简++++。
解：++++=++++)(
.)()(=+=++=+++=
反思：三角形法则，“首尾相接”。
例3、已知,a b 为非零向量，试判断下列各命题的真假？ （1）0λ=是0a λ?=的充要条件；
（2）2a -与3a 的方向相反，且2a -的模是3a 的模的2
3
倍。 （3）()a b -与()b a --互为负向量；
（4）因为2a 的方向与a 相同，且大小为a 的2倍，所以
22a
a
=； 答：（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题；（4）假命题。 反思：平时对问题的表述要准确
例4、（1）如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ） （A ）AB DC = （B ）AD AB AC += （C ）AB AD BD -= （D ）0AD CB +=
A
B
C
D
F
C
B
A
解：依照图形分析得答案为（C）。
（2）如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD =（ ）
A.1
2
BC BA -+
B. 12
BC BA --
C. 1
2
BC BA -
D. 12
BC BA +
解：1
2
CD CB BD BC BA =+=-+
，选取（A ） （3）,a b 是两个非零向量，00,a b 分别是,a b 的单位向量，则下列命题正确的是（ ）。
00000
0000
()//,()//,1
()1,()1,A a b a b B a b a b C a a a D a b a b a b =-=======-若则若则若则若则或
解：（C ）
反思：方法的选择要优化，如第（2）小题
例5、（1）已知1,60,,.a b a b a b a b ==+-且与的夹角为求的值 解：应用余弦定理
222
2
2
2
2cos 603,32cos 601,1
a b a b a b a b a b a b a b a b +=++?=+=-=+-?=-=由解得由解得（2）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的组中点，则MN =_______。（用
a b 、表示）
1111
:()2424
1111.
4444
MN MC CN BC CA BC CB BA AB BC a b =+
=
+=++=-+=-+解
反思：数形结合是重要的解题方法
例6．如图，CF BE AD ,,
分别是ABC ?的中线，G 为重心，且
,,,AD m BC a m a ==试用表示。.
)4(,)3(,)2(,)1(A
B
C
D
M
D
B
D C
B
A
1(1)
,,,2
1
;
211
(2),;22131
(3)242(4)BC a D BC BD a AB AD BD m a AC AD DC m a CA AC m a BE BC CE BC CA a m
CF CB BF =∴=
∴=-=-=+=+∴=-=--=+=+=-=+=-解
为中点131
242
BC AB a m
-=--
反思：培养目的性思维是必要的
例7、 已知b a =====,,,,，设t 为实数，如果
)(,2,3t +===，
那么t 为何值时，E D C ,,三点在同一条直线上。
23,
()3(3),//,,.23(3)(3),(2)(33).
CD OD OC d c b a CE OE OC t a b c ta tb a t a tb CD CE CD CE b a t a tb t a tb t b t a λλλλλλλλ=-=-=-=-=+-=+-=-+=??-=-+=-+??∴-=-+解:即存在常数使即//,,,,.,,.6
(2)(33),2330,5
//,,,;6
,,,,.
5
a b O A B C D E a b t b t a t t t a b t C D E a b t C D E λλλλλλλ-=-+-=-+==∴=易知当:三点在一直线时上式中的一定存在即三点共线恒成立当不平行时,要使成立则成立解得当时无论取任何实数三点均共线当不平行时当时三点共线 反思：灵活处理共线与平行的关系
例8、（1） 已知OA 不平行OB ，1,,,OM OA OB A M B λμλμ=++=设且求证:三点共线。
1,1.
1,
(1),(),,,,.
OM OA OB OM OA OB OA OB OB OM OB OA OB BM BA A M B λμμλμλλμλλλλλλ+=∴=-=-=+∴=+-=+-∴-=-=∴证明
将代入即三点共线
反思：如果反过来研究，是否成立？
（2） 在ABC ?中（如图），若)0(>=λλ
求证：.1λ
λ++=
证明 因为,;-=-=
.
1,)1(),(,λ
λλλλλ++=
∴+=+∴-=-=所以
反思：此题结论与上题是一致的
例9、（2003年江苏高考题）O 是平面上一点，C B A ,, 是平面上不
共
线
的
三
点
，
动
点
P
满
足
[)+∞∈?
