2019年2月份温州市普通高中高考适应性测试 数学试题参考答案及评分标准

2019年2月份温州市普通高中高考适应性测试

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一

11．7，

34； 12．3，12+ 13．0，6-； 14．59，3

； 15．20；

16 17．12- 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．解：（I ）1sin()237

AOC S ?=

+=

πα

sin()37πα∴+=

5,62

2

3

6π

π

π

π

παα<<

∴

<+

<

，1

cos()37

∴+=-πα sin sin()33π

παα=+

-=sin()cos cos()sin 3333

ππππ

αα+-+

11=

7272+?=

14

（II ）2cos

sin()2326-+（）α

παπ=22sin ()26

απ+=81cos()37-+=πα

19．解：（I ）法一：过C 做CH BD ⊥，（其中H 与B D ,都不重合，否则，若H 与B 重合，

则CB BD ⊥与1CD CB =<=若H 与D 重合，则1AD BD ==，与2AB =矛盾） 面ABD ⊥面BCD ∴CH ⊥面BCD

∴CH ⊥AD ，又 AD ⊥CD ∴AD ⊥面BCD ∴AD ⊥BC

法二：参见第（II ）问的法三

（II ）法一：做EQ AH ⊥，则//EQ CH ，由（1）知：EQ ⊥面ADB

∴EDQ ∠即DE 与面ABD

所成角，且2DE EQ =

=

∴sin QE EDQ ED ∠=

=

法二：由（I

）知：,AD BD BD ⊥=

AC BC ==记AB 的中点为F ，AF 的中点为M E 是AC 的中点，∴AB EM ⊥，AB DM ⊥

∴AB ⊥面DEM ∴面ABD ⊥面DEM

∴EDM ∠即DE 与面ABD

所成角，且1,,222

ME MD ED ==

=

∴sin 3

ME EDM MD ∠=

=

法三：由（I ）知AD ⊥平面BCD ，AD BD ∴⊥，以D 为原点，分别以射线,DB DA 为x 轴，

y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -

由题意知：(0,0,0),(0,1,0),D A F C

∴12E

，12DE ∴= ∵平面ABD 的法向量为(0,0,1)n =， 设DE 与面ABD 所成角为θ ∴3

sin |cos ,||

|||||

n DE DE n n DE θ?===?法四：以D 为坐标原点，,DC DA 为,x y 轴，建立空间直角坐标系D xyz -

A

A

则()()1,0,0,0,1,0C A ，设(),,B a b c ，面ABD 的法向量为1n ，面BCD 的法向量为2n ，则

12200AB AC BC n n =???=???=?，即()()()2

2

2

12

141,1,01,,00a b c a b c n n ?+-+=??-?---=???=??

，则10a b c ?=?=??

=? ∴0AD BC ?=，∴AD ⊥BC ∴11

3

sin DE n DE n θ?=

=

?，即DE 与面ABD 所成角的正弦值为3.

20．解：（I ）22231S a =+，28S =，得25a =13a ∴=.

()211n n S n a n =++-，则()1122n n S n a n ++=++，

两式相减得()()112211n n n a n a n a ++=+-++, 即()1110n n na n a +-++= ①

()()211210n n n a n a ++∴+-++= ②

②-①得()()()2112210n n n n a n a n a +++-+++=， 即2120n n n a a a ++-+=，

故数列{}n a 为等差数列，21n a n ∴=+. （II ）

21n a n =+22n S n n ∴=+，

由20n n S ?->λ得()22n

n n +>

λ对任意正整数n 恒成立，()max

22n

n n ?+?

∴>?

???λ， 令()22n n

n n b +=

，

2

11322

n n n n b b ++-∴-=，

1234b b b b ∴<>>>

, max 2()2n b b ∴==

2∴>λ.

21．解：（Ⅰ）易知(0,1)A -，不妨设2

(,)2t B t p ，则22(,)24t t p

C p -，代入抛物线方程得：

222()224t t p p p

-=?

，得：2

4t p =，42142C p p y p -∴==为定值. （Ⅱ）点C 是AB 中点，BMN AMN S S ??∴=

直线l 的斜率1

(1)322k t t --==，直线l '的斜率3

k t '=-，

∴直线l '的方程：13()22t y x t -=--，即32y x t =-+，不妨记3

m t

=-，则l '：2y mx =+

代入椭圆方程整理得：22

(21)860m x mx +++=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则

122821m x x m +=-+，12

26

21x x m =+，

12|||MN x x =-=， A 到MN

的距离d =

所以1||2AMN

S MN d ?=?

?=

4

4=≤

=.

=272m =，所以229187t m ==，29414t p =

=.

22．解：（I ）∵1

()(21)a f x a x x

'=-+

∵(1)0a f =，又∵()0a f x ≤恒成立，∴(1)a f 是()a f x 的最大值 ∴(1)0a f '=，∴1a =-

反过来，当1a =-时，显然()0a f x ≤恒成立. ∴1a =-

（II ）（i ）∵1

()(21)a f x a x x

'=-+

，由切点(,)Q m n ，则有：

1(21)(1)ln 1

a m k m am m m km ?

-+=?

?

?-+=+?①②

，

把①代入②可得：2

ln 2

m a m -=

， 代入①式得：2

(21)(ln 2)m m m

k m --+=（**），

（ii ）根据题意方程（**）有三个不同的解， 令2

(21)(ln 2)()m m m

F m m

--+=

∴24

1

[2(ln 2)(21)

1][(21)(ln 2)]2()m m m m m m m m F m m

-+-+?---+?'= 3

(2ln 1)(4ln 2ln 64)

m m m m m m m m

-----+= 33

2ln 2ln 55(1)(52ln )m m m m m m m m

-++---== 由()0F m '=，解得两根分别为1与52

e

∴当(0,1)m ∈时，()0F m '<，()F m 单调递减；当52

(1,m e ∈时，()0F m '>，()F m 单调递增；当52

(,)m e ∈+∞时，()0F m '<，()F m 单调递减 ∴()F m 的极小值为(1)1F =-；()F m 的极大值为552

2

5

41

()2e F e e -=

又∵5

2

(,)m e ∈+∞时，2

(21)(ln 2)()0m m m

F m m --+=

>

∴当52

5

41

(0,

)2e k e -∈时，方程（**）有三个不同的根， 下面说明三个不同的m 对应的a 也是不同的：

设方程（**）的三个不同的根分别为：123,,m m m ，且52

12301m m e m <<<<< 则有：1121ln 2m a m -=

，2222ln 2

m a m -=，332

3

ln 2m a m -=，显然1230,,0a a a <>

只需说明23a a ≠即可， 又由23()()F m F m =可得：

333

22222

23

(21)(ln 2)(21)(ln 2)m m m m m m m m --+--+= 即223323

11

(21)(21)m a m a m m -+

=-+

，假设23a a λ==， 则有2332112()m m m m λ-=

-

，即23

1

2m m λ= 即

32322222

232323

ln 2ln ln ln 21

2m m m m m m m m m m λ---====- 即3223321ln

()02m m m m m m --=，令23

1m

s m =<，即11ln ()02s s s --=

设11

()ln ()2G s s s s =-

- ∴2

211111()(1)(1)022G s s s s

'=-+=--<

∴()G s 在(0,1)上是减函数，即()(1)0G s G >=，与()0G s =矛盾 ∴假设不真，即23a a ≠

∴当52

5

41

(0,

)2e k e

-∈，存在三个不同的实数123a a a ，，使得直线l 与曲线1

()a f x ，2

()a f x ，3()a f x 同时相切．