土中应力计算

3 土中应力计算

学习目的和要求

通过本章的学习，深刻理解自重应力和附加应力的概念，掌握附加应力在水平和竖向的分布规律，熟练掌握自重应力、基底压力的计算，掌握基底集中荷载、均布矩形载荷、三角形荷载作用下竖向附加应力的计算。

考核知识点

?土的自重应力概念与计算

?基底压力的概念与计算

?地基附加应力概念与计算

考核要求

?土的自重应力概念与计算

识记：土的自重应力概念。

简单应用：地下水位升降及填土对土中自重应力影响。

综合应用：轴心和单向偏心荷载作用下基底压力的计算。

?基底压力的概念和计算

识记：基底压力的概念。

简单应用：基底压力的计算。

综合应用：轴心和单向偏心荷载作用下基底压力的计算。

?地基附加应力概念与计算

识记：地基附加应力的概念。

领会：地基附加应力的分布规律（应力扩散和应力叠加）；地基主要受力层

的概念。

综合应用：基底集中荷载、均布矩形载荷、三角形荷载作用下竖向附加应力的计算。

（查表确定竖向附加应力系数）。

3.1 土中自重应力

地基中的应力分：

自重应力——地基中的自重应力是指由土体本身的有效重力产生的应力。

附加应力——由建筑物荷载在地基土体中产生的应力，在附加应力的作用下，地基土将产生压缩变形，引起基础沉降。

计算土中应力时所用的假定条件：

假定地基土为连续、匀质、各向同性的半无限弹性体、按弹性理论计算。

地基中除有作用于水平面上的竖向自重应力外，在竖直面上还作用有水平向的侧向自重应力。由于沿任一水平面上均匀地无限分布，所以地基土在自重作用下只能产生竖向变形，

而不能有侧向变形和剪切变形。 3.1.1均质土的自重应力

a 、假定：在计算土中自重应力时，假设天然地面是一个无限大的水平面，因而在任意竖直面和水平面上均无剪应力存在。可取作用于该水平面上任一单位面积的土柱体自重计算。

b 、均质土层Z 深度处单位面积上的自重

应力为：

应力图形为直线形。

z cz γσ=

σcz 随深度成正比例增加；沿水平面则为均匀分布。

必须指出，只有通过土粒接 触点传递的粒间应力，才能使土

粒彼此挤紧，从而引起土体的变形，而且粒间

应力又是影响土体强度的—个重要因素，所以粒间应力又称为有效应力。因此，土中自重应力可定义为土自身有效重力在土体中引起的应力。土中竖向和侧向的自重应力一般均指有效自重应力。并用符号σcz 表示 。 3.1.2成层土的自重应力

地基土往往是成层的，成层土自重应力的计算公式：∑==

n

i i

i cz z 1

γ

σ

结论：土的自重应力随深度Z ↑而↑。其应力图形为折线形。

自然界中的天然土层，一般形成至今已有很长的地质年代，它在自重作用下的变形早巳稳定。但对于近期沉积或堆积的土层，应考虑它在自重应力作用下的变形。此外，地下水位的升降会引起土中自重应力的变化(图2—4)。

3.1.3

1、地下水对自重应力的影响

地下水位以下的土，受到水的浮力作用，使土的重度减轻。计算时采用水下土的重度（w sat γγγ-='） 2、不透水层的影响

不透水层指

基岩层

只含强结合水的坚硬粘土层 作用在不透水层层面及层面以下的土自重应力应等于上覆土和水的总重。 3、水平向自重应力

地地中除了存在作用于水平面上的坚向自重应力外,还存在作用于坚直面上的水平自重应力,根据弹性力学和土体的侧限条件,可得:

