初二数学竞赛试卷 (2)

初中数学竞赛试题

一.选择题（每7题分，共56分）以下每题的4个结论，仅有1个是正确的，请将正确答案 的英文字母填在题后的括号内

1．下列四个数中等于100个连续自然数之和的是（ ）

A ．1627384950

B 。234578910

C 。3579111300

D 。4692581470

2．在体育活动中，初二（1）班的n 个学生围成一圈做游戏，与每个学生左右相邻的两个学生的性别不同，则n 的取值可能是（ ） A ．43 B ．44 C ．45 D ．46

3．在△ABC 中，∠B 是钝角，AB=6，CB=8，则AC 的范围是（ ） A ．8＜AC ＜10 B ．8＜AC ＜14 C ．2＜AC ＜14 D ．10＜AC ＜14

4．图（1）是图（2）中立方体的平面展开图，图（1）与图（2）中的箭头位置和方向是一致的，那么图（1）中的线段AB 与图（2）中对应的线段是（ ） A ．e B ．h C ．k D ．d

5．若a 、b 、c 、为三角形的三边，则下列关系式中正确的是（ ）

A ．a 2—b 2—c 2—2bc ＞0

B ．a 2—b 2—c 2

—2bc=0 C ．a 2—b 2—c 2—2bc ＜0 D ．a 2—b 2—c 2—2bc ≤0

6．一个盒子里有200只球，从101到300连续编号，甲、乙两人分别从盒子里拿球，直到他们各有100只球为止，其中甲拿到102号，乙拿到280号，则甲拿到的球的编号总和与乙拿到的球的编号总和之差是（ ） A ．10 000 B ．9 822 C ．377 D ．9 644

7．如果关于x 的不等式组?

??≥-<-0

706m x n x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等到式组的

整数对（m,n ）共有（ ）

A ．49对

B ．42对

C ．36对

D ．13对

8．如果x 2-x-1是ax 3+bx 2+1的一个因式，则b 的值为（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．2

一．填空题（每小题7分，共56分）

9．美国篮球巨星乔丹在一场比赛中24投14中，拿来下28分，其中三分球三投全中，那么乔丹两分球投中___________球，罚球投中__________球。 10．已知：

________,511=++=+b

a c

b b a b a 则.

h 图（1）

图（2）

11．若y 1= -x-4,y 2=

82

12

-x ,则 12．[x]表示不超过x 的最大整数，如[3.2]=3，已知正整数n 小于2002，且2

63n

n n =???

???+???

???，

则这样的n 有___________个。

13．△ABC 中，BD 和CE 分别是AC 和AB 上的中线，且BD 与CE 互相垂直，BD=8，CE=12，则△ABC 的面积是_____________.

14．如图是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合

而成，若图中大小正方形的面积分别为2

1

62和4，则直角三角形的两条直角边边长分别为___________.

15．已知a 2+4a+1=0,且a

ma a ma a 331

2

324++++=5，则m=_____________. 16．将2、3、4、5、6、7、8、9、10、11这10个自然数填到图中10个格子里，每个格子只填一个数，使得“田”字形的4个格子中所填数字之和都等到于p ，那么p 的最大值是______________. 二．解答题（每题12分，共48分）

17．如果多项式x 2-(a+5)x+5a-1能分解成两个一次因式（x+b ）、（x+c ）的乘积（b 、c 为整数），则a 的值应为多少？

18．某城市有一段马路需要整修，这段马路的长不超过3500米，今年甲、乙、丙三个施工队，分别施工人行道、非机动车道和机动车道，他们于某天零时同时开工，每天24小时连续施工，若干天后的零时，甲完成任务；几天后的18时，乙完成任务；自乙队完成的当天零时起，再过几天后的8时，丙完成任务，已知三个施工队每天完成的施工任务分别为300米，240米，180米，问这段路面有多长？

A

（第13题）

19．△ABC 中，已知∠C=600，AC ＞BC ，又△ABC ‘、△BCA ’

都是△ABC 形外的等边三角形，而点D 在AC 上，且BC=DC （1） 证明△C ‘BD ≌△B ’DC ；

（2） 证明△AC ‘D ≌DB ’

A ； （3） 对△ABC 、△ABC ‘、△CA

B ’

，从面积大小

关系上，你能得出什么结论？

20．一个长方体水箱，从里面量得它的深是30cm ，底面的长是25cm ，宽是20cm ，水箱里已盛有深为acm （a ≤30）的水，现在往水箱里放入棱长为10cm 的立方体铁块后，水深多少cm?

