热力学统计物理课后习题答案
第八章 玻色统计和费米统计
求弱简并理想费米(玻色)气体的压强公式． 解：理想费米(玻色)气体的巨配分函数满足
()
∑--±±=Ξl
l l e βεαω1ln ln
在弱简并情况下：
()()
()()()
??∞
--∞
--±?±=±±≈Ξ02/32/330
2/12/331ln 32
221ln 22ln l
l e d m h v g d e m h v g βεαβεαεπεεπ
()(
)(
)[]
?
??
???±-±?±=?∞
--∞--0
2
/30
2
/32/331ln 1ln 3222l
l
e
d e m h
v g βεαβεαε
επ ()?∞
+±?±=02/32/331
32
22l
e d m h v g βεαεεπ 与（8.2.4）式比较，可知
U β3
2
ln =
Ξ
再由（8.2.8）式，得
???
?
???????? ??±=???????????? ??±=Ξ2
/322/322241122411ln mkT h NkT mkT h V N NkT πβπβ 2
/322???
?
??=-mkT h V N e πα
n V
N
mkT h e V N T ==
?
??
? ??=??? ????∴--2
/322πα ???
????????? ??±=???
???????????????? ??±=Ξ??=2/322/3222412241ln 1mkT h n nkT T N mkT h n kT V p T ππβ
试根据热力学公式 ?=
dT T C S V 及光子气体的热容量V
V T U C ???
????=，求光子气体的熵。 解：(8-4-10)式给出光子气体的内能为43
3
4
215VT c k U
π=
-------（1）
则可以得到光子气体的定容热容量为3
3342154)(VT c k T U C V V
π=??=---------（2） 根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2-4-5），有
0])([
S dV T
P
dT T C S V V +??+=?----------（3） 取积分路线为（0，V ）至（T ，V ）的直线，即有
333422
03342454154VT c k dT T V c k S T
ππ==?----------------（4） 其中已经取积分常量S 0为零。
8.试证明一维和二维理想玻色气体不存在玻色凝聚现象． 证明：发生玻色凝聚时μ→0 ，因此临界温度T c 由下式决定：
()?=-n e d D V c kT 1
1/εε
ε …(1) 对于一维和二维理想玻色气体，由第六章习题可知分别有：
一维：()()εεεεd m h L d D 2
/122?
?
?
??=
二维：()()επεεmd h
L d D 22
2= 分别代入（1）式可知，若T c 取非零有限值，则当ε→0时积分均不收敛。 要求∴T c ＝0
但由于此时不存在T < T c 的状态，所以一维和二维理想波色气体不存在玻色凝聚现象，证毕。
银的传导电子密度为×1028
/m 3
。试求0K 时电子的最大能量、最大速率和电子气体的简并压。 解：0K 时电子的最大能量
()()()
eV
J V N m 6.5109.8109.53101.9210055.1320193
/228
2
31
2
343
/222=?=?????=
?
?
?
??=---π
πμ
最大速率 ()1
631
19104.110
1.9109.8202---??=???==s m J m v μ
0K 时的简并压 ()()()
Pa V N p 10193/228101.2109.8109.55
2
052?=????==
-μ
试求绝对零度下电子气体中电子的平均速率v 。
证明：根据式子（8-5-4），绝对零度下自由电子气体中电子动量大小的分布为 f=1 p P F
f=0 p>P F -----------（1）
其中P F 是费米动量，即0K 时电子的最大动量。因此电子的平均动量为
F F
F
P P P P P dP P h V dP
P h V
p F
F
4
3
3141883420
3
303===?
?ππ--------------（2） 因此电子的平均速率为F F v m P m p v 4
3
43====
---------------（3） 假设自由电子在二维平面上运动，面密度为n ．试求0 K 时二维电子气体的费米能量、内能和简并压．
解：考虑电子自旋有两种取向后，二维电子气体在ε→ ε + d ε的能量范围内电子的量子态数为
()επεεmd h
L d D 22
4=
所以0K 时电子的最大能量由下式确定：
()
N md h
L =?
