信道编码习题解答
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第五章 信道编码 习题解答
1．写出与10011的汉明距离为3的所有码字。
解：共有10个：01111，00101，00000，01010，01001，00110，11101，10100，11000，11110。
2． 已知码字集合的最小码距为d ，问利用该组码字可以纠正几个错误可以发现几个错误请写出一般关系式。 解：根据公式：
(1)1d e ≥+ 可发现e 个错。 (2)21d t ≥+ 可纠正t 个错。
得出规律：
（1）1d = ，则不能发现错及纠错。 （2）d 为奇数：可纠
1
2d -个码元错或发现1d -个码元错。 （3）d 为偶数：可纠12
d -个码元错，或最多发现1d -个码元错。 （4）码距越大，纠、检错能力越强。
3．试计算（8，7）奇偶校验码漏检概率和编码效率。已知码元错误概率为
410e p -=。
解：由于410e p -=较小，可只计算错两个码元（忽略错4或6个码元）的情况：
228788!
10 2.8106!2!
e p C p --==
?=?? 7
87.5%8
η=
=
4．已知信道的误码率410e p -=，若采用“五三”定比码，问这时系统的等效（实际）误码率为多少
解：由于410e p -=较小，可只计算错两个码元的情况
11252112
83232(1)610e e e p C C p p C C p --=-≈=?
5．求000000，110110，011101，101011四个汉明码字的汉明距离，并据此求出校正错误用的校验表。 解：先求出码字间距离：
000000 110110 011101 101011
000000 4 4 4 110110 4 4 4 011101 4 4 4 101011 4 4 4 汉明距离为4，可纠一位错。
由于一个码字共有6个码元，根据公式：21617r n ≥+=+= 得 3r = 即每个码字应有3位监督码元，6-3=3位信息码元。
直观地写出各码字：123456
000000110110011101101011
x x x x x x
令456x x x 为监督码元，观察规律则可写出监督方程：4135236
12x x x x x x x x x
=⊕??
=⊕??=⊕?
从而写出校验子方程：11342235
3126s x x x s x x x s x x x ***
***
***?=⊕⊕?=⊕⊕??=⊕⊕?
列出校验表：
6．写出信息位6k =，且能纠正1个错的汉明码。
解：汉明码的信息码元为六个，即：6k =。监督码元数r 应符合下式：
217r k r r ≥++=+
取满足上式的最小r ：4r =，即为(10，6)汉明码。其码字由10个码元构成：
12345678910x x x x x x x x x x 。
先设计校验表(不是唯一的)：
根据校验表写出校验子方程：****
11237****21458
****
32469****
4
35610s x x x x s x x x x s x x x x s x x x x ?=⊕⊕⊕?=⊕⊕⊕??=⊕⊕⊕??=⊕⊕⊕? 写出监督方程，即监督码元与信息码元之间的关系：7123
8145
924610356
x x x x x x x x x x x x x x x x =⊕⊕??=⊕⊕??=⊕⊕??=⊕⊕?
根据监督方程编码，写出（10，6）汉明码码字(大部分略，同学们可自行完成)：
7. 已知纠正一位错的（7，4）汉明码的生成矩阵为：10001100
100101[]00100110001111G ????
?
?=??
??
??
1）请写出其监督矩阵； 2）请写出其校验表；
3）对信源序列1110，1010，0110，...进行编码；
4）对接收端接收到的码字序列0011101，1100100，1011001，…进行译码。 解：1）监督矩阵：右边3×3是单位阵，左边3×4子阵是生成矩阵右边4×3子阵的转置：
1101100[]10110100111001H ????=??????
2）校验表：每个校验子列向量对应为监督矩阵的列向量，增加一个无差错列向量000。
3）根据[][][]C X G =?编码：1234567123410001100
100101[][]00100110001111x x x x x x x x x x x ????
?
?=??
??
??
或者用由监督矩阵得到的监督方程编码：
1234567
1101100[]10110100111001x x x x x x x H ????=??????
5124
61347234
x x x x x x x x x x x x =⊕⊕??
?=⊕⊕??=⊕⊕?
编码得：1110000，1010101，0110110，…
4）根据校验子方程（校验子方程是监督方程左右两边异或）：
****
11245****21346****
3
2347s x x x x s x x x x s x x x x ?=⊕⊕⊕?=⊕⊕⊕??=⊕⊕⊕? 0011101 à [S]=[001]T à x 7*错 à 0011100 à 0011 1100100 à [S]=[111]T à x 4*错 à 1101100 à 1101 1011001 à [S]=[011]T à x 3*错 à 1001001 à 1001 译码得：0011，1101，1001，…
8. （7，4）循环码的生成多项式为：32()1g x x x =++ 1）写出其监督矩阵和生成矩阵；
2）对信息码元0110，1001进行编码，分别写出它们的系统码和非系统码； 3）对接收端接收到的系统码字0101111，0011100进行译码。
解：1）生成矩阵：生成多项式系数降幂排列：1101，补零成n 位的行向量：1101000，循环移位成k 行的矩阵：
47
11010000110100[]00110100
001101G ?????
