上海市静安区2015高三数学二模(理科)
静安区2014学年第二学期高三年级教学质量检测
数学试卷（理科） 2015.04.
（满分150分，考试时间120分钟）
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结
果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知抛物线22y px =的准线方程是2x =-，则p = ．
2．已知扇形的圆心角是1弧度，半径为5cm ，则此扇形的弧长为 cm ． 3．复数
34i
i
-（i 为虚数单位）的模为 ．
4．函数2y x =的值域为 ． 5．若2021310x y -??????
=
??? ?-??????
，则x y += ．
6．在9
21x x ?
?- ??
?的展开式中，31x 的系数是 ．
7．方程)cos (lg )sin 3(lg x x -=的解集为 ．
8．射击比赛每人射2次，约定全部不中得0分，只中一弹得10分，中两弹得15分，某人每次射击的命中率均为
4
5
，则他得分的数学期望是 分． 9．过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的切线方程为 ． 10．在极坐标系中，点P (2，
6π
11)到直线πsin 16ρθ??-= ??
?的距离等于 ． 11．把一个大金属球表面涂漆，共需油漆2.4公斤．若把这个大金属球熔化制成64个大小都相
同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆 公斤．
12．设12,e e 是平面内两个不共线的向量，12(1)AB a e e =-+，122AC be e =-，0,0a b >>.若,,A B C 三点共线，则12
a b
+的最小值是 ．
13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n A ，等比数列{}n b 的前n 项和为n B ，若33a b =，44a b =，且
53427A A B B -=-，则5353
a a
b b +=
+
．
14．已知：当0x >时，不等式
11kx b x
≥++恒成立，当且仅当1
3x =时取等号，则k = ．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸
的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15.如图，ABCDEF 是正六边形，下列等式成立的是（ ） （A ）0AE FC ?= （B ）0AE DF ?> （C ）FC FD FB =+ （D ）0FD FB ?<
16.已知偶函数)(x f 的定义域为R ，则下列函数中为奇函数的是（ ） （A ）)](sin[x f （B ）)(sin x f x ?（C ）)(sin )(x f x f ?（D ）2)](sin [x f 17. 如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是（ ）
（A ）①是循环变量初始化，循环就要开始 （B ）②为循环体
（C ）③是判断是否继续循环的终止条件
（D ）输出的S 值为2，4，6，8，10，12，14，16，18.
18.定义：最高次项的系数为1的多项式1110n n n p (x)x a x a x a --=++鬃?+（*∈n N ）的其余系数(0,1,,1)=???-i a i n 均是整数，则方程()0=p x 的根叫代数整数． 下列各数不是代数整数的是（ ）
三、解答题（本大题满分
74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域
内写出必要的步骤.
19. (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．
F
如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知21===AB BC AA ，AB ⊥BC ． （1）求四棱锥111A BCC B -错误！未指定书签。的体积；
（2）求二面角111C C A B --的大小．
20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数)(),(x g x f 满足关系)()()(α+?=x f x f x g ，其中α是常数. （1）若x x x f sin cos )(+=，且2
π
α=，求)(x g 的解析式，并写出)(x g 的递增区间；
（2）设1
()22x x
f x =+
，若)(x g 的最小值为6，求常数α的值．
21. (本题满分14分） 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
某公园有个池塘，其形状为直角ABC ?，090C ∠=，AB 的长为2百米，BC 的长为1百米．
（1）若准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB 、BC 、CA 上取点D E F 、、，如图(1)，使得EF//AB ，EF ED ⊥，在DEF ?内喂食，求当DEF ?的面积取最大值时EF 的长；
（2）若准备建造一个荷塘，分别在AB 、BC 、CA 上取点D E F 、、，如图(2)，建造DEF ?连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使DEF ?为正三角形，记FEC α∠=，求DEF ?边长的最小值及此时α的值．(精确到1米和0.1度)
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分．
图(2)图(1)
A C B
C A F E
F
E A 1
A 1
在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2
218
x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不 重合的点． （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；
（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；
（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积取最小值时，求直线AB 的方程．
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
设{}n a 是公比为(1)q q
≠的等比数列，若{}n a 中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称
{}n a 是封闭数列.
（1）若1
23a q ==，，判断{}n a 是否为封闭数列，并说明理由；
（2）证明{}n a 为封闭数列的充要条件是：存在整数1m ≥-，使1m a q =；
（3）记n ∏是数列{}n a 的前n 项之积，2log n
n b =∏，若首项为正整数，公比2q =，试问：
是否存在这样的封闭数列{}n a ，使12
11111
lim 9n n b b b →∞??++???+= ???，若存在，求{}n a 的通项公式；若不存在，说明理由．
3区2014学年第二学期高三二模质量抽测（文、理）
参考答案及评分标准 2015.04
说明：
1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．
3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1． 4； 2．5； 3．5； 4．[)1,+∞；
5． 2； 6． 126； 7．（文）{|,}6
x x k k Z π
π=+∈ 8.（文）13
；
（理） 5{|2,}6
x x k k Z π
π=+
∈ （理）12.8；
9. （文）1； 10． ；
（理）210x y -+= ； 1； 11． 9.6； 12. 4；
13. （文）2-； 14. 9
16-
.
