安徽省淮南市寿县第二中学2019-2020学年高二期中试题 数学(理)【含答案】

安徽省淮南市寿县第二中学2019-2020学年高二期中试题

数学（理）

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1．复数1z 在复平面对应的点为（1，－1），且i z z 221+=，则z =（ ）

A ．1

B ．2

C ．2

D ．22

2．方程)(,12

222R k k y k x ∈=+--表示双曲线的充分不必要条件是（ ）

A ．22-<>k k 或

B ．1>k

C ．3>k

D ．11-<>k k 或

3．某个与正整数有关的命题：如果当n ＝k (k ∈N *

)时命题成立，则可以推出当n ＝k ＋1时该命题也成立．现已知n ＝5时命题不成立，那么可以推得( )

A ．当n ＝4时命题不成立

B ．当n ＝6时命题不成立

C ．当n ＝4时命题成立

D ．当n ＝6时命题成立 4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明 “设a ac b c b a c b a 3,0,2<-=++>>求证

且”

，索的因应是（ ） A ．0>-b a B ．0>-c a C ．0))((>--c a b a D ．0))(3(>--c b b a 5．已知MN 是棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -内切球的一条直径，则=?AN AM （ ）

A ．－1

B ．1

C ．－2

D ．2 6．下面给出的类比推理中，结论正确的有（ ）

①若数列{a n }是等差数列， b n ＝1

n

(a 1＋a 2＋…＋a n )，则数列{b n }也是等差数列；类比推出：若数列{c n }

是各项都为正数的等比数列， d n ＝n

c 1c 2…c n ，则数列{

d n }也是等比数列；

②a ，b 为实数，若a 2

＋b 2

＝0，则a ＝b ＝0；类比推出：z 1，z 2为复数，若z 12

＋z 22

＝0， 则z 1＝z 2＝0；

③若a ，b ，c ∈R ，则(ab )c ＝a (bc )；类比推出：若c b a ,,为三个向量，则)()(c b a c b a ?=?； ④在平面内，三角形的两边之和大于第三边；类比推出：在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；

⑤若三角形周长为l ，面积为S ，则其内切圆半径r ＝2S

l

；类比推出：若三棱锥表面积为S ，体积为V ，

则其内切球半径r ＝3V

S

；

A ．①②③

B ．①④

C ．③④⑤

D ．①④⑤

7．函数32cos 2sin 3)(--=x x x f 的正数零点从小到大构成数列{}n a ，则=3a （ ）

A ．

1213π B ．45π C ．1217π D ．6

7π

8．从4名优秀学生中选拔参加池州一中数学、物理、化学三学科培优研讨会，要求每名学生至多被一学科选中，则每学科至少要选用一名学生的情况有（ ）种

A ．24

B ．36

C ．48

D ．60 9．奇函数)(x f 满足0cos )(,0/<+≥x x f x 时，且()3,2

f π=-则不等式()cos 22

f x x π

+

>--的解集为

（ ）

A ．)0,(-∞

B ．),(π--∞

C ．)2

,(π

-

-∞ D ．),(π-∞

10．内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为( )

A ．233R

B ．33R

C ．332R

D ．32

R

11．已知双曲线C )0,(,122

22>=-b a b

y a x ，以)0,(b P 为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐

近线交于M 、N 两点，且PN PM ⊥，则C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．

25 D ．2

7

12．对于函数)),0((,cos )(π∈-=x x x e x f x

，下列结论正确的个数为（ ）

①)(/x f 为减函数 ②)(/

x f 存在极小值 ③)(x f 存在最大值 ④ )(x f 无最小值

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13．函数x x x f cos 2

3

)(+=在),0(π上极大值为M ，极小值为N ，则M －N= . 14．)0(,cos sin )(,)sin 2(2

22

a x x x x x f dx x x a ≤≤+=+-=

?