??=??
??
??
监督矩阵：校验多项式系数升幂排列：10111，补零成n 位的行向量：1011100，循
环移位成r 行的矩阵：37
1011100[]01011100010111H ?????=??????
2）根据[][][]C X G =?编码：
111010000
110100[C ][0110]00110100
001101????
?
?=??
??
??
得非系统码字：0101110，1100101
根据多项式除法（长除法见第9题解答）编码得系统码字：0110100，1001011，具体方法如下：
0110 m (x ) = x 2
+x x r m (x ) = x 5+x
4
54223232
()()11
r x m x x x x x g x x x x x +==+++++ 542()()()r C x x m x r x x x x =+=++à 0110100
1001 m (x ) = x 3+1 x r m (x ) = x 6+x 3
6332
3232
()11()11
r x m x x x x x x x g x x x x x ++==++++++++ 63()()()1r C x x m x r x x x x =+=+++à 1001011
3）生成多项式为g (x ) = x 3+x 2
+1的（7,4）循环码校验表（获取方法见第9题解答）
0101111写成多项式，除以生成多项式得余式1， à [S]=[001]T ，查表知C 0*错，即0101111 à 0101110，去尾部3位监督码元，得信息码元0101 。
5322
3232
+11+11
x x x x x x x x x x +++=+++++ 0011100写成多项式，除以生成多项式得余式x 2+x ，à [S]=[110]T ，查表知C 6*错，即0011100 à 1011100，去尾部3位监督码元，得信息码元1011。
9. 已知（7，4）循环码的生成多项式为：32()1g x x x =++
当收到一循环码字为0010011时，根据校验子判断有无错误哪一位错了 解：32()1g x x x =++
对信息码元0001用多项式除法编码得循环码字：0001101。
将0001101错成0001100，除以生成多项式得余式1，s 2s 1s 0=001表示C 0*错。 将0001101错成0001111，除以生成多项式得余式x ，s 2s 1s 0=010表示C 1*错。 将0001101错成0001001，除以生成多项式得余式x 2，s 2s 1s 0=100表示C 2*错。 ……
将0001101错成1001101，除以生成多项式得余式x 2+x ，s 2s 1s 0=110表示C 6*错。 写出校验表：
当收到一循环码字0010011时其对应的多项式为: 41x x ++。 列竖式做多项式除法（以下左式）：
32433
322
1
11
x x x x x x
x x x x ++++++++
32433
2
321
11
x x x x x x
x x x x +++++++++
得余式为2x ，s 2s 1s 0=100，表示C 2*错，即右起第三位错，正确的码字应为
0010111，其对应的多项式为：421x x x +++。将此多项式进行验证（上式右式），余式为0，可见正确。
10. 已知（3，1，3）卷积码的监督方程为：,-1
,-2a i i i b i
i i p m m p m m =+??
=+?
或者：已知（3，1，3）卷积码的基本监督矩阵：0[]H ??
=????
0 0 1 0 0 1 1 01 0 0 0 0 0 1 0 1 对信源序列010110…进行编码。
解：对于（3，1，3）卷积码，若输入信息码元： m i -2 , m i -1, m i , …，则编码后码字：
m i -2, p a,i -2, p b,i -2, m i -1, p a,i -1, p b,i -1, m i , p a,i , p b,i , …
根据监督方程编码得：000，111，010，110，101，011， （默认初始化状态为0）
11. 已知（4，3，3）卷积码的基本监督矩阵：
[][]110010101111H =，
对输入信息码元:…进行编码。
解：根据k = 3分组，计算1位监督码元置于后，得卷积码字：1010，1001，1100，1111，…
（提示：编码后的码字形式为：***012034516782a a a p a a a p a a a p
根据监督矩阵知其计算方法，前三个码字计算为：
*
0012p a a a =⊕⊕
*102345 p a a a a a =⊕⊕⊕⊕
*20135678 p a a a a a a a =⊕⊕⊕⊕⊕⊕
第四个码字起，移动对应位置使p 2*为当前要求的监督码元，计算为：
*20135678 p a a a a a a a =⊕⊕⊕⊕⊕⊕）
作业：1、3、4、7、8、10、11