?+
+=,0,λλ则P 的轨迹一定通过ABC ?的（ ）
（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心
解：
[)+∞∈??+
+=,0,λλ，∴AB AC AP AB AC λ??
??=+??
?? 应选（B ）。
反思：向量与平面几何中的结论是相互结合的
例10、如图,OM∥AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且OP xOA yOB =
+,则x 的取值范围是 ;
D
C
C
M
B
A
O
当1
2
x =-
时,y 的取值范围是 . ,
,(0,),
()(),,,,(,0).
12OM ON AB OP mON nOB OP mAB
nOB m OB OA nOB mOA m n OB x m y m n OP xOA yOB x x ==+∈+∞=+=-+=-++=-=+=+∈-∞=-解:依题意,在射线上取由平行四边形法则可令且m 则
令则
得
当113
,(,).
222
y n =+∈时反思：转化思想在该题中得到了体现。
例11：证明不等式：a b a b a b -≤-≤+，并应用此结论求函数
y =
解：构造一平行四边形，它的两邻边的向量是,a b ，则两对角线向量为：
a b -和a b +，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：a b a b a b -≤-≤+成立。等号当同向共线或反向共线时取等号。
y ==
上式可以理解为：点(,0)P x 与点(6,4),(2,1)A B 的距离的差，其中(,0)P x 是x 轴上的点，点A 与点B 分布在x 轴同侧。由y PA PB PA PB AB
=-≤-=，可知
max (65y AB ===。
例12 某人骑摩托车以20km/h 的速度向东行驶，感到风从正南方向吹来，而当速度为40km/h 时，感到风从东南方向吹来，求实际风向和风速的大小。
解：设表示车向西行驶20km/h 的速度，在无风时，此人感受到的风速为-；设实际风速为b ，那么此人感受到的风速为-=-+)(。如图，令a DA -=，a DB 2-=，实际风速为，-=∴=+, ，这就是当车的速度为20km/h 时，该人感受到的
41平面向量的概念及线性运算
6. （2010浙江杭州调研）设a 、b 是两个不共线向量, AB = 2a + pb , BC = a + b , CD = a — 2b , 第四单元 平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算 、选择题 1.在厶 ABC 中，AB = c , AC = b ,若点 D 满足 BD = 2DC ，则 AD =( ) 2 1 A ?3b + 3c 5 2 B ?3c — 3b C.2b -3c 3 3 1 2 D ?1b + 3c …AD = AB + BD = c + 3( b — c) = §b + 3c 答案：A 2. （2010广东中山调研）已知a 、b 是两个不共线的向量，AB =入a b, AC = a +讥入 此R ）, 那么 A 、B 、C 三点共线的充要条, 件是 ( ) A . ?+尸 2 B .入一 (i= 1 C . 入=—1 D . 入=1 解析 由 AB =入 a b, AC = a + 3 b 人 卩€ R ）及 A 、B 、 C 三点共线得AB = tAC (t € R), 入=t 所以 入 t+ b^ t(a + ub ta +1 3, 「所以 1 ，即入 =1. 1 = t 3 答案 :D 3. （2009 ?东）设P 是厶ABC 所在平面内的一点， BC + BA = 2BP ，则（ ） A . PA + PB = 0 C . PB + PC =0 B . P C + PA = 0 D . PA + PB + PC = 0 V ----------- 」 解析：如上图，根据向量加法的几何意义 Be + B A = 2B P ? P 是AC 的中点, 故 PA + PC = 0. 答案：B 4.已知平面内有一点 P 及一个△ ABC ，若PA + PB + PC = AB ，则（ ） A .点P 在厶ABC 外部 B .点P 在线段 AB 上 C .点P 在线段BC 上 D .点P 在线段AC 上 解析：?/ PA + PB + PC = AB , ??? PA + PB + PC = PB — PA ??? PC = — 2PA.A 2PA = CP ，?点 P 在线段 AC 上. 答案：D 、填空题 5. （2009宁夏银川模拟）若AB = 3% CD = — 5e i ,且AD 与CB 的模相等，则四边形 ABCD 是 解析：?/ AB = — 3CD , ??? AB // CD ，且 |AB|M |CD|. 5 答案：等腰梯形 解析: D C =AC — AB = b- c , B D = 2BC = 2(b — c),
平面向量的基本概念及线性运算知识点
平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，
平面向量的概念及几何运算