（理）4
5
-
二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. A ；16. B ； 17． D ；18. A .
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题8分.
19．解：（文科）(1) 因为三棱柱的体积为
16AA =，
从而2ABC S BC ?=
= 因此BC =………………………2分
该三棱柱的表面积为2+ABC S S S ?=?=全侧………4分
(2)由（1）可知BC =因为1CC //1AA .所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA 所成的角， ………8分
在Rt 1BC C ?中，1tan 63BC C ∠==， 所以1BC C ∠=6
π. 异面直线1BC 与1AA 所成的角
6
π
……………………………………………12分 解：（理科）(1)因为AB ⊥BC ，三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，所以11AB BCC B ⊥，从而11A B 是四棱锥111A BCC B -的高. ……………………………………2分 四棱锥111A BCC B -错误！未指定书签。的体积为18
22233
V =
???=错误！未指定书签。…………………………4分
（2）如图（图略），建立空间直角坐标系．
则A （2，0，0），C （0，2，0），A 1（2，0，2），
B 1（0，0，2），
C 1（0，2，2）， …………………………………………………6分 设AC 的中点为M ，,,1CC BM AC BM ⊥⊥
)0,1,1(11=⊥∴BM C ，C A BM 即平面是平面A 1C 1C 的一个法向量．
设平面A 1B 1C 的一个法向量是),,(z y x n =，)0,0,2(),2,2,2(11-=--=B A
…8分
,0222,02111=-+-=?=-=?∴z y x A x B A
令z=1，解得x=0，y=1．)1,1,0(=∴， …………………………………………9分 设法向量与BM 的夹角为?，二面角B 1—A 1C —C 1的大小为θ，显然θ为锐角．
||1cos |cos |,.
2
3||||n BM n BM π
θφθ?==
==?解得
111.
3
B A
C C π
∴--二面角的大小为………………………………………………12分
20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
20.解：（1） x x x f sin cos )(+=，2
π
α=
∴x x x f sin cos )(-=+α；
∴x x g 2cos )(=………………………………………………………………4分
递增区间为1,2k k ππππ??++????
，（k Z ∈）（注：开区间或半开区间均正确） ……………………………………………………………………………6分
（2）（文）()()1g x x x α=?+≥，当1,2x ??∈+∞????时，1x x
α≥-………8分 令1()h x x x =-，则函数()y h x =在1,2x ??∈+∞????上递减………………10分 所以max 13
()()22h x h ==………………………12分
因而，当32α≥
时，()1g x ≥在
1,2x ??∈+∞?
???上恒成立………………………14分
（理） 1111()2222222222x x x x
x x x x g x αααα++?
???????=+
?+=+??+ ? ? ? ??????????
，………8分 ()
()
2
2
1
11()22
22262222x x g x α
αα
αα
α=?+
++
≥++=?…………………10分
解得22α=… ……………………………………………………………12分
所以(2log 2α=±………………………………………………………………14分 21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
21.解：(1)设EF x =，则2x CE =
，故12
x
BE =-
，所以12x DE ?=-???，……2分
1,(0,2)2DEF x S x ???
=
-∈ ???
，……………………………………………………4分
因为2
11122422DEF
x x x x S ?????-≤+- ? ?????
当且仅当1x =时等号成立， 即(
)max DEF S ?=
6分 (2)在Rt ABC ?中，030A ∠=，设FEC α∠=，0,2πα??
∈ ???
，则
090EFC α∠=-，000018060(90)30AFD αα∠=---=+，…………………………8分
所以000018030(30)120ADF αα∠=--+=- 设CF x =
，则AF x =，在ADF ?
中，
sin 30DF =，………………10分 又由于sin sin x EF DF αα==
，所以
0sin 30DF =………………………11分
化简得0.65DF ≥
≈百米=65米………………………………13分
此时tan ?=
，040.9?≈,049.1α≈…………………………………………………14分 解法2：设等边三角形边长为EF ED DF y ===，
在△EBD 中，60B ∠=，EDB α∠=，…………………………………………8分 由题意可知cos CE y α=，…………………………………………………………9分 则1cos EB y α=-，所以
1cos sin 60sin y y α
α
-=
，……………………………………11分
即0.65y =≥
≈，………………………………………………13分
此时tan ?=
，040.9?≈,049.1α≈…………………………………………………14分22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.
22.解：（1
）椭圆一个焦点和顶点分别为，………………………1分
所以在双曲线22221y x a b
-=中，27a =，28c =，2221b c a =-=， 因而双曲线方程为2
217
x y -=．……………………………………………………4分 （2）设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =，0OA OM ?=．
即22224()0x y m n mx ny ?+=+?+=?