2002年四川省初中数学竞赛

一试

一、 选择题（每小题6分，共36分）

1、若x<1，则|+|等于（ ） （A ） 1 （B ）3-2x (C) 2x-3 (D) -2

2、如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端的滑动距离（ ）

（A ）等于1米 （B ）大于1米 （C ）小于1米 （D ）不能确定

3、设a,b 都是正实数且，那么的值为

（ ）

（A ） （B ） （C ） （D ） 4、若x 1,x 2是方程x 2+2x-k=0的两个不相等的实数根，则x +x -2是（ ）

A D C ‘

B

’

8m

10m

（A ）正数 （B ）零 （C ）负数 （D ） 不大于零的数 5、如果等腰梯形的下底与对角线长都是10厘米，上底与梯形的高相等，则上底的长是（ ）厘米。

（A ） 5（B ）6 （C ）5 （D ）6

6、关于的两个方程x 2+4mx+4m 2+2m+3=0,x 2+(2m+1)x+m 2=0中至少有一个方程有实根，则m 的取值范围是（ ） （A ）

-

（C ） -

（D ）m ≤-或m ≥

二、 填空题（每小题9分，共54分） 1、 如果y=++2，则2x+y= . 2、 设a 是一个无理数，且a,b 满足ab+a-b=0，则b= . 3、在一长8米宽6米的花园中欲挖一面积为24米2的矩形水池，且使四边所留走道的宽度相同，则该矩形水池的周长应为 米。

4、如图，D 、E 分别是ABC 的AC 、AB 边上的点，

BD 、CE 相交于点O ，若S △OCD =2， S △OBE =3，S △OBC =4，那么S ADOE = 。

5、如图，立方体的每个面上都写有一个自然数，并

且相对两个面所写出二数之和相等，若10的对面写的

是质数a ，12的对面写的是质数b ，15的对面写的是

质数c ，则a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc= .

6、△ABC 的一边为5，另外两边的长恰好是方程2x 2-12x+m=0的两个根，则m 的取值范围 .

三、（20分）某公司生产电脑，1997年平均每台生产成本为5000元，并以纯利润20%标定出厂价，1998年开始，公司国强管理和技术改造，从而生产成本逐年降低，2001年每台电脑出厂价仅为1997年出厂价的80%，但公司却得到50%的利润，求以1997年生产成本为基数，1997年2001年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0.01）.(计算时：=1.414, =1.732, =2.236)

101

151 121

2 A B

C

D E 3

4

O

四、（20分）

如图，P 是⊙O 外一点，PA 与⊙O 切于A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ，求证：PB ：BD=PC ：CD.

五、（20分）

将最小的31个自然数分成A 、B 两组，10在A 组中，如果把10从A 组移到B 组，则A 组中各数的算术平均数增加，B 组的各数的算术平均数也增加，问A 组中原有多少个数？

2002年全国初中数学竞赛试题

（2002年4月7日上午 9：30——11：30）

一、选择题（每小题5分，共30分）

P

O

C

V

B

A

D

1、设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则

b

a b

a -+的值为 A 、3 B 、6 C 、2 D 、3

2、已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

3、如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、

BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCD

AGCD

S S 矩形四边形等于

A 、65

B 、54

C 、4

3

D 、3

2

4、设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3π，y ＝b 2－2c ＋3

π

，z ＝c 2－2a ＋

3

π

，则x 、y 、z 中至少有一个值 A 、大于0 B 、等于0 C 、不大于0 D 、小于0

5、设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是

A 、72-＜a ＜52

B 、a ＞52

C 、a ＜72-

D 、11

2

-＜a ＜0

6、A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于

A 、22b a +

B 、22b ab a ++

C 、()b a +2

1

D 、a ＋b

二、填空题（每小题5分，共30分）

7、设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根， 则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为 。