平面向量的概念及几何运算检测卷 班级 姓名 座位号 一、选择题（新题型的注释） 1．下列说法中错误的是（ ） A ．零向量没有方向 B ．零向量与任何向量平行 C ．零向量的长度为零 D ．零向量的方向是任意的 2．已知平面向量(3,1)a = ，(,3)b x =- ，且b a //，则x = （ ） A 9 B 9- C 3- D 3 3．若(1,1,1),(0,1,1)a b =--= 且()a b b λ+⊥ ，则实数λ的值是（ ） A 、0 B 、1 C 、1- D 、2 4．已知平面向量)1,1(=→ a ，)1,1(-=→ b ，则向量2a b → → --的坐标是（ ） Ａ．(31)--， B ．(31)-， Ｃ．(1 0)-， Ｄ．(12)-， 5．已知)1,2(=a ，)4,3(-=b ，则a 与b 的数量积为： （ ） A ．)4,6(- B ．)5,1(- C ．2- D ．0 6．已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是（ ） A ．)10 10 ,10103(- =e B ．)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或e C ．)2,6(-=e D ．)2,6()2,6(或-=e 7．化简=--+CD AC BD AB （ ） A ．AD B ．0 C ．BC D ．DA 8．在下列向量组中,不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A.)1,0(1=e )6,1(2-=e B.)2,1(1-=e )1,5(2-=e C.)5,3(1-=e )10,6(2=e D.)3,2(1-=e ) 43,21(2-=e 9．下列命题： （1）若向量a b = ，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；
平面向量的概念、运算及平面向量基本定理
05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一)平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 考点 平面向量的有关概念 ［典例］⑴设a , b 都是非零向量，下列四个条件中，使 向=而成立的充分条件是( ) A . a =- b B . a // b C . a = 2b D . a // b 且 |a|= |b| ⑵设a o 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，贝U a = |a| a o ;②若a 与a o 平行，则 a = |a|a o ;③若a 与a o 平行且|a|= 1,则a = a o .假命题的个数是( ) A . o B . 1 C . 2 D . 3 ［解析］⑴因为向量合的方向与向量a 相同，向量￡的方向与向量b 相同，且￡，所以向量a 与 |a| |b| |a| |b| 向量b 方向相同，故可排除选项 A , B , D.当a = 2b 时，a =警=b ，故a = 2b 是耳=g 成立的充分条件. |a| |2b| |b| |a| |b| (2)向量是既有大小又有方向的量， a 与|a|a o 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a =- |a|a o ，故②③也是假命题.综上 所述，假命题的个数是 3. ［答案］(1)C (2)D _ _［易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小 ［…(2)大小与方向是向量的两个要素?j 分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 突破点(二)平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算： 加法、减法、数乘 2. 平面向量共线定理： 向量b 与a(a ^ o )共线的充 要条件是有且只有一个实数 人使得b = 1 ［答案］(1)D ⑵1 —…_［方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……_ _―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「 i 1.平面向量的线性运算技巧： ⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解. ⑵含图形的情况：将它们转化到 ］ 三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解. 2?利用平面向量的线性运算求参数的一般思路： (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置. (2)利用平行四 边形法则或三角形法贝U 进行转化丄转化为要求的向量形式._ _ (3) 比较，观察可知所求.__________ 考点二 平面向量共线定理的应用 ［例2Lu 设两个非零向J a 和b 不共鈿 平面向量的线性运算 …uuur …"uLu r 考点一 ~~uuur ----- u uur ［例 1］ (1)在厶 ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2 DC 12 5 2 A.3b + 3C B.gC — 3b 2 1 2 1 C.gb — 3c D.gb + 3C uuuu 1 uuur ⑵在△ ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN = NC , P 是BN 上一点, 数m 的值是 ______________ . uuur umr ［解析］(1)由题可知BC = AC - uuur + BD = c + 2 1 —c)= 3b + §c,故选 D. uuuu 1 uuur (2)如图，因为AN = 2 NC ，所以 uuur 2 uuuu m AB + 3 AN ?因为B ，P ，N 三点共线, ―uuur ，贝U AD =( ) UULT uuur 2 uuur 若 AP = m AB + 9 AC ，则实 2 uuir 2 uuir uur uuur uuur uuur UULT AB = b — c , '^BD = 2 DC ,「.BD = 3 BC = 3(b — c)，则 AD = AB uuuu 1 uuur AN = 3 AC ，所以 2 所以m +3= 1,则 UULT uuur 2 uuur AP = m AB + 9 AC = 1 m = 3.