-，则)(x f 的最大值为 . 15．池州一中5名党员志愿者报名参加某天教师体温检测工作，现学校安排其中3名志愿者分别负责晨、

午、晚检各一人，其中志愿者a 有早读辅导工作不能安排晨检工作，志愿者b 有晚自习辅导工作不能安排晚检工作，则共有 种不同安排方法。

16．已知函数x

e x a x

f -=)(有3个零点，则实数a 的取值范围为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（10分）如图在平面四边形OABC 中，0=?，AC=2，BC=1，BC AC ⊥，设θ=∠ACO ，

（1）若1

cos 3

θ=

，求OC CB ?；

（2）求OB 长度的最大值。

18．（12分）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. （1）求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；

（2）设b n ＝S n

n (n ∈N *

)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．

19．（12分）已知R a ax x x f ∈++=,1)(2

3

. （1）若)(x f 在3

2

=

x 处取极值，求)(x f 在点)1,(a -处切线方程； （2）若函数)(x f 在区间[]10，

最小值为－1，求a .

20．（12分）如图，在四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 为菱形，,,60PC PB ABC ==∠?

E 为线段BC 的中点. （1）证明PAE PBC ⊥平面平面；

（2）已知AB PA ⊥，且二面角A －BD －P 的大小为4

π

， 求AD 与平面BDP 所成角的正弦值.

21．（12分）椭圆E 的方程为)1(,1222

>=+a y a

x ，A ，B 为椭圆E 的短轴端点，P 为椭圆E 上除A 、B 外一

点，且直线PA 、PB 斜率积为21-，直线t my x l +=:与圆O 3

22

2=+y x 相切，且与椭圆E 交于M 、N 两点.

（1）求椭圆E 的方程； （2）证明OM ?为定值.

22．（12分）已知函数x x x

ae x f x

-+=ln )(.

（1）若0

e

a e 112<<，)(x f 在),1(∞内是否存在极值，若存在求该极值的取值范围.

数学（理科）参考答案

一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C

A

C

D

D

B

D

A

A

A

C

13．3

1 14．2π 15．39 16．a e >

三、解答题

17．（1）在Rt △OAC 中，显然OA ⊥OC ，2

cos 3

OC AC θ=?=

，又∠OCB 2πθ=+

∴22

cos sin OCB θ∠=-= ∴242

cos()1sin 3OC CB OC CB OCB πθ?=??-∠=?? ……………………5分

（2）∵OB OC CB =+

∴2

2

2

22sin (2cos )14cos sin OB OC CB OC CB θθθθ=++?=++?

2(1cos 2)2sin 2122)34

π

θθθ=?+++=+

+

∴当8

πθ=

时，2max

223OB

=，∴max

21OB

…………………………10分

（其它解法参照给分）

18．解：（1）设d 为{}n a 的公差，依题意得123932a d +=+∴2d =

∴221n a n =+ ， 22n S n n = ……………………5分

（2）由（1）知2n b n ={}n b 中存在不同的三项式等比数列，

不妨设,,br bs bt （r 、s 、t 互不相等）成等比数列

∴2bs br bt =? ∴2(2)(2)(2)s r t = ∴2()(2)20s rt s r t -+--= …………8分

由于r 、s 、t N +

∈222s r t

s r t

?=-?=+? ∴22()4,()0r t rt r t +=-= ………10分

得r t =这与r t ≠矛盾，∴假设不成立，原命题得证 ………………12分 19．解（1）∵2()3()3

f x x x a '=+，又()f x 在2

3

x =

处取极值， ∴2()03

f '=得1a =-，且检验满足题意 ……………………2分

∴32()1f x x x =-+，切点为（1，1），切线斜率为(1)1K f '== ∴()f x 在点（1，1）的切线方程为y x = ……………………5分 （2）∵2()3()3a f x x x '=+

，令()0f x '=得0x =或23

a

-

若0a ≥，则(0,1)x ∈时()0f x '>，()f x 在[0，1]为增函数 此时min ()(0)11f x f ==>-舍去 …………7分

若32

a ≤-，则213

a -≥，此时(0,1)x ∈时()0f x '<，()f x 在[0，1]为减函数

min ()(1)21f x f a ==+=-，得3

3(,)2

a =-∈-∞-满足题意 ………………9分

若302a >>-，则2013a <-<，此时2(0,)3x a ∈-时()0f x '<，2(,1)3

a

x ∈-时()0f x '> ()f x 在2(0,)3a -

减，在2(,1)3

a

-增， 此时3min

24()()11327

a a f x f =-=+=-解得3273(,0)22a =-?-舍去 ……………………11分

综合以上得3a =- ……………………12分

20．（1）证明：依题意△ABC 为等边三角形，E 为BC 中点，∴AE ⊥BC

又PB ＝PC ，∴PE ⊥BC ，而AE PE E = ……………………4分

∴BC ⊥平面PAE ，又BC ?平面PBC ，∴平面PAE ⊥平面PBC ………………6分

（2）由（1）知BC ⊥PA ，又PA ⊥AB ，AB ∩BC ＝B

∴PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，设AC ∩BD ＝M 由菱形ABCD 知，AC ⊥BD ，∴BD ⊥平面PAM ， ∴∠PMA 为 二面角A —BD —P 的平面角，且∠PMA ＝