8、已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c )(x －c －d )－2与x 轴交点的横坐标， a ＜b ，则b c c a -+-的值为 。

9、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点， 使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。

10、如图，大圆O 的直径AB ＝acm ，分别以OA 、OA 为直径作 ⊙O 1、⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，

A B

C D E F G

这些圆互相内切或外切，则四

边形O 1O 2O 3O 4的面积为

cm 2。

11、满足(n 2－n －1)n ＋2＝1的整数n 有 个。

12、某商品的标价比成本高p %，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d %，则d 可以用p 表示为 。

三、解答题（每小题20分，共60分）

13、某项工程，如果由甲、乙两队承包，5

2

2天完成，需付180000元；由

乙、丙两队承包，433天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，7

6

2天完

成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？

14、如图，圆内接六边形ABCDEF 满足AB ＝CD ＝EF ，且对角线AD 、BE 、CF 交于一点Q ，设AD 与CE 的交点为P 。

（1） 求证：EC

AC ED QD =（2）求证：2

2

CE AC PE CP =

15、如果对一切x 的整数值，x 的二次三项式ax 2＋bx ＋c 的值都是平方数（即整数的平方）。

A

B C

P A B

D

E F P Q

A B

证明：（1）2a 、2b 、c 都是整数；

（2）a 、b 、c 都是整数，并且c 是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x 的整数值，x 的二次三项式ax 2＋bx ＋c 的值都是平方数？

2002年湖北省数学竞赛试

（2002年1月3日上午9：00----11：00）

一、选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分） 1、已知是正数，且a a 2-

=1，则22

4a

a -等于（ ） （A ）5 （B ）3 （C ）1 （D ）－3 2、如果某商品进价降低5%而售价不变，利润可由目前的a%增加到（a+15%），则a 的值为（ ）

（A ）185 （B ）175 （C ）155 （D ）145 3、在直角坐标系中，已知A （1，1），在x 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）个

（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

4、为了调查学生的身体状况，对某校毕业生进行了体检，在前50名学生中有49名是合

格的，以后每8名中有7名是合格的，且该校毕业生体检合格率在90%以上，则该校毕业生的人数最多有（ ）

（A ）180 （B ）200 （C ）210 （D ）225

5、如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，

切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言，

MTN 弧的度数（ ）

（A ）从30°到60°变动 （B ）从60°到90°变动

（C ）保持30°不变

（D ）保持60°不变

6、用四条线段a=14，b=13，c=9，d=7作为四条边构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最好大值是（

）

（A ）13．5 （B ）11.5 （C ）11 （D ）10.5 二、填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分）

7、 已知2,322-=+=+y xy xy x ,则=--2232y xy x

8、 如图，在△ABC 中AB=5，AC=13，边BC 上的中线AD=6，则BC 的长是 9、 与铁路平行的一条公路上有一行人与骑车人同时向南行进，行人的速度是每小时3。6km

骑车人的速度是每小时10。8km ，如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车的人的时间是26秒，则这列火车的身长是 m 10、如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠A=60°，