平面向量的线性运算及几何意义
65平面向量的线性运算及几何意义 1.(2015河北石家庄二检,文15,平面向量的线性运算及几何意义,填空题)已知△ABC中,AB=3,AC=,点G是△ABC的重心,=. 解析:利用向量的运算法则求解. 延长AG交BC于点D,则D为BC的中点, )·()=(||2-||2)=-=-2. 答案:-2 66向量共线定理及应用 2.(2015甘肃兰州实战,文13,向量共线定理及应用,填空题)已知向量a=(x2-1,2+x),b=(x,1),若a∥b,则x=. 解析:依题意得(x2-1)×1-x(2+x)=0,解得x=-. 答案:- 67平面向量的坐标运算 1.(2015贵州贵阳高三适应性检测考试(二),文11,平面向量的坐标运算,选择题)A,B是半径为2的圆O 上的两点,M是弦AB上的动点,若△AOB为直角三角形,则的最小值是() A.-1 B.- C.0 D.2 解析:由题意知OA⊥OB,不妨分别以OA,OB为x,y轴建立直角坐标系, 则A(2,0),B(0,2). 因为M在线段x+y=2(0≤x≤2)上运动,所以可设M(x,2-x),=(x,2-x),=(x-2,2-x), =x(x-2)+(2-x)(2-x)=2x2-6x+4, 当x=时,()min=-,故选B. 答案:B 2.(2015东北三省三校二联,文3,平面向量的坐标运算,选择题)向量a=(2,-9),向量b=(-3,3),则与a-b同向的单位向量为() A.- B.- C.- D.- 解析:依题意得a-b=(5,-12), 因此与a-b同向的单位向量为- - -,故选A. 答案:A 3.(2015河南郑州第三次质量检测,文4,平面向量的坐标运算,选择题)已知向量a=(1,x),b=(-1,x),若2a-b与b垂直,则|a|=() A. B. C.2 D.4 解析:由题意得2a-b=(3,x),(2a-b)·b=0, 所以-3+x2=0,x2=3,|a|=2,故选C. 答案:C 4.(2015河南洛阳3月统一考试,文10,平面向量的坐标运算,选择题)已知P是△ABC所在平面内一点,若,则△PBC与△ABC的面积的比为() A. B. C. D. 解析:以点B为坐标原点,BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系, 设A(x A,y A),C(x C,0),P(x P,y P), 1
第1讲 平面向量的概念及线性表示
第1讲平面向量的概念及线性表示◆高考导航·顺风启程◆ [知识梳理] 1．向量的有关概念 2．向量的线性运算
求两个向量和的 交换律：结合律：的相反向 |λa |＝ |λ||a | ，当λ＞0时，λa 与a 3．平行向量基本定理 如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb . [知识感悟] 1．三点共线的等价转化 A ，P ， B 三点共线?AP →＝λAB →(λ≠0)?OP →＝(1－t )·OA →＋tOB → (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )?OP →＝xOA →＋yOB → (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)． 2．向量的中线公式 若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP →＝12(OA →＋OB → )． 3．三角形的重心 已知平面内不共线的三点A ，B ，C ，PG →＝13(P A →＋PB →＋PC → )?G 是△ABC 的重心．特别 地，P A →＋PB →＋PC → ＝0?P 为△ABC 的重心． [知识自测] 1．(思考辨析)判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若向量a ，b 共线，则向量a ，b 的方向相同．( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( ) (3)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( )
(4)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( ) (5)已知两向量a ，b ，若|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝2.( ) (6)向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (7)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× (7)√ 2．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC → ＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件是( ) A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1 D ．λμ＝1 [解析] 由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )及A ，B ，C 三点共线得AB →＝tAC → ，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得? ???? λ＝t ， 1＝tμ，所以λμ＝1，故选D. [答案] D 3．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的______条件． [解析] 若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ?q . 若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线， 即a ＝λb ，且λ>0，故q ?/ p . ∴p 是q 的充分不必要条件． [答案] 充分不必要 题型一 平面向量的概念(基础保分题，自主练透) (1)给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点， 则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①② C ．③④ D ．①④ [解析] ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
