19.2新定义运算 中考真题(含参考答案) 2015-2017年全国中考数学真题分类特训

3.2 新定义运算

2017年中考真题

1. 题型特点

新定义题是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新运算、新概念等．定义的新运算与已经学习过的运算有严格区别，不一定符合运算规律和运算顺序，定义的新概念有其自身的内涵和外延，且每个新定义只能在本题中使用的一类题目．

这类题主要考查考生的阅读理解能力，接受能力、应变能力和创新能力．

新定义题的呈现方式主要是：

(1)新运算定义型问题，是用某些特殊的符号如?，※，[]，…等表示算式的运算，解答时必须先理解定义的含义，将其转化为一般的加、减、乘、除、乘方、开方等运算，形成一种新的运算；

(2)新概念(规则)定义型问题，就是定义一个新的概念(规则)，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型；

(3)几何图形的新定义型问题，是指对某些满足一定条件的几何图形给以特定的名称，并探究其性质的一种题型．

2. 解题思路

解题时把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．解题的关键：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据．即“给什么，用什么”是应用新“定义”解题的基本思路．

【例1】(20172四川宜宾)规定：[x]表示不大于x的最大整数，(x)表示不小于x的最小整数，[x)表示最接近x的整数(x≠n＋0.5，n为整数)，例如：[2.3]＝2，(2.3)＝3，[2.3)＝2.则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)

①当x＝1.7时，[x]＋(x)＋[x)＝6；

②当x＝－2.1时，[x]＋(x)＋[x)＝－7；

③方程4[x]＋3(x)＋[x)＝11的解为1＜x＜1.5；

④当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋(x)＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有两个交点．

思路点拨根据题意可以分别判断各个结论是否正确，从而可以解答本题．

①当x＝1.7时，

[x]＋(x)＋[x)

＝[1.7]＋(1.7)＋[1.7)

＝1＋2＋2＝5，故①错误；

②当x ＝－2.1时，

[x ]＋(x )＋[x )

＝[－2.1]＋(－2.1)＋[－2.1)

＝(－3)＋(－2)＋(－2)＝－7，故②正确；

③当1＜x ＜1.5时，

4[x ]＋3(x )＋[x )

＝431＋332＋1

＝4＋6＋1

＝11，故③正确；

④∵－1＜x ＜1，

∴当－1＜x ＜－0.5时，

y ＝[x ]＋(x )＋x ＝－1＋0＋x ＝x －1，

当－0.5＜x ＜0时，

y ＝[x ]＋(x )＋x ＝－1＋0＋x ＝x －1，

当x ＝0时，

y ＝[x ]＋(x )＋x ＝0＋0＋0＝0，

当0＜x ＜0.5时，

y ＝[x ]＋(x )＋x ＝0＋1＋x ＝x ＋1，

当0.5＜x ＜1时，

y ＝[x ]＋(x )＋x ＝0＋1＋x ＝x ＋1.

∵y ＝4x ，

则x －1＝4x 时，得x ＝－13

； x ＋1＝4x 时，得x ＝13

； 当x ＝0时，y ＝4x ＝0，

∴当－1＜x ＜1时，函数y ＝[x ]＋(x )＋x 的图象与正比例函数y ＝4x 的图象有三个交点，故④错误．

故答案应为：②③.

完全解答②③.

归纳交流本例题属于定义新运算型问题，考查对新定义的理解以及有理数的运算、一次方程、不等式，以及一次函数知识．解答本题的关键是明确题意，根据题目中的新定义解答相关问题．

【例2】(20172江苏南通)我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形

内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”．

(1)等边三角形“内似线”的条数为________；

(2)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，求证：BD 是△ABC 的“内似线”；

(3)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别在边AC ，BC 上，且EF 是△ABC 的“内似线”，求EF 的长．

备用图

图3.2-1 思路点拨 (1)过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案；

(2)由等腰三角形的性质得出∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ，证出△BCD ∽△ABC 即可；

(3)分两种情况：①当CE CF ＝AC BC ＝43

时，EF ∥AB ，由勾股定理求出AB ＝AC 2＋BC 2＝5，作DN ⊥BC 于N ，则DN ∥AC ，DN 是Rt △ABC 的内切圆半径，求出DN ＝12

(AC ＋BC －AB )＝1，由角平分线定理得出DE DF ＝CE CF ＝43，求出CE ＝73

，证明△CEF ∽△CAB ，得出对应边成比例求出EF ＝3512

； ②当CF CE ＝AC BC ＝43时，同理，得EF ＝3512

即可． 完全解答 (1)3；理由如下：

过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图(1)所示：

图3.2-2(1)

则△AMN ∽△ABC ，△CEF ∽△CBA ，△BGH ∽△BAC ，

∴MN ，EF ，GH 是等边三角形ABC 的“内似线”．

(2)∵AB ＝AC ，BD ＝BC ，

∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC .

∴△BCD ∽△ABC .

∴BD 是△ABC 的“内似线”．

(3)设D 是△ABC 的内心，连接CD ，

则CD 平分∠ACB .

∵EF 是△ABC 的“内似线”，

∴△CEF 与△ABC 相似．

分两种情况：①当CE CF ＝AC BC ＝43

时，EF ∥AB ， ∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，

∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5.

作DN ⊥BC 于N ，如图(2)所示：

图3.2-2(2)

则DN ∥AC ，DN 是Rt △ABC 的内切圆半径，

∴DN ＝12

(AC ＋BC －AB )＝1. ∵CD 平分∠ACB ，

∴DE DF ＝CE CF ＝43

. ∵DN ∥AC ，

∴DN CE ＝DF EF ＝37，即1CE ＝37

. ∴CE ＝73

. ∵EF ∥AB ，

∴△CEF ∽△CAB .

