(完整版)《幂的乘方与积的乘方》教案

幂的乘方与积的乘方

一、教学目标

(一)知识目标

1.经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义.

2.了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.

(二)能力目标

1.在探索幂的乘方的运算性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力.

2.学习幂的乘方的运算性质，提高解决问题的能力.

(三)情感目标

在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美.

二、教学重难点

（一）教学重点

幂的乘方的运算性质及其应用.

（二）教学难点

幂的运算性质的灵活运用.

三、教具准备

投影片三张

第一张：做一做，记作(§1.4.1 A)

第二张：例题，记作(§1.4.1 B)

第三张：练习，记作(§1.4.1 C)

四、教学过程

Ⅰ.提出问题，引入新课

［师］我们先来看一个问题：

一个正方体的边长是102毫米，你能计算出它的体积吗？如果将这个正方体的边长扩大为原来的10倍，则这个正方体的体积是原来的多少倍？

［生］正方体的体积等于边长的立方.所以边长为102毫米的正方体的体积V=(102)3立方毫米；如果边长扩大为原来的10倍，即边长变为102×10毫米即103毫米，此时正方体的体积变为V1=(103)3立方毫米.

［师］(102)3，(103)3很显然不是最简，你能利用幂的意义，得出最后的结果吗？大家可以独立思考.

［生］可以.根据幂的意义可知(102)3表示三个102相乘，于是就有(102)3=102×102×102=102+2+2=106；同样根据幂的意义可知(103)3=103×103×103=103+3+3=109.于是我们就求出了V=106立方毫米，V1=109立方毫米.

我们还可以计算出当这个正方形边长扩大为原来的10倍时，体积就变为原来的1000倍即103倍.

［生］也就是说体积扩大的倍数，远大于边长扩大的倍数.

［师］是的！我们再来看(102)3，(103)3这样的运算.102，103是幂的形式，因此我们把这样的运算叫做幂的乘方.这节课我们就来研究幂的第二个运算性质——幂的乘方.

Ⅱ.探索幂的乘方的运算性质

出示投影片(§1.4.1 A)

做一做：计算下列各式并说明理由.

(1)(62)4；(2)(a2)3;(3)(a m)2;(4)(a m)n.

［师］我们观察不难发现，上面的4个小题都是幂的乘方的运算，下面就请同学们利用幂的意义和我们学习过的内容解答它们.

［生］(1)(62)462·62·62·6262+2+2+2=68.

［师］第①步和第②步推出的理由是什么呢？

［生］第①步的理由是利用了幂的意义.(62)4表示4个62相乘；第②步的理由是利用了我们刚学过的同底数幂的乘法：底数不变，指数相加.

［师］观察上面的运算过程，底数和指数发生了怎样的变化？

［生］结果的指数8=2×4，刚好是原式子中两个指数的积，而运算前后的底数没变，还是6.

［师］接下来的(2)、(3)、(4)小题是不是可以同样地利用幂的意义和同底数幂的乘法的性质来推出结果呢？

［生］可以！

［师］下面我们就请三位同学到黑板上推出，其余的同学观察他们做的有无错误.

［生］(2)(a2)3=a2·a2·a2=a2+2+2=a6=a2×3;

(3)(a m )2=a m ·a m =a m +m =a 2m ;

(4)(a m )n =443

4421m

a n m m m a a a 个?????? =448

4476m n m m m a 个+???++=a mn .

［师生共析］由上面的“做一做”我们就推出了幂的乘方的运算性质，即 (a m )n =a mn (m ,n 都是正整数)

用语言表述即为：幂的乘方，底数不变，指数相乘.

在幂的乘方的运算中，指数的运算也降了一级.

Ⅲ.例题

出示投影片(§1.4.1 B)

［例1］计算：

(1)(102)3；(2)(b 5)5;(3)(a n )3;

(4)－(x 2)m ;(5)(y 2)3·y ;(6)2(a 2)6－(a 3)4.

［例2］如果甲球的半径是乙球的n 倍，那么甲球的体积是乙球的n 3倍. 地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？

图1－14

［师］我们首先看例1的(1)、(2)、(3)题，可以发现它们都是幂的乘方的运算.我们开始练习幂的乘方的运算性质，不要着急直接套入公式(a m )n =a mn 中，而应进一步体会乘方的意义和幂的意义.我们只要明白了算理，熟悉后就可直接代入，下面就请几个同学回答.

［生］(1)(102)3=102·102·102=102+2+2=102×3=106；

(2)(b 5)5=b 5·b 5·b 5·b 5·b 5=b 5+5+5+5+5=b 5×5=b 25;

(3)(a n )3=a n ·a n ·a n =a n +n +n =a 3n .

［师］很好！下面我们再来试做例1中(4)、(5)、(6)题.