[高二数学]平面向量的概念及运算知识总结
平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜ ＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相
32总复习：平面向量的概念及线性运算知识梳理
平面向量的概念、线性运算及坐标运算 编稿：李霞 审稿：孙永钊 【考纲要求】 1．了解向量的实际背景；理解平面向量的概念及向量相等的含义；理解向量的几何表示. 2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；了解向量线性运算的性质及其几何意义. 3．了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【知识网络】 【考点梳理】 【高清课堂：平面向量的概念与线性运算401193知识要点】 考点一、向量的概念 1．向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段AB 表示，其中A 为起点，B 为终点. 向量AB 的长度|AB | 又称为向量的模； 长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量. 2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行. 平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量. 3．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等. 4. 与a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量，规定零向量的相反向量是零向量. 要点诠释： 平面向量 平面向量的概念 平面向量的坐标表示 平面向量的基本定理 平面向量的线性运算
①有向线段的起、终点决定向量的方向，AB 与BA 表示不同方向的向量； ②有向线段的长度决定向量的大小，用|AB | 表示，|AB||BA |= . ③任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起，因此可用一个有向线段表示，而与起点无关. 考点二、向量的加法、减法 1．向量加法的平行四边形法则 平行四边形ABCD 中（如图）， 向量AD 与AB 的和为AC ,记作:AD AB AC += .（起点相同） 2．向量加法的三角形法则 根据向量相等的定义有:AB DC = ，即在ΔADC 中，AD DC AC += . 首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点. 规定:零向量与向量AB 的和等于AB . 3. 向量的减法 向量AB 与向量BA 叫做相反向量.记作:AB BA =- . 则AB CD AB DC -=+ . 要点诠释： ①关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用. ②向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”. 要点三、实数与向量的积 1．定义： 一般地，实数λ与向量 a 的积是一个向量,记作λ a ，它的长与方向规定如下： （1）||||||λ=λ? a a ； （2）当λ>0时，λ a 的方向与 a 的方向相同；当λ<0时，λ a 的方向与 a 的方向相反； 当λ=0时，0λ= a ； 2．运算律 设λ，μ为实数，则 （1）()()λμ=λμ a a ； （2）()λ+μ=λ+μ a a a ；
平面向量基本运算小题专练
1．已知=（3，4），=（5，12），则与夹角的余弦为（）A．B．C．D． 2．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D． 3．设O是△ABC的内心，AB=c，AC=b，若，则（）A． B．C．D． 4．已知平面向量=（1，2），=（﹣3，x），若∥，则x等于（）A．2 B．﹣3 C．6 D．﹣6 5．设向量=（x﹣2，2），=（4，y），=（x，y），x，y∈R，若⊥，则||的最小值是（） A．B．C．2 D． 6．已知，则=（） A．9 B．3 C．1 D．2 7．在△ABC中，+=2，||=1，点P在AM上且满足=2，则?（+）等于（） A．B．C．﹣D．﹣ 8．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为（） A．B．C．D．1 9．已知，是不共线的向量，=λ+，=+μ（λ、μ∈R），那么A、B、C三点共线的充要条件为（） A．λ+μ=2B．λ﹣μ=1C．λμ=﹣1 D．λμ=1 10．△ABC中，AB=5，BC=3，CA=7，若点D满足，则△ABD的面积为（）
A．B．C．D．5 11．在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若=﹣2+λ，则λ=（）A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（） A．B．C．1 D．3 13．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为（） A．1 B．2 C．D． 14．已知向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则+等于（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，1） C．（3，﹣1）D．（﹣3，1） 15．已知两个单位向量的夹角为θ，则下列结论不正确的是（）A．方向上的投影为cosθB． C．D． 16．设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（） A．1 B．C．2 D．2 17．△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且，则的值为（） A． B．C．D． 18．已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且（2﹣3）⊥，则实
平面向量概念教学设计