∴EF AB ＝CE AC ，即EF 5＝734

. 解得EF ＝3512

； ②当CF CE ＝AC BC ＝43时，同理，得EF ＝3512

； 综上所述，EF 的长为3512

.

归纳交流本例题属于定义新概念型问题，理解新概念“内似线”是解题的基础，本例题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的内心、勾股定理、直角三角形的内切圆半径等知识．

【例3】(20172浙江绍兴)定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．

(1)如图(1)，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°，

①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD的长；

②若AC⊥BD，求证：AD＝CD.

(2)如图(2)，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．

(1)(2)

图3.2-3

思路点拨(1)①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；

②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；

(2)若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如图(2)中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，②当BF＝AB时，如图(3)中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可．完全解答(1)①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

∵AB＝BC，

∴四边形ABCD是菱形．

∵∠ABC＝90°，

∴四边形ABCD是正方形．

∴BD＝AC＝12＋12＝ 2.

图3.2-4(1)

②如图(1)中，连接AC，BD.

∵AB＝BC，AC⊥BD，

∴∠ABD＝∠CBD.

∵BD ＝BD ，

∴△ABD ≌△CBD .

∴AD ＝CD .

(2)若EF ⊥BC ，则AE ≠EF ，BF ≠EF ，

∴四边形ABFE 表示等腰直角四边形，不符合条件．

若EF 与BC 不垂直，

①当AE ＝AB 时，如图(2)中，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，

图3.2-4(2)

∴AE ＝AB ＝5.

②当BF ＝AB 时，如图(3)中，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，

图3.2-4(3)

∴BF ＝AB ＝5.

∵DE ∥BF ，

∴DE ∶BF ＝PD ∶PB ＝1∶2.

∴DE ＝2.5.

∴AE ＝9－2.5＝6.5.

综上所述，满足条件的AE 的长为5或6.5.

归纳交流本例题属于几何图形新定义型问题，考查正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．

一、 填空题

1. (20172河北)对于实数p ，q ，我们用符号min{p ，q }表示p ，q 两数中较小的数，如min{1,2}＝1，因此，min{－2，－3}＝________；若min{(x －1)2，x 2}＝1，则x ＝________.

2. (20172四川成都)在平面直角坐标系xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点P (x ，y )，

我们把点P ′????1x ，1y 称为点P 的“倒影点”

，直线y ＝－x ＋1上有两点A ，B ，它们的倒影点A ′，B ′均在反比例函数y ＝k x

的图象上．若AB ＝22，则k ＝________.

3. (20172上海)我们规定：一个正n 边形(n 为整数，n ≥4)的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n 边形的“特征值”，记为λn ，那么λ6＝________.

二、 解答题

4. (20172浙江湖州)对于任意实数a ，b ，定义关于“?”的一种运算如下：a ?b ＝2a －b .例如：5?2＝235－2＝8，(－3)?4＝23(－3)－4＝－10.

(1)若3?x ＝－2 011，求x 的值；

(2)若x ?3＜5，求x 的取值范围．

5. (20172湖南益阳)在平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如(－3,5)与(5，－3)是一对“互换点”．

(1)任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？

(2)M ，N 是一对“互换点”，若点M 的坐标为(m ，n )，求直线MN 的表达式(用含m ，n 的代数式表示)；

(3)在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象上有一对“互换点”A ，B ，其中点A 在反比例函数y

＝－2x

的图象上，直线AB 经过点P ????12，12，求此抛物线的表达式．

6. (20172江西)我们定义：如图(1)，在△ABC 中，把AB 边绕点A 顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB ′，把AC 边绕点A 逆时针旋转β得到AC ′，连接B ′C ′.当α＋β＝180°时，我们称△A ′B ′C ′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB ′C ′边B ′C ′上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．

(1)

(2)

(第6题)

特例感知：

(1)在图(2)，图(3)中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．

①如图(2)，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝________BC；

②如图(3)，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为________．

(3)(4)

(第6题)

猜想论证：

(2)在图(1)中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．

拓展应用：

(3)如图(4)，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝23，DA ＝6.在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△P AB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△P AB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

7. (20172江苏扬州)我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图(1)，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2－BO2的值，可记为AB△AC＝AO2－BO2.

(1)(2)(3)

(第7题)

(1)在图(1)中，若∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，AO是BC边上的中线，则AB△AC＝________，OC△OA＝________；

(2)如图(2)，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝120°，求AB △AC ，BA △BC 的值；

(3)如图(3)，在△ABC 中，AB ＝AC ，AO 是BC 边上的中线，点N 在AO 上，且ON ＝13

AO .已知AB △AC ＝14，BN △BA ＝10，求△ABC 的面积．

8. (20172江苏无锡)操作：“如图(1)，P 是平面直角坐标系中一点(x 轴上的点除外)，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，点C 绕点P 逆时针旋转60°得到点Q .”我们将此由点P 得到点Q 的操作称为点的T 变换．

(1)

(2)

(第8题) (1)点P (a ，b )经过T 变换后得到的点Q 的坐标为________；若点M 经过T 变换后得到点N (6，－3)，则点M 的坐标为________．

(2)A 是函数y ＝32

x 图象上异于原点O 的任意一点，经过T 变换后得到点B . ①求经过点O ，点B 所在直线的函数表达式；

②如图(2)，直线AB 交y 轴于点D ，求△OAB 的面积与△OAD 的面积之比．

9. (20172山东济宁)定义：点P 是△ABC 内部或边上的点(顶点除外)，在△P AB ，△PBC ，△PCA 中，若至少有一个三角形与△ABC 相似，则称点P 是△ABC 的自相似点．