数学必修五余弦定理.doc教案

数学必修五余弦定理教案

【教学分析】：

一、教学导图

温故引新

特例激疑类

比

探

究

理

性

演

绎

完

善

知

识

剖

析

升

华

例

题

示

范

迁

移

运

用

归

纳

小

结

反

思

拓

展类比探究

理性演绎

余弦定理

语言叙述

变形

作用

二、【教学目标】

1．通过实践与探究，会利用数量积证明余弦定理，提高数学语言的表达能力，体会向量工具在解决三角形的度量问题时的作用。

2．会从方程的角度理解余弦定理的作用及适用围，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

3．会结合三角函数利用计算器处理解斜三角形的近似计算问题。

4．在方程思想指导下，提升处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

三、【教学重难点】

教学重点：余弦定理的发现、证明过程及其基本应用。

教学难点：理解余弦定理的作用及适用围。

突破关键：将余弦定理的三个公式视为三个方程组成的方程组。

教学设计

一、温故引新特例激疑

1，正弦定理是三角形的边与角的等量关系。正弦定理的容是什么？你能用文字语言、数学语言叙述吗？你能用哪些方法证明呢？

正弦定理：在一个三角形中各边和它的对边的正弦比相等，即：2sin sin sin a b c

R A B C

===，其中2R 为三角形外接圆的直径。

说明：正弦定理说明同一个三角形中，边与它所对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数2R ，使2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===。

2，运用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？ 由

,sin sin sin sin a b b c

A B B C

==

，可以解决“已知两角及其一边可以求其他边。”“已知两边及其一边的对角可以求其他角。”等解

三角形问题。

3，思考：如图，在ABC ?中，已知

,,ABC c AC b BAC A ?==∠=，求a 即BC 。

本题是“已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。”的解三角形的问题。本题能否用正弦定理求解？

困难：因为角B C 、未知, 较难求a 。 二、类比探究 理性演绎 （一）类比探究

当一个三角形的两边和它们的夹角确定后，那么第三边也是确定不变的值，也就是说角A 的对边随着角A 的变化而变化。

c

b

b

a

b B

C

A

c

b

b

a

b B

C

A

c

b b

a

b B

C

A

当b c 、一定，A 变化时，a 可以认为是A 的函数，()0,A π∈。 当2

A π

=

时，222a b c =+（勾股定理），为方便起见，考虑2a 关于A 的函数，记作()2a f A =，

c

b

b

a b

B

C

A

即2222a f b c π??

==+ ???

。

当A 变化时，2a 怎样变化？考虑两种极端情况：

02

A A A π

π=

==

b b

c

a

b

B

C

A

c

b

b b

a

b

B

C

A

c

b

b

b

B

C

A

当A π=时，则()2

2222a b c b c bc =+=++; 当0A =时，则()2

2222a b c b c bc =-=+-; 我们比较三种情形的异、同点：

当0A =时，则22222221,a b c bc b c bc =+-=+-?; 当2

A π

=

时，2222220,a b c b c bc =+=+-?

当A π=时，则()()2

22222221.a b c b c bc b c bc =+=++=+-?- 相同点:都含有22b c +； 不同点:2bc -的系数不同；

猜想：2bc -的系数101-、、与02

A π

π=、、之间存在什么对应关系呢？

2222cos a b c bc A =+-。

那么就得到了当角A 为三个特殊角时的公式：2222cos a b c bc A =+-，这个公式是不是满足任意三角形呢？凭感觉上述公式应该满足任意三角形，但是我们应该给出严格的证明。

（二）理性演绎

同学们来考虑，证明恒等式通常采用什么思考方法？cos bc A 这样的结构我们在什么地方遇到过?

A

B

C

c

a

b

证明：2

2

2

2

2cos 2cos b c bc A AC AB AC AB A +-=+-

()

2

2

2

2

2

2AC AB AC AB AC AB

BC a

=+-?=-==

三、完善知识 剖析升华 （一）完善知识

（1）余弦定理：在ABC ?中，,,AB c BC a AC b ===，则：

2222cos a b c bc A =+-；

2222cos b a c ac B =+-；（第一种形式）

2222cos c a b ab C =+-。

（2）语言表述：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

（3）变形：222cos 2b c a A bc

+-=；

222

cos 2a c b B ac +-=；（第二种形式）

222

cos 2a b c C ab

+-=。

（二）剖析升华

（1）余弦定理与正弦定理一样，也是任何三角形边角之间存在的共同规律,余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.