篇一：平面向量概念教案 平面向量概念教案 一．课题：平面向量概念 二、教学目标 1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。 2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。 3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣 三．教学类型：新知课 四、教学重点、难点 1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。 2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。 五、教学过程 （一）、问题引入 1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？ 2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？ 3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。 在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。 （二）讲授新课 1、向量的概念 练习1 对于下列各量： ①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功⑨体积⑩温度 其中，是向量的有：②③④⑤ 2、向量的几何表示 请表示一个竖直向下、大小为5n的力，和一个水平向左、大小为8n的力（1厘米表示1n）。思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？ （1）有向线段及有向线段的三要素 （2）向量的模 （4）零向量，记作＿＿＿＿； （5）单位向量 练习2 边长为6的等边△abc中，＝＿＿，与相等的还有哪些？ 总结向量的表示方法： 1）、用有向线段表示。 2）、用字母表示。 3、相等向量与共线向量 （1）相等向量的定义 （2）共线向量的定义 六．教具：黑板 七．作业 八．教学后记 篇二：平面向量的实际背景及基本概念教学设计 平面向量的实际背景及基本概念教学设计
平面向量的基本定理及坐标运算
平面向量的基本定理及坐标运算 【考纲要求】 1、了解平面向量的基本定理及其意义. 2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【基础知识】 一、平面向量基本定理 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得2211e e λλ+=，不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 二、平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量a 可表示成a xi y j =+，由于a 与数对(,)x y 是一一对应的，因此把(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫作a 在y 轴上的坐标. 规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无
关，只与其相对位置有关。 三、平面向量的坐标运算 1、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b +=1212(,)x x y y ++. 2、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b -=1212(,)x x y y --. 3、设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. 4、设a =()y x ,，R ∈λ，则λa =(,)x y λλ. 5、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //12210x y x y ?-=（斜乘相减等于零） 6、设a =()y x ,，则22a x y =+ 四、两个向量平行（共线）的充要条件 1、如果0a ≠，则b a //的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=（没有坐标背景） 2、如果a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //的充要条件是12210x y x y -=(坐标背景) 五、三点共线的充要条件 1、A 、B 、C 三点共线的充要条件是AB BC λ= 2、设OA 、OB 不共线，点P 、A 、B 三点共线的充要条件是 (1,,)OP OA OB R λμλμλμ=++=∈. 特别地，当12 λμ==时，P 是AB 中点。
10313平面向量的概念与几何运算答案
第13讲：平面向量的概念与向量的几何运算一、基础概念：1、向量的的概念）向量：既有大小又有方向的量叫向量。要注意标量与向量的区别：标量只有大小，是个代（1数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向和大小的双重性，两个向量不能比较大小：但大小和方向是向量的两个要素，向量的大小称为向量的模。0，记作（2）零向量：模为零的向量叫做零向量（始、终点重合）。000的方向是任意的；的区别。与注意：1的向量叫做单位向量。（3）单位向量：长度等于.a?b）相等的向量：长度相等且方向相同的两个量叫做相等的向量。若向量相等，记作：4（任意两相等的向量都可以用一有向线段表示，与起点无关。（5）负向量：大小相同且方向相反的两个向量称它们互为负向量。2、平行向量b//a。任意一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平两个方向相同或相反的向量，记作：行向量也叫做 共线向量。0规定：与任意向量平行。．向量的表示方法3B AB 1（）始终点法（几何表示法）：如图向量； A a：小写字母加上箭头，如（2）单个字母表示法（代数表示法）从向量的表示我们可以看到，可以由几何与代数两方面来刻划画向量，使数与形统一于向量之 中，体现了数形结合的思想。二、向量的加、减法运算、向量的加法1 求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。。注意：两个向量的和仍是向量（简称和向量）向量加法的平行四边形法则；（1）则第一将第二个向量的始点与第一个向量的终点相重合，）向量加法的三角形法则：（2 个向量的始点为始点，第二个向量的终点为终点所组成的向量，即为两向量的和 ）对于共线的向量，分别为同向或反向的两种情况。3（、向量加法的性质21 aa?b??b（1）向量加法的交换律：；)?c(?(ab)?c?a?b；（2）向量加法的结合律：D C aa??a0?0? 3（）。、向量的减法3（用加法的逆运算定义向量的减法是向量加法的逆运算AB。向量的减法）ba与b?ax,?ab?x若叫做。则的差，记作、求作差向量4ba与b?a，求作向量已知向量。B;?b,OA?b,OB?a则AB?a O可以表示作法： 在平面内取一点，作 ab的终点的向量。的终点指向向量为从向量 三、实数与向量的乘积、实数与向量的积1OA??a?a。它的模与方定义：实数的积是一个向量，