∠B=90°，AB=2，CD=1，则BC=

11、如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 为AB

的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q A C M

则AP ：PQ ：QC= 三、解答题：（本题共3小题，每小题20分，共60分） 13、已知关于x 的方程022)13(2

2

=+++-k k x k x

（1） 求证：无论k 取何实数值，方程总的实数根；

（2） 若等腰三角形ABC 的一边长a=6，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求

此三角形的周长。 14、如图，△A BC 的三边满足关系BC=2

1

（AB+AC ），O 、I 分别为△ABC 的外心、内心，

∠BAC 的外角平分线交⊙O 于E ，AI 的 延长线交⊙O 于D ，DE 交BC 于H ， 求证：（1）AI=BD

（2）OI=2

1

AE

15、观察按下列规则排成的一列数：

11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，51，42，33，24，15，6

1

，… （1） 在（*）中，从左起第个数记为F （m ），当F （m ）=2001

2

时,求m 的值和这m 个

数的积

（2） 在（*）中，未经约分且分母为2 的数记为c ，它后面的一个数记为d ，是否存在

这样的两个数c 和d ，使cd=2001000，如果存在，求出c 和d ；如果不存在，说明理由。

答案：

一、B 、A 、D 、C 、D 、D ；二12， 261， 286 ，23-2， 5：3：12， 179， 三、13、16或22 14、作IG⊥AB，连结BI ，则AG=2

1

（AB+AC －BC ），再证△AGI≌△BHD 15、（1）、分组：（1

1

），（

21，12

），（31，22，13），（41，32，23，14），（51，42，3

3，24，15），（61，…），…（20021，20012，20003，…，12002）。当F （m ）=2001

2时，m=2003003 积为：

20030011

，（2）、c 为某组倒数第二个数，d 为每组最后一个数，设它们在第n 组

c= 21-n , d=1n 2)1(-n n =2001000 c= 22000, d=1

2001

第十一届“希望杯”数学竞赛初二第二试

一、选择题：

1．－

20001999, －19991998, －999998

, －1000

999这四个数从小到大的排列顺序是

（AA ）－20001999<－19991998<－1000999<－999998 （B ）－999998

<－1000999<－1999

1998<－

2000

1999

（C ）－19991998<－20001999<－1000999<－999998 （D ）－1000999<－999998

<－2000

1999<－

1999

1998

2．一个三角形的三条边长分别是a , b , c (a , b , c 都是质数)，且a ＋b ＋c ＝16，则这个三角形的形状是

（A ）直角三角形（B ）等腰三角形（C ）等边三角形（D ）直角三角形或等腰三角形

3．已知25x =2000, 80y =2000，则y

1

x 1+等于

（A ）2 （B ）1 （C ）

21

（D ）23 4．设a ＋b ＋c =0, abc >0，则|

c |b

a |

b |a

c |a |c b ++

+++的值是 （A ）－3 （B ）1 （C ）3或－1 （D ）－3或1

5．设实数a 、b 、c 满足a

（A ）

3

|

c b a |++ （B ）|b | （C ）c －a （D ）―c ―a 6．若一个等腰三角形的三条边长均为整数，且周长为10，则底边的长为 （A ）一切偶数 （B ）2或4或6或8 （C ）2或4或6 （D ）2或4 7．三元方程x ＋y ＋z ＝1999的非负整数解的个数有

（A ）20001999个 （B ）19992000个 （C ）2001000个 （D ）2001999个 8．如图1，梯形ABCD 中，AB //CD ，且CD ＝3AB ，EF //CD ，EF 将梯形 ABCD 分成面积相等的两部分，则AE ：ED 等于（ ）。

（A ）2 （B ）2

3 （C ）215+ （D ）215- 9．如图2，一个边长分别为3cm 、4cm 、5cm 的直角三角形的一个

顶点与正方形的顶点B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD 、 DC 上，那么这个正方形的面积是（ ）。

图1

A B

D E F

3

4

5

A

B

C

D

E

F

（A ）15162cm 2 （B ）16152cm 2 （C ）16172cm 2 （D ）17

16

2cm 2

10．已知p ＋q ＋r ＝9，且xy

z r

zx y q yz x p 2

22-=-=-, 则z y x rz qy px ++++等于 （A ）9 （B ）10 （C ）8 （D ）7 二、填空题：

11．化简：

2

32

46623+--= 。

12．已知多项式2x 2＋3xy －2y 2－x ＋8y －6可以分解为(x ＋2y ＋m )(2x －y ＋n )的形式，

那么1

n 1

m 23-+的值是 。

13．△ABC 中，AB >AC ，AD 、AE 分别是BC 边上的中线和∠A 的平分线，则AD 和AE 的大小关系是AD AE 。(填“>”、“<”或“＝”