σcx =σcy =K o σ

cz

Ko:土的侧压力系数

4、地下水位升降引起的自重应力变化：地下水位下降自重应力增大，因没有水的浮力，地下水位上升自重应力减小。

[例题2—7] 某建筑场地的地质柱状图和土的有关指标列于例图2·1中。试计算地面下深度为2.5m 、5m 和9m 处的自重应力，并绘出分布图。

[解] 本例天然地面下第一层粉土厚6m ，其中地下水位以上和以下的厚度分别为 3.6 m 和2.4m ，第二层为粉质粘土层。依次计算2.5m 、3.6m 、5m 、6m 、9m 各深度处的土中竖向自重应力，计算过程及自重应力分布图一并列于例图2—1中。

3.2 基底压力

建筑物荷载通过基础传递给地基，在基础底面与地基之间便产生了接触应力。它既是基础作用于地基的基底压力，同时又是地基反用于基础的基底反力。

对于具有一定刚度以及尺寸较小的柱下单独基础和墙下条形基础等，其基底压力可近似地按直线分布的图形计算，即按下述材料力学公式进行简化计算。

1．基底压力的概念：

在基础与地基之间接触面上作用着建筑物荷载通过基础传来的压力称为基底压力。（方向向下）↓

单位面积土体所受到的压力称为基底压力。

2．地基反力：地基对基础的反作用力（方向向上）↑

3．基底压力的分布形态和哪些因素有关？

基础的刚度、地基土的性质、基础埋深、荷载大小。

4．基底压力的分布形态：

1）柔性基础

地基反力分布与上部荷载分布基本相同，而基础底面的沉降分布则是中央大而边缘小。

图3-2 柔性基础基底压力分布

2）刚性基础

在外荷载作用下，基础底面基本保持平面，即基础各点的沉降几乎是相同的，但基础底面的地基反力分布则不同于上部荷载的分布情况。刚性基础在中心荷载作用下，开始的地基反力呈马鞍形分布；荷载较大时，边缘地基土产生塑性变形，边缘地基反力不再增加，使地基反力重新分布而呈抛物线分布，若外荷载继续增大，则地基反力会继续发展呈钟形分布

图3-3 刚性基础基底压力分布图

马鞍形—一般建筑物基础属此形态，近似“直线形”

抛物线形

钟形

3.2.2 基底压力的简化计算

1、 中心荷载作用下的基底压力

中心荷载下的基础，其所受荷载的合力通过基底形心。基底压力假定为均匀分布(图2—5)，此时基底平均压力设计值按下式计算：

式中:F ：上部结构传至基础顶面的坚向力设计值,kN ；

G ：基础自重设计值及其上回填土重标准值，kN ；

r G ：基础及因填土的平均重度，一般取20kN/m 3

，在地下水位以下部分用有效重度； d ：基础埋深，必须从设计地面或室内外平均设计地面起算，m ； A ：基础底面面积，m 2

。

如基础长度大于宽度5倍时，可将基础视为条形基础进行计算。即可沿长度方向取1m 计算。

2、 偏心荷载下的基底压力

对于单向偏心荷载下的矩形基础如图2·6所示。 设计时，通常基底长边方向取与偏心方向一致，此时两短边边缘最大压力设计值与最小压力设计值按材料力学短柱偏心受压公式计算：

M ：作用于基础底面的力矩设计,kN.m ；

W ：基础底面的抵抗矩，m 3

，对于矩形截面W=bL 2

/6; Pmax 、pmin

：分别为基础底面边缘的最大、最小压力

F G p A

+=

Ad

G G γ=min

max p p W

M

lb G F ±+61F G e lb l +??

=

± ???