，，………………………………………………………………5分
解得22221414
m y n x ?=???=?，．……………………………………………………………………7分
因为点()A m n ，在椭圆C 上，所以2218
m n +=，即…
()()2
2
1y
x +=，
亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为22
1432
x y +=．…………………9分
（3）（文）因为AB 所在直线方程为(0)y kx k =>． 解方程组22
18x y y kx ?+=???=?
，，
得2
2
818A x k =+，222818A k y k =+， 所以22222
222
888(1)181818A A
k k OA x y k k k +=+=+=
+++，222
232(1)418k AB OA k +==+. 又2
2181x y y x k ?+=????=-??
，， 解得2228+8M k x k =，2
28+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．………… 11分
由于2
22
14AMB
S AB OM =?△2222132(1)8(1)418+8
k k k k ++=?
?+222264(1)32(18)(+8)7k k k +==+……………14分 解得22221(61)(6)066k k k k --=?==或
即k k ==又0k >，所以直线AB
方程为y x =
或y =………………………………… 16分 （3）（理）（方法1）因为AB 所在直线方程为(0)y kx k =>． 解方程组22
18x y y kx ?+=???=?
，，
得2
2
818A x k =+，222818A k y k =+， 所以22222
222
888(1)181818A A
k k OA x y k k k +=+=+=
+++，222
232(1)418k AB OA k +==+. 又2
2181x y y x k ?+=????=-??
，，
解得2228+8M k x k =，2
28+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．………… 11分
由于2
22
14AMB
S AB OM =?△222
2132(1)8(1)418+8k k k k ++=??+
2222
2264(1)392256
8(18)(+8)818658k k k k k
+==-≥+++……………………………………………14分 或(
)
22
2
2264(1)18+8
2
k k k +≥
++222264(1)256
8181(1)4
k k +==
+，
当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝1时等号成立，
此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169
．………………………………………… 15分
AB 所在直线方程为y x =． ………………………………………………… 16分
（方法2）设()M x y ，，则()(0)A y x λλλλ-∈≠R ，
，， 因为点A 在椭圆C 上，所以222(8)8y x λ+=，即222
8
8y x λ
+=（i ）
又2288x y +=（ii ）
（i ）+（ii ）得()
2228119x y λ+=+，………………………………………………11分
所以()
228116||()||AMB S OM OA x y λλλ?=?=+=+≥.……………………………14分
当且仅当1λ=±（即1AB k =±）时，()min 16
9
AMB S ?=
. 又0k > AB 所在直线方程为y x =．………………………………………………… 16分
23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. 23.解：（1）{}n a 不是封闭数列，因为123n n a -=?，…………………………………… 1分 对任意的,m n N *∈，有243m n n m a a +-?=?，…………………………………… 2分 若存在
p ，使得n m p a a a ?=，即132p m n --+=，31log 2p m n --+=，该式左边为整数，右边是
无理数，矛盾．所以该数列不是封闭数列…………………………………… 4分
（2）证明：（必要性）任取等比数列的两项(),s t a a s t ≠，若存在k a 使s t k a a a =，则
211s t k a q q +--?=，解得11k s t a q --+=.故存在1m k s t Z =--+∈，使1m a q =，…… 6分
下面证明整数1m ≥-．
对1q ≠，若1m <-，则取2p m =-≥，对1,p a a ，存在u a 使1p u a a a =， 即11m p u q q q --?=，11u q q --=，所以0u =，矛盾，
故存在整数1m ≥-，使1m a q =．…………………………………… 8分 （充分性）若存在整数1m ≥-，使1m a q =，则1n m n a q +-=， 对任意*,s t N ∈，因为(1)11s t m m s t s t m a a q a ++-+-++-==， 所以{}n a 是封闭数列. …………………………………… 10分
（3）由于(n 1)2
121
2n n n n a a a a -∏=????=?，所以21(n 1)
log 2
n n b n a -=+
，……………11分 因为{}n a 是封闭数列且1a 为正整数,所以，存在整数0m ≥，使12m
a =，
若11a =，则(1)2
n n n b -=，此时11b 不存在．所以12
111lim()
n n b b b →∞+++
没有意义…12分
若12a =，则(1)2
n n n b +=，所以1211111
lim()29n n b b b →∞+++
=>，………………… 13分
若14a =，则(3)2
n n n b +=，于是12(3)n b n n =+， 所以12
11
111lim(
)9n n b b b →∞
+++
=，…………………………………… 16分
若14a >，则(3)2
n n n b +>，于是12(3)n b n n <+， 所以12
11
111lim(
)9n n b b b →∞
+++
<，…………………………………… 17分
综上讨论可知：14a =，1*42,()n n a n N -=?∈，该数列是封闭数列．……… 18分