14．如图3，锐角△ABC 中，AD 和CE 分别是BC 和

AB 若AD 与CE 所夹的锐角是58°，则∠BAC ＋∠BCA 15．设a 2－b 2＝1＋2, b 2－c 2＝1－2，则a 4＋b 4＋c 4的值等于 。

16．已知x 为实数，且x 2＋

2x 1=3，则x 3＋3

x 1的值是 。 17．已知n 为正整数，若16

n 6n 10

n 3n 22-+-+是一个既约分数，那么这个分数的值等

于 。

18．如图4，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝4，∠ACB ＝折叠，使点B 和点C 重合，折痕为DE ，则△AEC 19．已知非负实数a 、b 、c 满足条件：3a ＋2b ＋c =4, 2设S ＝5a ＋4b ＋7c 的最大值为m ，最小值为n ，则n －m 等于 。 20．设a 、b 、c 、d 为正整数，且a 7＝b 6, c 3＝d 2

, c －a ＝17，则d －b 等于 。

三．解答题：

21．已知实数a 、b 满足条件|a －b |＝

a b <1,化简代数式(a 1－b

1

)2)1b a (--，将结果C

图3

C

D

图4A D

F

表示成只含有字母a的形式。

22．如图5，正方形ABCD中，AB＝3，点E、F分别在BC、CD上，

且∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，求△AEF的面积。

23．将编号为1，2，3，4，5的五个小球放入编号为1，2，3，4，5

的五个盒子中，每个盒子只放入一个，

①一共有多少种不同的放法？

②若编号为1的球恰好放在了1号盒子中，共有多少种不同的放法？

③若至少有一个球放入了同号的盒子中(即对号放入)，共有多少种不同的放法？

参考答案

21．∵|a －b |＝

a

b

<1， ∴ a 、b 同号，且a ≠0, b ≠0, ∴ a －b －1＝(a -b )-1<0,

∴(a 1－b 1)2)1b a (--=(a 1－b 1)[1-(a -b )]=)]b a (1[ab

a b ---.

① 若a 、b 同为正数，由a

b

<1，得a >b ，

∴ a -b =a

b , a 2

－ab =b , 解得b =1a a 2+,

∴(a 1－b 1)2)1b a (--=)]b a (1[ab a b ---=ab a b -

(1－a

b )

=－2a 1·a b

a -=－4a b

=－)1a (a 1

2+.

② 若a 、b 同为负数，由a

b

<1，得b >a ，

∴ a -b =－a

b , a 2

－ab =－b , 解得b =1a a 2-,

∴(a 1－b 1)2)1b a (--=)]b a (1[ab a b ---=ab a b

(1＋a b )

＝3a b a +=32

a 1a a a -+

=)

1a (a 1

a 22--.

A B C D E F

图6

G 综上所述，当a 、b 同为正数时，原式的结果为－)

1a (a 1

2

+；当a 、b 同为负数时，原式的结果为

)

1a (a 1

a 22

-- 22．将△ADF 绕A 点顺时针方向旋转90°到△ABG 的位置， ∴ AG ＝AF ，∠GAB ＝∠F AD ＝15°， ∠GAE ＝15°＋30°＝45°， ∠EAF ＝90°－(30°＋15°) ＝45°， ∴∠GAE ＝∠F AE ，又AE ＝AE ， ∴△AEF ≌△AEG ， ∴EF ＝EG ，

∠AEF ＝∠AEG ＝60°，

在Rt △ABE 中，AB ＝3，∠BAE ＝30°，

∴∠AEB ＝60°，BE ＝1，

在Rt △EFC 中，∠FEC ＝180°－(60°＋60°)＝60°， EC ＝BC －BE ＝3－1，EF ＝2(3－1)，

∴EG ＝2(3－1)，S △AEG ＝21

EG ·AB ＝3－3， ∴S △AEF ＝S △AEG ＝3－3.