设计值。

将e=M/(F+G)、A=bl、W=bl2/6代入上式，得：

a 当e

b 当e=L/6时，基底压力呈三角形分布；

c 当e>L/6时，pmin<0，则：

pmax=2(F+G)/3ab

式中：a：单向偏心坚向荷载作用点至基底最大压力边缘的距离，m,a=L/2-e。

b：基础底面宽度。

3.2.3基底附加压力

建筑物建造前，土中早巳存在着自重应力。如果基础砌置在天然地面上，那末全部基底压力就是新增加于地基表面的基底附加压力。一般天然土层在自重作用下的变形早巳结束，因此只有基底附加压力才能引起地基的附加应力和变形。

实际上，一般浅基础总是埋置在天然地面下一定深度处，该处原有的自重应力由于开挖基坑而卸除。因此，由建筑物建造后的基底压力中扣除基底标高处原有的土中自重应力后，

才是基底平面处新增加于地基的基底附加压力，基底平均附加压力值按下式计算(图2—8)：

σcz

P

即P o=P-σcz —引起地基的变形（即

基础的沉降）

p0=p-r0d

p0：基底附加压力设计值，kPa；

p：基底压力设计值，kPa；

r0：基底标高以上各天然土层的加

权平均重度。其中地下水位以下部分取

有效重度，kN/m3；

d：从天然地面起算的基础埋深，m。

有了基底附加压力，即可把它作为作用在弹性半空间表面上的局部荷载，由此根据弹性力学求算地基中的附加应力。

3.3 地基附加应力

地基附加应力是指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。其计算方法一般假定地基土是各向同性的、均质的线性变形体，而且在深度和水平方向上都是无限延伸的，即把地基看成是均质的线性变形半空间，这样就可以直接采用弹性力学中关于弹性半空间的理论解答。

计算地基附加应力时，都把基底压力看成是柔性荷载，而不考虑基础刚度的影响。

2

2

5223

)

(23z F

z r Fz Z α

πσ=+=[]

2

521)/(1

23+=

z

r πα3.3.1 集中力作用下土中应力计算

1、单个竖向集中力作用

在均匀的、各向同性的半无限弹性体表面作用一竖向集中力F 时，半无限体内任意点M 的应力（不考虑弹性体的体积力）可由布辛克斯纳解计算，如图3-5所示。工程中常用的竖向正应力s z 及地表上距集中力为R 处的竖向位移w （沉降）可表示成如下形式：

图3-5 竖向集中力作用下的附加应力

E － 土的弹性模量；

μ － 泊松比。

工程上对上述应力公式加以改造为：

（ α称为集中力作用下的地基竖向力系数，可由表查得） 2、多个集中力及不规则分布荷载作用 3.3.2

分

布荷载下地基附加应力

对实际工程中普遍存在的分布荷载作用时的土中应力计算，通常可采用如下方法处理：

θππσ35

3cos 2323R F

R Fz Z ==()??

??

??-++=R R z E F w 1)1(12132μπμθ

cos 222z

z y x R =

++=

o

c z p ασ

=当基础底面的形状或基底下的荷载分布不规则时，可以把分布荷载分割为许多集中力，然后用布西奈斯克公式和叠加原理计算土中应力。当基础底面的形状及分布荷载都是有规律时，则可以通过积分求解得相应的土中应力。

如图3-6所示，在半无限土体表面作用一分布荷载p (x ,y )，为了计算土中某点M (x ,y ,z )的竖向正应力σz 值，可以在基底范围内取单元面积d F =d ξd η，作用在单元面积上的分布荷载可以用集中力d Q 表示，d Q =p (x ,y ) d ξd η。这时土中M 点的竖向正应力σz 值可用下式在基底面积范围内积分求得，即：

图3-6（右图）分布荷载作用下土中应力计算

1、空间问题的附加应力计算

常见的空间问题有：均布矩形荷载、三角形分布的矩形荷载及均布的圆形荷载。

（1） 均布矩形荷载

图3-7（右图）矩形面积均布荷载作用下土中应力计算 ① 矩形面积角点下土中竖向应力计算

在图3-7所示均布荷载作用下，计算矩形面积角点c 下深度z 处N 点的竖向应力s z 时，同样可其将表示成如下形式： 角点应力系数：

在矩形面积上作用均布荷载时，若要求计算非角点下的土中竖向应力，可先将矩形面积按计算点位置分成若干小矩形，如图3-8所示。在计算出小矩形面积角点下土中竖向应力后，再采用叠加原理求出计算点的竖向应力s z 值。这种计算方法一般称为角点法。

图3-8 角点法计算土中任意点的竖向应力

② 矩形面积中点O 下土中竖向应力计算

[]

?

