数论初步(5年级培优)教师版

数的整除：掌握一些常用的整除性质，如能被2、3、4、5、8、9、25、125等整除的数的性质；同时了解特殊的整除性质，如能被7、11、13等整除的数的性质。

分解质因数：熟练运用短除法来分解质因数，能够灵活应用。

特殊质数：2是最小的质数，也是唯一的偶质数。

下列哪些数能被4或9或11整除？

350 5170 296 1422 52019

能被4整除：______________________

能被9整除：______________________

能被11整除：______________________

【分析】知识点：整除的特征。

难度：A 出处：《从课本到奥数》

【解答】能被4整除的有296 ；能被9整除的有1422 ；能被11整除的有5170、52019 。

总结一

能被4整除的数的特征：末两位能被4整除；

能被9整除的数的特征：各个数位数字之和能被9整除；

能被11整除的数的特征：①末三位与末三位之前的数做差，差能被11整除；

②奇数位数字之和与偶数位数字之和做差，差能被11整除。

下面的数，哪些能被8或25？

150 **** **** 3500 3728 8064

能被8整除：______________________

能被25整除：______________________

【解答】能被8整除的有1104、3728、8064 ；能被25整除的有150、2125、3500 。 总结二

能被25整除的数的特征：末两位能被25整除；

能被8整除的数的特征：末三位能被8整除。

既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小三位数是多少？

【分析】知识点：整除的特征。找出同时满足条件的数。

难度：A 出处：《从课本到奥数》

【解答】因为是三位数，则百位最小为1 ；同时是2和5的倍数，则个位为0 ；又是3的

倍数，即各个数位数字之和是3的倍数，则十位最小是2 。所以最小三位数是120。

一个七位数“2009□□□”能同时被4，9和5整除，写出所有满足条件的七位数。

【解答】由题可知，个位是0 ；因为末两位能被4整除，则十位可填0、2、4、6、8 ；各

个数位数字之和可以为18或27 ，则百位与十位数字之和可为7或16 。

所以，这个七位数可为2009700、2009520、2009340、2009160、2009880 。

只修改21475的某一个数字，就可使修改后的数能被225整除，怎样修改？

【分析】知识点：根据数的整除的特征，将除数分解后再进行考虑。

难度：B 出处：《优等生数学》

【解答】259225?=，即修改后的数既能被9整除也能被25整除。

根据能被25整除的数的特征，原数末两位是75，满足条件；

根据能被9整除的数的特征，原数各个数位数字之和是19，需要减去1或加上8。 所以修改后的数可为11475、20475、21375、29475 。

一个无重复数字的五位数“3□6□5”，千位与十位数字看不清了，只知道这个数是75的倍数。这样的五位数有哪几个？

【解答】25375?=，即这个五位数既能被3整除又能被25整除。

根据能被25整除的数的特征，十位数字可以为2或7；

根据能被3整除的数的特征，

① 当十位数字为2时，各个数位数字之和是16，则千位数字可为2、5、8 ；

② 当十位数字为7时，各个数位数字之和是21，则千位数字可为0、3、6、9 。 此时有七个，32625、35625、38625、30675、33675、36675、39675 ，

去掉重复数字的五位数，则共有3个，分别是38625、30675、39675 。

A 是一个自然数，它是15的倍数，并且它的各个数位上的数字只有0和8两种。A 最小是几？

【分析】知识点：数的整除的特征，结合最小公倍数。

难度：B 出处：《优等生数学》

【解答】5315?=，即这个五位数既能被3整除又能被5整除。

根据能被5整除的数的特征，个位数字为0；

根据能被3整除的数的特征，且各个数位上的数字只有0和8两种，则组成A 的数字中至少有三个8。

所以A 最小是8880 。

姐姐参加中学生英语竞赛，她说：“将我得的名次、我的年龄与我的竞赛得分相乘，正好等于2716。”你知道姐姐的名次、年龄、得分各是多少吗？

【分析】知识点：分解质因数，再将分解后的质因数重新组合成新的数。

难度：B 出处：《从课本到奥数》

【解答】977222716???=，由于姐姐是中学生，所以年龄应该是1472=?（岁），

而剩下的两个因数2和97，则分别是名次和得分。

所以，姐姐的名次是第2名，年龄是14岁，得分是97分。

小雨是六年级的学生，他参加了数学综合能力竞赛，并获得前三名，他高兴地对同学们说：“我的得分、名次与我的年龄之积恰好是2328。”你能推算出小雨的得分、名次与年龄分别是多少吗？