23．① 将第一个球先放入，有5种不同的的方法，再放第二个球，这时以4种不同的放法，依此类推，放入第三、四、五个球，分别有3、2、1种放法，所以总共有5×4×3×2×1＝120种不同的放法。

② 将1号球放在1号盒子中，其余的四个球随意放，它们依次有4、3、2、1种不同的放法，这样共有4×3×2×1＝24种不同的放法。

③ (解法一)

在这120种放法中，排除掉全部不对号的放法，剩下的就是至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数。

为研究全部不对号的放法种数的计算法，设A 1为只有一个球放入一个盒子，且不对号的放法种数，显然A 1＝0，A 2为只有二个球放入二个盒子，且不对号的放法种数，∴ A 2＝1，A 3为只有三个球放入三个盒子，且都不对号的放法种数，A 3＝2，……，A n 为有n 个球放入n 个盒子，且都不对号的放法种数。

下面我们研究A n +1的计算方法，考虑它与A n 及A n －1的关系，

如果现在有 n 个球已经按全部不对号的方法放好，种数为A n 。取其中的任意一种，将第n ＋1个球和第n ＋1个盒子拿来，将前面n 个盒子中的任一盒子(如第m 个盒子)中的球(肯定不是编号为m 的球)放入第n ＋1个盒子，将第n ＋1个球放入刚才空出来的盒子，这样的放法都是合理的。共有n A n 种不同的放法。

但是，在刚才的操作中，忽略了编号为m 的球放入第n ＋1个盒子中的情况，即还有这样一种情况，编号为m 的球放入第n ＋1个盒子中，且编号为n ＋1的球放入第m 个盒子中，其余的n －1个球也都不对号。于是又有了nA n －1种情况是合理的。

综上所述得A n ＋1＝nA n ＋nA n －1＝n (A n ＋A n －1).

由A 1=0, A 2=1, 得A 3=2(1＋0)=2, A 4＝3(2＋1)=9, A 5＝4(9＋2)=44.

所以至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数为全部放法的种数减去五个球都不对号的放法种数，即120－44＝76种。

(解法二)

从五个球中选定一个球，有5种选法，将它放入同号的盒子中 (如将1号球放入

1号盒子)，其余的四个球随意放，有24种放法，这样共有5×24＝120种放法。

但这些放法中有许多种放法是重复的，如将两个球放入同号的盒子中(例如1号球和2号球分别放入1号盒子、2号盒子中)的放法就计算了两次，这样从总数中应减去

两个球放入同号的盒子中的情况，得120－2

5

C 33P ＝120－60(种)。 很明显，这样的计算中，又使得将三个球放入同号的盒子中(例如1号球、2号球和3号球分别放入1号盒子、2号盒子和3号盒子中)的放法少计算了一次，于是前面

的式子中又要加入35C 2

2P ＝20种，

再计算四个球、五个球放入同号盒子的情况，于是再减去四个球放入同号盒子中

的情况1

145P C ，最后加上五个球放入同号中的情况55C 。

整个式子为120－2

5C 33P ＋35C 22P －1145P C ＋55C ＝120－60＋20－5＋1＝76(种)。

初中数学竞赛试题

一、填空题(满分30分,每小题5分)

1.已知ｍ、ｎ互为相反数,ａ、ｂ互为负倒数,ｘ的绝对值等于3.则ｘ3-(1+ｍ+ｎ+ａｂ)ｘ2+(ｍ+ｎ)·ｘ2001+(-ａｂ)2002的值等于______.

2.已知正数ａ、ｂ,有下列命题: (1)若ａ=1,ｂ=1,则ａｂ ≤1;

(2)若ａ= 12 ,ｂ= 52 ,则ａｂ ≤3

2

;

(3)若ａ=2,ｂ=3,则ａｂ ≤5

2

;

(4)若ａ=1,ｂ=5,则ａｂ ≤3.

根据以上几个命题所提供的信息,请猜想:若ａ=6,ｂ=7,则ａｂ≤________.