??+-+-=

=A

A

z z z y x d d y x p z

d 2

5

2

22

3

)()

(),(23ηξη

ξ

π

σσ???

?

????+++++++++=

2222

222222

222arctan ))(()2(21z b l z lb

z b l z b z l z b l lbz a c π

p

z d d z

o l l b b z αηξξ

ηπ

σ=++=

??--2222

5

2223)

(

23???

?????+++++++++=2222222320412arctan

41)4)(41()81(22m n m n

m

n m n m m n mn a

π??

=++=

l o b

o

z p z y x dxdy b x

p z 0

112

52220

3

)

(23απ

σ???

?????+++++=

222

2222

31)(21

b l z

z

b l z b z b a t π

??????????

???????????

?

?????

? ??+-

=+=

??

2

3202000

20

2

52230111

1)

(23r z p z r drd rz p z π

πθσ图3-7表示在地基表面作用一分布于矩形面积(l ×b )上的均布荷载p ，计算矩形面积中点下深度z 处M 点的竖向应力s z 值.

式中n =l /b 和m =z /b 。

(2) 矩形面积上作用三角形分布荷载时土中竖向应力计算

图3-9（右图） 矩形面积三角形荷载作用下土中应力计算

当地基表面作用矩形面积(l ×b )三角形分布荷载时，为计算荷载为零的角点下的竖向应力值，可将坐标原点取在荷载为零的角点上，相应的竖向应力值σz 可用下式计算：

(3) 圆形面积上作用均布荷载时土中竖向正应力的计算

为了计算圆形面积上作用均布荷载p 时土中任一点M (r ，z )的竖向正应力，可采用原点设在圆心O 的极坐标(如图3-10)，由以下公式在圆面积范围内积分求得。

图3-10（右图） 圆形面积均布荷载作用下土中应力计算

2、 平面问题的附加应力

设在地基表面上作用有无限长的条形荷载，且荷载沿宽度可按任何形式分布，但沿长度

方向则不变，此时地基中产生的应力状态属于平面问题。在工程建筑中，当然没有无限长的受荷面积，不过，当荷载面积的长宽比l/b ≥10时，计算的地基附加应力值与按L/b=∝时的解相比误差甚少。因此，对于条形基础，如墙基、挡土墙基础、路基、坝基等，常可按平面问题考虑。 （1）线荷载

（2）均布条形分布荷载下土中应力计算：

条形分布荷载下土中应力状计算属于平面应变问题，对路堤、堤坝以及长宽比l ／b ≥10的条形基础均可视作平面应变问题进行处理。

图3-11（右图）均布条形荷载作用下的土中应力计算

M （x,y ）点的三个附加应力分量为：

?

?

????+-+---++-=22222216)144()144(4221arctan 221arctan m m n m n m m n m n p o z πσ??

?

???+-+---++-=

22222

216)144()144(4221arctan 221arctan m m n m n m m n m n p o x πσ??

????+-+=2222216)144(32m m n n

m p o xz

π

τ

等值线图

3.3.3 非均质和各项异性地基中的附加应力

在柔性荷载作用下，将土体视为均质各向同性弹性土体时土中附加应力的计算与土的性质无关。但是，地基土往往是由软硬不一的多种土层所组成，其变形特性在竖直方向差异较大，应属于双层地基的应力分布问题。

1、双层地基

对双层地基的应力分布问题，有两种情况值得研究：一种是坚硬土层上覆盖着不厚的可压缩土层即薄压缩层情况；另一种是软弱土层上有一层压缩性较低的土层即硬壳层情况。当上层土的压缩性比下层土的压缩性高时（薄压缩层情况），即E1＜E2时，则土中附加应力分布将发生应力集中的现象。当上层土的压缩性比下层土的压缩性低时（即硬壳层情况），即E1＞E2，则土中附加应力将发生扩散现象，如图3-12所示。在实际地基中，下卧刚性岩层将引起应力集中的现象，若岩层埋藏越浅，应力集中愈显著。在坚硬土层下存在软弱下卧层时，土中应力扩散的现象将随上层坚硬土层厚度的增大而更加显著。因土的泊松比变化不大，其对应力集中和应力扩散现象的影响可忽略。