4

π

∴AM ＝PA ，不妨设菱形ABCD 边长为2，∴AM ＝PA ＝1，AD ＝2 ………………9分 由BD ⊥平面PAM ，BD ?平面PBD 知平面PAM ⊥平面PBD 且交线为PM 过A 作AN ⊥PM ，N 为垂足， ∴AN ⊥平面PBD

∴∠ADN 为直线AD 与平面PBD 所成角，

在Rt △APM 中AN 2

=

， 在Rt △ADN 中，2

sin AN ADN AD ∠=

AD 与平面PBD 2

…………12分 （其它解法参照给分）

21．解：（1）设P （00,x y ）（00x ≠）为椭圆E 上一点，

则220021x y a +=，∴22

0021x y a --=，又A （0，1）、B （0，―1） ∴直线PA 、PB 斜率积为20002000111y y y x x x -+-?=211

2a =-=-，∴22a = ∴椭圆E 的方程为2

212

x y += ……………………5分

（2）联立直线l ：x my t =+与椭圆E ：2

212

x y +=平方消去x 整理得

222(2)220m y mty t +++-=，设直线l 与椭圆E 交于M （x 1，y 1）、N （x 2、y 2） 则12222

mt

y y m -+=+ ① 212222t y y m -=+ ②

考虑到直线l 与⊙O 22

3

1

t m =

+222(1)3m t += ③ ……………………9分 ∴12121212()()OM ON x x y y my t my t y y ?=+=+++221212(1)()m y y mt y y t =++++ 由①②③得22222

(1)(2)222

m t mt

OM ON mt t m m +--?=++++ 22222222(1)(2)222m t m t m t t m +--++=+22

222302

m t m --+==+

∴OM ON ?为定值0 ……………………12分 22．解：（1）22

(1)1(1)()

()1(0)x x a x e x ae x f x x x x x ---'=+-=>

若0a <，则0x ae x -<，当()0f x '<时，1x >，当()0f x '>时01x << ∴()f x 增区间为(1,)+∞，减区间为（0，1] ……………………5分 （2）令()x g x ae x =-，则)()1()(x g x x f -=' 当1x >时由()0f x '=得0x ae x -=即0)(=x g

又()1x

g x ae '=-（12

1

e a e

<<）在（1，+∞）为增函数

且(1)10g ae '=-<，2(2)10g ae '=->，∴(1)(2)0g g ''?<

∴)(x g '在),1(+∞有唯一零点，设为)2,1(00∈x x ，且

∴0(1,)x x ∈时()0g x '<，0(,)x x ∈+∞时()0g x '> ……………………7分 ∴()g x 在（1，x 0）为减函数，在0(,)x +∞为增函数

又(1)10g ae =-<，∴0()(1)0g x g <<，显然0(1,)x x ∈时0)(

211111(ln

)ln 2ln g a a a a a

=-=-，记1

t e a =>，而2ln y t t =-在(2,)+∞为增函数 ∴2ln 20t t e ->->，从而2

1(ln

)0g a

>，∴021

()(ln )0g x g a < ∴()g x 在(1,)+∞内仅有唯一零点，记为x 1，则1

10x ae x -=且)1

ln

,(2

01a x x ∈， 当1(1,)x x ∈时()0g x <，则()0f x '<，当1(,)x x ∈+∞时()0g x >，则()0f x '> ∴当

2

11

a e e <<时)(x f y =在(1,)+∞存在极值 …………………………9分 且为极小值，1x 为极小值点，其中1x 为满足1

10x ae x -=，∴11ln ln x a x =+

∴()f x 极小值1

111

ln 1ln x ae x x a x =+-=+

∴当2

11

a e e

<<时，()f x 极小值 的取值范围为)0,1(- …………………………12分