3.已知ｋ=ａ+ｂ-ｃｃ =ａ-ｂ+ｃｂ = -ａ+ｂ+ｃ

ａ

,且ｍ-5 +ｎ2+9=6ｎ,则关于自变量ｘ

的一次函数ｙ=ｋｘ+ｍ+ｎ的图像一定经过第________象限.

4.如图1,∠ＡＯＢ=45°,角内有一点Ｐ,ＰＯ=10,在角的两

边上有两点Ｑ、Ｒ(均不同于点Ｏ).则△ＰＱＲ的周长的最小值为_________.

5.某公司规定一个退休职工每年可获得一份退休金,金额

与他工作的年数的算术平方根成正比例.如果他多工作ａ年,他

的退休金比原有的多ｐ元;如果他多工作ｂ年(ｂ≠ａ),他的退

休金比原有的多ｑ元.那么,他每年的退休金是(以ａ、ｂ、ｐ、

ｑ表示)_________元. 6.已知在△ＡＢＣ中,∠Ａ、∠Ｂ是锐角,且ｓｉｎＡ= 5

13

,

ｔg Ｂ=2,ＡＢ=29ｃｍ.则△ＡＢＣ的面积等于___________ｃｍ2.

二、解答题(满分70分)

7.(10分)观察:1×2×3×4+1=52,

2×3×4×5+1=112, 3×4×5×6+1=192,

……

(1)请写出一个具有普遍性的结论,并给出证明;

(2)根据(1),计算2000×2001×2002×2003+1的结果(用一个最简式子表示).

图1

Q P B R O A

8.(10分)如图2,已知Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠Ｃ=90°,沿过点Ｂ的一条直线ＢＥ折叠这个三角形,使点Ｃ落在ＡＢ边上的点为Ｄ.要使点Ｄ恰为ＡＢ的中点,问在图中还需添加什么条件?

(1)写出两个满足边的条件;

(2)写出两个满足角的条件;

(3)写出一个满足除边、角以外的其他条件.

9.(10分)在一次数学竞赛中,组委会决定用ＮＳ公司赞助的

款购买一批奖品.若以1台ＮＳ计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品,则可买100份奖品;若以1台ＮＳ计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品,则可买80份奖品.问这笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书,可各买多少?

10.(15分)如图3,ＯＢ是以(0,ａ)为圆心、ａ为半径的⊙Ｏ

1的弦,过点Ｂ作⊙Ｏ1的切线,Ｐ为劣弧

?OB上的任一点,且过Ｐ

作ＯＢ、ＡＢ、ＯＡ的垂线,垂足分别是Ｄ、Ｅ、Ｆ.

(1)求证:ＰＤ2=ＰＥ·ＰＦ;

(2)当∠ＢＯＣ=30°,点Ｐ为

?OB的中点时,求Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｐ四个点的坐标及Ｓ△ＤＥＦ.

E

D

C

图2

B A

y

x

O1

O

F

E D

C

图3

P

B

A

11.(10分)若ａ、ｂ、ｃ、ｄ>0,证明:在方程

1

2ｘ

2+2ａ+ｂｘ+ｃｄ=0;①

1

2ｘ

2+2ｂ+ｃｘ+ａｄ=0;②

1

2ｘ

2+2ｃ+ｄｘ+ａｂ=0;③

1

2ｘ

2+2ｄ+ａｘ+ｂｃ=0④

中,至少有两个方程有两个不相等的实数根.

12.(15分)有麦田5块Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ,它们的产量(单位:吨)、交通状况和每相邻两块麦田的距离如图4所示,要建一座永久性打麦场,这5块麦田生产的麦子都在此打场.问建在哪块麦田上(不允许建在除麦田以外的其他地方)才能使总运输量最小?图中圆圈内的数字为产量,直线段上的字母ａ、ｂ、ｄ表示距离,且ｂ<ａ<ｄ.