图3-12 双层地基中界面上附加应力的分布规律

双层地基中应力集中和扩散的概念有着重要工程意义，特别是在软土地区，表面有一层硬壳层，由于应力扩散作用，可以减少地基的沉降，故在设计中基础应尽量浅埋，并在施工中采取保护措施，以免浅层土的结构遭受破坏。 2、 变形模量随深度增大的地基

在地基中，土的变形模量E o 常随着地基深度增大而增大，这种现象在砂土中尤其显著。与均质地基相比，这种地基沿荷载中心线下，地基附加应力将产生应力集中。 可用以下半经验公式修正：

v － 为应力集中因素，对粘性、完全弹性体v ＝3；硬土v ＝6；砂土与粘土之间的土v ＝3～6。

3、 各项异性地基

天然沉积形成的水平薄交互层地基，其水平向变形模量E oh 大于竖向变形模量E ov

假定地基竖直和水平方向的泊松比相同，但变形模量不同条件下，均布线荷载下各项异性地基的附加应力为：

z σ － 线荷载作用下，均质地基的附加应力。

当非均质地基的E oh >E ov 时，地基中出现应力扩散现象；当E oh

3.4 有效应力原理

1、土中二种应力试验

在直径和高度完全相同的甲、乙两个量筒底部，放置一层松散砂土，其质量与密度完全 一样。

在甲量筒中放置若干钢球，使松砂承受σ的压力；在乙量筒中小心缓慢地注水，在砂面以上高度h 正好使砂层表面也增加σ的压力。

结论：甲、乙两个量筒中的松砂顶面都作用了相同的压力σ

，但产生两种不同的效果，

θπσv z R

vF

cos 22

=

ov

oh z

z E E /σσ=

'

A

A W

=

χ反映土体中

存在两种不同性质的力：

（1）由钢球施加的应力，通过砂土的骨架传递的应力（有效应力σ’），能使土层发生压缩变形，从而使土的强度发生变化；

（2）由水施加的应力通过孔隙水来传递（孔隙水 压力u ），不能使土层发生压缩变形。

现象：甲中砂面下降，砂土发生压缩。乙中砂面并不下降，砂土未发生压缩。

总应力：在土中某点截取一水平截面，其面积为A ，

截面上作用应力 σ，它是由上面的土体的重力、静水压力及外荷载P 所产生的应力，称为总应力。

有效应力：总应力的一部分是由土颗粒间的接触承担的称为有效应力。 饱和土有效应力公式：

u +'=σσ

σ' － 有效应力； σ － 总应力；

u － 孔隙水压力。

公式表明总应力为有效应力与孔隙水压力之和。 部分饱和土有效应力公式：

()w a a u u u -+-='χσσ

a u － 气体压力； w u － 孔隙水压力。

χ － 由试验确定的参数， 。

3.4.1 毛细水上升时土中有效自重应力的计算

图3-13 毛细水上升时土中总应力、孔隙水压力及有效应力

在毛细水上升区，由于表面张力的作用使孔隙水压力为负值。使有效应力增加，在地下水位以下，由于水对土颗粒的浮力作用，使土的有效应力减少。

3.4.2 土中水渗流时（一维渗流）有效应力计算

（a)静水时（b)水自上向下渗流(c)

水自下向上渗流

图3-14 土中水渗流时总应力、孔隙水压力及有效应力分布

当土中水渗流时，水对土颗粒有着动水力，必然影响土

中有效应力的分布。

表3-1 土中水渗流时总应力、孔隙水压力及有效应力的计

算