第1讲平面向量的概念及线性运算 (1)
第1讲 平面向量的概念及线性运算 一、选择题 1.已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋ CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →.其中结果为零向量的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 由题知结果为零向量的是①④，故选B. 答案 B 2.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A.a 与λa 的方向相反 B.a 与λ2a 的方向相同 C.|－λa |≥|a | D.|－λa |≥|λ|·a 解析 对于A ，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小. 答案 B 3.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( ) A.0 B.BE → C.AD → D.CF → 解析 由题图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →. 答案 D 4.设a 0为单位向量，下述命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二
平面向量的基本概念练习题
平面向量的实际背景及基本概念 一、选择题： 1．下列物理量中，不能称为向量的是（ ） A ．质量 B ．速度 C ．位移 D ．力 2．设O 是正方形ABCD 的中心，向量AO 、OB 、CO 、OD 是（ ） A ．平行向量 B ．有相同终点的向量 C ．相等向量 D ．模相等的向量 3．下列命题中，正确的是（ ） A ．||||a b =a b ?= B ．||||a b >a b ?> C ．a b a =?与b 共线 D ．||00a a =?= 4．在下列说法中，正确的是（ ） A ．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同 B ．模为0的向量与任一非零向量平行 C ．向量就是有向线段 D ．若||||a b =，则a b = 5．下列各说法中，其中错误的个数为（ ） （1）向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；（2）两个非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量；（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量；（5）平行向量就是向量所在直线平行 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 *6．ABC ?中，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中，与EF 共线的向量有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．6个 D ．7个 二、填空题： 7．在（1）平行向量一定相等；（2）不相等的向量一定不平行；（3）共线向量一定相等；（4）相等向量一定共线；（5）长度相等的向量是相等向量；（6）平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是 ． 8．如图，O 是正方形ABCD 的对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 是正方形，在图中所示的向量中， （1）与AO 相等的向量有 ； （2）与AO 共线的向量有 ； （3）与AO 模相等的向量有 ； （4）向量AO 与CO 是否相等答： ． 9．O 是正六边形ABCDEF 的中心，且AO a =，OB b =，AB c =，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 为端点的向量中： （1）与a 相等的向量有 ； （2）与b 相等的向量有 ； （3）与c 相等的向量有 ． O A B C D E F
平面向量的概念及几何运算
1A C 2A B 9- C 3- D 3．若(1,1,1),(0,1,1)a b =--=且()a b b λ+⊥，则实数λA 4．已知平面向量)1,1(=a ，)1,1(-=b ，则向量2a --56 7 8 ) 9．下列命题： a b =，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；
（a b =且a 与b 的方向相同，则a b =；（）非零向量a 与b 满足a b ∥，则向量a 与b 方向相同或相反；（）向量AB 与CD 是共线向量，则,,,A B C D 四点共线； （）若a b ∥，且b c ∥，则a c ∥ 正确的个数：（ ） 10．下列命题正确的是 A C 11 12A 13=（1,5）， = ，则 =_________. 14．已知(tan ,1),(1,2)a b θ=-=-，若()()a b a b +⊥-，则tan 15（（）所有的单位向量都相等。 （（（（16
三、解答题17．18．在矩形的中点，在以A 、B 、C 、D 、19．已知点 （1AC ＝BC ，求角（2）若AC BC ?＝－120．ABC ?平面向量))sin(,1(A B m -=，平面向量(sin C n -=（I （II 21．已知分AB 所成的比. 22．为起点，且与向量b ＝（－3，4） 垂直的单位向量，求