参考答案⑦

⑥

⑤

④③

d

b

a

a

a

a

E D

C

图4

B

A

一、1.28或-26 2.()

2132 3.三、四 4.10 2 5.ａｑ2-ｂｐ

2

2(ｂｐ-ａｑ) 6.145.过点Ｃ作Ａ

Ｂ的垂线,垂足为Ｄ.∵ｓｉｎＡ=

513 =ＣＤ

ＡＣ

,设ｍ>0,∴ＣＤ=5ｍ,ＡＣ=13ｍ.∵ｔg Ｂ= ＣＤＢＤ

=2,可设ｎ>0,ＣＤ=2ｎ,ＢＤ=ｎ,∴ＢＤ=ｎ= CD 2 = 5

2 ｍ.∴ＡＤ=(13ｍ)2-(5ｍ)2

=12ｍ.从而得ＡＢ=ＡＤ+ＢＤ=12ｍ+52ｍ=292ｍ.由29=292ｍ,得ｍ=2.则ＣＤ=5ｍ=10.故

Ｓ△ＡＢＣ=12 ＡＢ·ＣＤ=1

2

×29×10=145 (ｃｍ2).

二、7.(1)对于自然数ｎ,有ｎ(ｎ+1)(ｎ+2)(ｎ+3)+1=(ｎ2+3ｎ)(ｎ2+3ｎ+2)+1=(ｎ2+3ｎ)2+2(ｎ2+3ｎ)+1=(ｎ2+3ｎ+1)2.

(2)由(1)得2000×2001×2002×2003+1=40060012. 8.要使Ｄ为ＡＢ的中点,可添加下列条件之一:

角的关系:(1)∠Ａ=∠ＤＢＥ; (2)∠Ａ=∠ＣＢＥ;(3)∠ＤＥＡ=∠ＤＥＢ;(4)∠ＤＥＡ=∠ＢＥＣ;(5)∠Ａ=30°;(6)∠ＣＢＤ=60°;(7)∠ＣＥＤ=120°;(8)∠ＡＥＤ=60°.

边的关系:(1)ＡＢ=2ＢＣ;(2)ＡＣ= 3 ＢＣ;(3)2ＡＣ= 3 ＡＢ;(4)ＢＥ=ＡＥ.三角形的关系:△ＢＥＣ≌△ＡＥＤ.

9.设每台计算器ｘ元,每本《数学竞赛讲座》书ｙ元,这笔钱为ｓ元.则有100(ｘ+3ｙ)=ｓ=80(ｘ+5ｙ).化简得ｘ=5ｙ.解得ｓ=800ｙ.则这笔款可买《数学竞赛讲座》800本.又∵ｙ=5

x ,∴ｓ=160ｘ.则这笔款可买计算器160台.

10.(1)提示:连结ＥＤ、ＤＦ,证△ＦＤＰ∽△ＤＥＰ;(2)Ｄ(－

3 4 ａ, 34 ａ),Ｅ(－ 3 3

4

ａ, 34 ａ,Ｆ(－ 3 2 ａ,0),Ｐ(－ 3 2 ａ, ａ2 ),Ｓ△ＤＥＦ= 3 3 16

ａ2

.

11.写出这四个方程的判别式Δ1、Δ2、Δ3、Δ4.注意到Δ1+Δ3>0,Δ2+Δ4>0,故Δ1、Δ2、Δ3、Δ4中至少有两个大于零,即所得四个方程中至少有两个方程有不相等的实数根.

12.设在ｘ处的最少运输量为Ｓ(ｘ).据三角形三边长度关系,有ａ+ｂ>ｄ.于是,Ｓ(Ａ)=3ａ+5(ａ+ｂ)+4(ａ+ｄ)+6ａ=18ａ+5ｂ+4ｄ;Ｓ(Ｂ)=10ａ+3ｂ+4ｄ;Ｓ(Ｃ)=18ａ+13ｄ;Ｓ(Ｄ)=14ａ+13ｂ;Ｓ(Ｅ)=26ａ+6ｂ;经比较,知ｍｉｎ{Ｓ(Ａ),Ｓ(Ｂ),Ｓ(Ｃ),Ｓ(Ｄ),Ｓ(Ｅ)}=Ｓ(Ｂ).故Ｂ处为最佳选择.