(完整版)圆的一般方程教案(正式)
4.2.1圆的一般方程
一、复习提问，引入课题
问题：求过三点(0,0)，(1.1)，(4,2)的圆的方程？
【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识，最后得出运用圆的知识很难解决问题。因为圆的标准方程很麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。于是老师提问，有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们共同研究圆的一般方程。
【辅助手段】：多媒体课件幻灯片展示问题。 二、探索研究，讲授新课 请同学们写出圆的标准方程：
222()()x a y b r -+-=、圆心(a ，b)、半径r
把圆的标准方程展开，并整理:
22222220x y ax by a b r +--++-= 取D=-2a E=-2b F=2
2
2
a b r +-
220x y Dx Ey F ++++=
这个方程就是圆的方程.
反过来给出一个形如22
0x y Dx Ey F ++++=的方程，它表示的曲线一定是圆吗？
把220x y Dx Ey F ++++=配方得： 2
2
2
224()()224
D E D E F
x y +-+
++= 【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。 问题：这个方程是不是表示圆？
⑴当2224D E F +-﹥0时，方程表示以(-2D ，2
E
)为圆心，以
22142
D E F +-为半径的圆. ⑴以复习回顾的形式提出新难题，引出
新课程，指出本节课的主要内容. ⑵质疑提问，
小组讨论，提高了学生学习的兴趣.
⑴学生动笔、思考，老师引导、启发，让学生学会独立分析问题，解决问题，初步体会数学的魅力.
⑵引导学生自己探索寻找圆的一般方程在什么时候表示圆，形成分类讨论、等价转化等数学思想，培养学生思维的多样性、创造性，体验成功解决问题的喜悦.
⑶通过对一个方程的讨论，得出圆的一
般方程，并指出不是
所有的方程都可以 表示圆。使得学生的认识不断加深，同时
一般方程则只需确定三个系数，而条件给出了三个坐标，不妨试着先写出圆的一般方程。 【教师讲解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=
∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解，代入方程得到：
2042200F D E F D E F =??
+++=??+++=?
即D=-8 E=6 F=O
∴所求的方程为22860x y x y +-+=
222142
r D E F =+-=5、2D -=4、2E
-=-3
∴圆心坐标为(4,-3)
或将220x y Dx Ey F ++++=化为圆的标准方程： 22(4)(3)25x y -++=
【归纳总结】应用待定系数法的一般步骤 ⑴根据条件，选择是标准方程还是一般方程。 ⑵根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组。 ⑶解出a 、b 、r 或D 、E 、F 并将其代入其相关方程。 例3 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆上 22(1)4x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。 分析：如图点A 运动引起M 运动，而点A 在圆上运动点A
的坐标满足方程22(1)4x y ++=，建立点M 与点A 的关系， 就可以建立点M 的坐标满足的条件，也就出了M 的方程。
⑴进一步熟悉圆的一般方程. ⑵通过本题的练习，使学生掌握待定系数法求解圆的一般方程的步骤.
⑴总结题目方法，提炼出解决一般问题的方法，形成类型题的方法.
⑵强调方法的本质，加深学生对方法的理解应用.
3 如图，等腰梯形ABCD 的底边长分别为6和4，高为3， 求这个等腰梯形的外接圆的方程，并求出圆心坐标和半径. 提示：待定系数法的应用.
【师生互动】⑴第一二题练习课让学生通过抢答的形式进行. ⑵第三题练习是待定系数法方法的运用，教师
可叫几个同学上黑板进行板演，教师适当点评，最后教师讲解解题过程.
【辅助手段】多媒体课件幻灯片展示，学生自练或板演，教师讲评解题过程. 四、课堂小结，反馈回授
1、对方程220x y Dx Ey F ++++=的讨论和圆的一般方程的代数特征理解.
2、圆的一般方程和标准方程的互化.
3、待定系数法求解圆的一般方程.
4、代入法求解曲线的轨迹方程. 五、分层作业，巩固提高 必做题：教材134页3、4 选做题：
1．已知点M 与两个定点O(0,0)、A(3,0)的距离的比为1
2
，求点M 的轨迹方程。
【辅助手段】多媒体课件幻灯片展示作业
问题.
⑵进一步巩固代入法等数学方法，提高学生的思维能力和运用知识解答问题的能力.
⑴有利于学生理清
本节课的重难点，深
化对圆的一般方程的理解，帮助学生从
感性认识上升为理性认识. ⑵有利于学生把知识转化为能力，形成数学方法和数学思维.
⑶启发引导学生进行归纳整理，培养学生宏观掌握知识的
能力.
⑴必做题与选做题 相结合，面向全体学 生，激发学生兴趣.