（2）等式2222cos a b c bc A =+-含有四个量a b c A 、、、，从方程的角度看，已知其中三个量，总可以求出第四个量。

（3）根据已知量与未知量的性质可以知道，余弦定理可以解决有关三角形的哪些问题呢？利用余弦定理及推论可以解决以下两类三角形的问题：

①已知三边求三角形的三个角；

②已知两边及其夹角求三角形的其他边与角。

这两种类型问题在有解时都只有一个解，把“边、边、边”和“边、角、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行刻画，使其变成了可计算的公式。

（4）从余弦定理和余弦函数的性质可知：在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；

四、例题示 迁移运用 （一）例题示

例1：ABC ?中，7,5,3a b c ===，求这个三角形的最大角。 解：∵a b c >>，

∴这个三角形的最大角是A 。

222cos 2b c a A bc +-=2225371.2532

+-==-??

所以这个三角形的最大角是23

A π

=

。 引申：已知三角形三边长为a b c 、、，怎样判断ABC ?是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？

例2：ABC ?中，23,62,4

a c B π

==+=，求b 及A 。

解：根据余弦定理可知：

()(

)()(

)

()()

2222

2

2cos 23

62

22362cos

41284326628

b a

c ac B π

=+-=+

+-+=++-+=

∴22b =；

又2

2

2

cos 2b c a A bc +-=

)())

()()

2

2

2

2262231

.2

22262

++-==+ ∴3

A π

=

。

思考：你可以用平面几何知识求解本题吗？ 分析：如图，在ABC ?，过C 作CH AB ⊥于H ，,234

B a π

==，则6,6BH HC ==，

在AHC ?中，2,6,22,3

HA HC AC b A π

=====

。

23a =

H

B C

A

例3：如图所示，有两条直线AB 和CD 相交成080角，交点是O ，甲、乙两人同时从点O 分别沿OA OC 、方向出发，速度分别是4/ 4.5/km h km h 、，3时后两人相距多远(结果精确到

0.1/km h )？

分析：经过3时，甲到达点(),12P OP km =，乙到达点(),13.5Q OQ km =，问题转化为在OPQ ?中，己知()()012,13.5,80OP km OQ km POQ ==∠=，求PQ 的长。

解：经过3时后，甲到达点(),12P OP km =，乙到达点(),13.5Q OQ km =，依余弦定理，知：

()

222202cos 1213.521213.5cos8016.4PQ OP OQ

OP OQ POQ km =+-??∠=+-??≈

答：3时后两人相距约16.4km 。

例4：下图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数2,3,5,的图形。

试计算图中线段BD 的长度及DAB ∠的大小(长度精确到0.1，角度精确到01)。

解：在BCD ?中，01,1,135BC CD BCD ==∠=， 因为2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-?∠

22011211cos135222=+-??=+

所以 1.8.BD ≈

在ABD ?中，1,22, 3.AB BD AD =+=

因为222cos 2AB AD BD DAB AB AD

+-∠=?

2

21322

213

0.1691.+

-=

??≈所以080.DAB ∠=

思考：你还能用其他方法求线段BD 的长度及DAB ∠的大小吗？ （二）、迁移运用

1、在ABC ?中，cos cos b A a B =，则三角形为 ( C ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形

C ．等腰三角形

D ．等边三角形 2、在ABC ?中，4,3,3

a b C π

===

，则c = 。（13）

3、在ABC ?中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断ABC ?的类型。（钝角三角形）

4、平行四边形两条邻边的长分别是4643,cm cm 和它们的夹角是45°,求这个平行四边形的两条对角线长与它的面积.（43cm 和415cm ，248cm ）

五、归纳小结 反思拓展 （一）归纳小结

1、余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。能否用余弦定理证明勾股定理呢？

2、余弦定理有两个基本应用：一是已知三边求三角,二是已知两边及他们的夹角求第三边。

3、余弦定理和正弦定理是同一三角形的约束条件的不同表现形式，在本质上应该是一致的。

（二）反思拓展

1、余弦定理和正弦定理反映了同一三角形边、角之间的的度量关系,本质上时一致的.你能证明这两个定理时等价的吗?

2、总结解三角形的方法：已知三角形边角中哪三个量，有唯一解或多解或无解？分别用什么方法？

六、作业

1、P51 练习第1、2题；

2、习题2--1 A 组第

3、4题. 七、资料延拓

一、余弦定理的证明方法 1、平面几何法

如图，在ABC ?中，设,,BC a AC b AB c ===，

另外，当A 为钝角时也可证得上述结论，当A 为直角时，222a b c =+也符合上述结论。 2、坐标法

二、三角形中的射影定理的证明 1、平面几何法

如图，在ABC ?中，设,,BC a AC b AB c ===，则：

cos cos c AD DB b A a B =+=+。 2、向量法