【解答】先把2328分解质因数。9732222328????=，因为小雨是六年级的学生，所以

小雨的年龄年龄应该是12322=??（岁），则他的得分是97分，名次是第2名。

1125乘自然数b ，得到一个平方数，求b 的最小值和这个平方数。

【分析】知识点：分解质因数，重新组合，构成平方数。

难度：C 出处：《从课本到奥数》

【解答】3

2531125?=，因为结果是平方数，出现奇数次方的因数是5，

所以b 的最小值为5。则这个平方数是562551125=?。

一个质数的2倍和一个质数的3倍之和为100，这两个质数的和是多少？

【分析】知识点：特殊的质数。

难度：C 出处：《优等生数学》

【解答】不妨设这两个质数分别为a 和b ，则10032=+b a 。

因为和100是偶数，则a 2、b 3奇偶性相同。又因为a 2一定为偶数，则b 3也为偶

数，所以b 为偶数。而唯一的偶质数是2，所以2=b ，从而解得47=a 。

49472=+=+b a ，这两个质数的和是49 。

有7个不同的质数，它们的和是60，其中最小的质数是________。

【解答】结果为偶数，则其中必有一个偶数。而唯一的偶质数是2，且2也是最小的质数。

所以，其中最小的质数是2 。

用0~9这十个数字组成几个质数，每个数字都恰好用一次，这些质数的和最小是多少？ 解：理由如下即上面所说的567。

【分析】知识点：质数的特点，熟记100以内的质数。

难度：C 出处：底稿

【解答】0、4、6、8均不能充当个位数字，0也不能作首位，所以必有一个三位数的数字，

以0为十位数字：2、5不能充当两位或三位数字的个位数字，于是1、7、9必须充当个位数字；2、3、5作为质数时，和最小。

所以，这几个质数是2、3、5、67、89、401时，它们的和最小是567。

【教师备用】

1、有一个五位数b a 129，它可被36整除。请问22b a +等于多少？

解：∵9436?=，∴b a 1294，并且b a 1299。由b a 1294，可得2=b 或者6=b 。

当2=b 时，)2921(9++++a ，即)14(9+a ，易得4=a ；

当6=b 时，)6921(9++++a ，即)18(9+a ，易得9=a ；

∴20242222=+=+b a 或者117692222=+=+b a 。

2、由2、

3、5、7四个数字能组成许多没有重复数字的四位数，而在组成的四位数中，有两个数是25的倍数，且这两个数的差是450。那么，这两个四位数的和是__________。（中环杯，第六届复赛）

解： 这两个数为3725、3275，和为700032753725=+。

3、c b a 和,都是两位数的自然数，b a ,的个位分别是7和5，c 的十位是1。如果它们满足等式。求c b a c ab ++=+,2005

解：设C c B b A a 15,7为，为为，因此2005157=+?=+C B A c ab ，由此判断出0=C 。

即,10=c 199510200557=-=?=B A ab 。因为57351995?=，所以35,57==b a 102103557=++=++c b a 。

4、已知x ，y ，z 为三个质数，且24=+y x ，66=+z y ，z y x <<，求x ，y ，z 。 解：因为24x y +=，即将24分拆成两个质数的和，一共有24=19+5=17+7=13+11，则

当5x =，19y =时，47z =；

当7x =，17y =时，49z =，不符合题意，舍去；

当11x =，13y =时，53z =；

所以,,x y z 可为5、9、47或11、13、53

下面的数，哪些能被4整除？哪些能被9整除？

60 189 208 234 336 783 1107 2216

能被4整除：__________________________

能被9整除：__________________________

【解答】能被4整除的数有60、208、336、2216 ；

能被9整除的数有189、234、783、1107 。

五位数“24□6□”能被15整除，这样的五位数有哪些？

【解答】5315?=，则这个数既能被3整除也能被5整除。

根据能被5整除的数的特征，个位数字为0或5；

根据能被3整除的数的特征，

① 当个位数字为0时，各个数位数字之和是12，则千位数字可为0、3、6、9 ； ② 当十位数字为5时，各个数位数字之和是17，则千位数字可为1、4、7 。

所以，这样的五位数有24060、24360、24660、24960 ；24165、24465、24765 。

正方体纸盒每个面上都写有一个正整数，并且相对两个面所写的两数之和都相等。若18对面所写的质数是a ，14对面所写的质数是b ，35对面所写的质数是c 。试求c b a ++的值。

【解答】依题意得181435a b c +=+=+，要使等式成立，a ，b ，c 的奇偶性应分别为

奇、奇、偶，或是偶、偶、奇。而a ，b ，c 均为质数，唯一的偶质数是2 。

所以只有c =2成立，此时b =23，a =19，所以a b c ++=19+23+2=44。

504乘自然数a ，得到一个平方数，求a 的最小值和这个平方数。

【解答】7325042

3??=，所以a 的最小值是1472=?，这个平方数705614504=?。

整除的特征

?能被7整除的数的特征

方法一，割尾法（适用于位数少时）。一个数割去末位数字，用剩下的数与被割去数字的2倍做差，结果是7的倍数（包括0），那么这个数就能被7整除。如果第一次结果太大或不易心算，则继续重复之前的步骤，割尾、倍大、相减、验差，直到能够判断为止。

例如，判断133是否为7的倍数：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；判断6139是否7的倍数：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数。

方法二，段差法（适用于数位在三位以上时）。一个数的末三位数，与末三位数之前的数字所组成的数做差，结果是7的倍数（包括0），那么这个数就能被7整除。

例如，判断280679是否为7的倍数：末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280，679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。

此法也适用于判断能否被11或13整除的问题。

?能被11整除的数的特征

方法一，段差法。与能被7整除的方法二步骤相同，判断结果是否能被11整除即可。

方法二，奇偶位差法。一个数从右向左数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，结果是11的倍数（包括0），那么这个整数就能被11整除。

例如，判断491678是否11的倍数：奇位数字的和9+6+8=23，偶位数位的和4+1+7=12 ，23-12=11 ，因此491678能被11整除。

?能被13整除的数的特征

方法一，割尾法。一个数割去末位数字，用剩下的数加上被割去数字的4倍，结果是13的倍数，那么这个数就能被13整除。

方法二，段差法。与能被7整除的方法二步骤相同，判断结果是否能被13整除即可。