1．2．B 3．(1,1,b λλλ=-b ，所以()110a b b λλλ+?=-+-=，4．5．6．7．0AB AD =故选择B 8．9．【解析】解：因为 （1a b =，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；不成立 （2a b =且a 与b 的方向相同，则a b =；满足定义 （3）非零向量a 与b 满足a b ∥，则向量a 与b 方向相同或相反；成立 （4）向量AB 与CD 是共线向量，则,,,A B C D 四点共线；可能构成能四边形，错误 （5）若a b ∥，且b c ∥，则a c ∥，当b 为零向量时，不成立。 10中，两边平方可知成立，选项C 中，当→ b 为中，夹角不定，因此数量积结果不定，选B 1112131415因为两个向量的方向相同或相反叫共线向量，而两个向量所在直线平行时也称它们为共线向量，即共线向量不一定在同一条直线上。 （2个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相（3为零向量时，它不成立。（想一想：你能举
平面向量的概念及表示教学设计
“平面向量的概念及表示”的教学设计 一、教学内容解析 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。以位移、力等物理量为背景，抽象出既有大小又有方向的量---向量，然后介绍了向量的几何表示，向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、相等向量与共线向量。 二、教学目标设置 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 三、学生学情分析 这个班的学生是高一的，刚刚学完必修一的第一章的内容。 四、教学策略分析 利用已学的集合知识，构建学习新概念的学习体系。借助原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念
五、教学过程 （一）温故而知新，主要从集合的学习体系来认知学习一个新知识的研究体系，即：定义一表示一特殊元素一特殊关系一运算。 (二)问题情镜引入，从位移等物理量引入既有大小又有方向的量并加以抽象。 问题1：在平面上，如何用点A的位置来确定点B的位置关系？ 问题2：你能不能举出其他的既有大小又有方向的量？ 问题3：你能不能举出只有大小没有方向的量？ (三)新课学习 1、向量的定义：既有大小又有方向的量为向量。 2、向量的表示（1）几何表示：用一个很经典的受力分析图，学生很容易想到用有向线段来表示向量。长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。 (2)符号表示：①用有向线段字母表示：（A为起点、B为终点）； ②用小写字母表示：a、b、c ；（印刷用a，书写时应加上箭头）（此处向学生介绍数学家们有符号表示向量的过程，让学生对数学史有一定的了解，符号化的过程也不是一蹴而就的） 3、向量的有关概念： （1）大小：
平面向量的基本概念
平面向量的实际背景及基本概念 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。 2.数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量。 数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 3.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。 4.有向线段的三要素：起点，大小，方向 5.有向线段与向量的区别； （1）相同点：都有大小和方向 （2）不同点：①有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段 比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。 ②向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在①中的两个有向线 段表示相同（等）的向量。 ③向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成 6.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母： AB ； 7.向量的模：向量AB 的大小（长度）称为向量的模，记作|AB |. 8.零向量、单位向量概念： 长度为零的向量称为零向量，记为：0。长度为1的向量称为单位向量。 9.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.即：0 ∥ａ。 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义； （2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 10.相等向量 A(起点) B （终点） a
长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．． 向线段的起点无关．．．．．．．．. 11.共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关） 说明：（1）平行向量是可以在同一直线上的。 （2）共线向量是可以相互平行的。 例1.判断下列说法是否正确，为什么？ （1）平行向量是否一定方向相同？ （2）不相等的向量是否一定不平行？ （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？ （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （6）两个非零向量相等当且仅当什么？ （7）共线向量一定在同一直线上吗？ 解析：（1）不是，方向可以相反，可有定义得出。 （2）不是，当两个向量方向相同的时候，只要长度不相等就不是相等向量，但是是平行的。 （3）零向量 （4）零向量 （5）共线向量（平行向量 （6）长度相等且方向相同 （7）不一定，可以平行。 例2.下列命题正确的是（ ） A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是平行四边形的四顶点 C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C. B A O D E F