επμ00
22
4 ()n m
h L N m h ππμ4402
2
2==∴ 内能
()()
()()()0210421204402
22222200
22
μμπμπεεπμN N L h m N m h L d m
h
L U =???
? ??===?
对于二维电子气体，V ＝L 2
()()(
)1
2222
22
221221-???
??
??+=+??? ??=V
n n m
n n L m y x y x L ππε
()()
V n n m V V l y x L επε-=??
????+-=??-2222221
所以 0K 时的简并压()021
μεεn V U V a V a p l l
l L l
l
===??-=∑∑
试根据热力学公式 ?=
dT T C S V
及低温下的热容量，求金属中自由电子气体的熵。
解：根据式（8-5-19）给出低温下金属中自由电子气体的定容热容量为
)
0(22μπkT
Nk C V =--------------(1)
根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2-4-5），有
0])([
S dV T
P
dT T C S V V +??+=?-----------(2) 取积分路线为 （0，V ） 至 （T ，V ）的直线，即有
)
0(2)0(22022μπμπkT
Nk dT Nk S T ==?-------------(3) 其中已取积分常量S 0为零。
试求低温下金属中自由电子气体的巨配分函数的对数，从而求电子气体的压强、内能和熵。 解：根据式（8-1-13），自由电子气体巨配分函数的对数可表达为
(
)
()()
?∑+∞
----+=+=Ξ0
2/12
/331ln 241ln ln εεπωβεαβεαd e m h V e
l l
l
l ()
?+∞
--+???
? ??=0
2
/12/33
1ln 24dx e x m h
V
l x αβπ----------------(1) 其中第二步用了（6-2-17）式，第三步做了变数变化=x
将上式的积分分为两段：
(
)()
]1ln 1ln [24ln 2
/10
2
/12/33
??+∞
------+++???
? ??=Ξα
αα
αβπdx e x
dx e
x
m h
V
l l
x x ---------------(2)
在第一个积分中将对数函数改写为
()()()()()
ξαααααα-++----+++-=+++-=++=+e x e x e e e l l l l x x x x 1ln )(1ln )(1ln ln 1ln
其中 )(x +-=αξ 。在第二个积分中作变数变换 x +=αξ ，（2）式可改写为
])(15
4
[24ln 21252
/33
I I m h
V ++-???
? ??=Ξαβπ---------------(3) 其中()?----+=
α
ξξξα0
2
1
1)
(1ln d e I l
()
?+∞
-+-+=0
21
2)(1ln ξξαξd e I l ------------------(4)
在低温 1>>=
-kT
μ
α 的情形下， I 1和I 2 可近似为
()?∑
?+∞--∞=+∞
---=-+≈≈011
2
1
2
1
21)1()
()
(1ln ξαξαξ
ξd e n
d e
I I n n n l
2
12
2
1
2
1
)(12)1()
(απα-=--=∑
∞
=n
n n ----------------（5） 于是)851()(21516ln 2
2
25
2
/33
α
π
αβπ+-???
? ??=
Ξm h V
-------------（6） 根据费米统计中热力学量的统计表达式可得
)81()(238ln 22
2
32
/33α
παβπα+-????
??=Ξ??-=m h V N -------------（7）
Ξ=Ξ??-
=ln 23ln β
βU -------------（8） Ξ=Ξ??=
ln 1
ln 1V
V P ββ-------------（9） )ln 2
5
()ln ln (ln N k k U αββαα
+Ξ=Ξ??-Ξ??-Ξ=------------（10） 由于在低温下 1>>=
-kT
μ
α ，作为第一级近似可以略去式（7）中的第二项而有
23
2
/33)(238ln αβπα-???
?
??=Ξ??-=m h V N
即kT
V N m )0()3(23222μβπα==- ------------------（11）
计及（7）式的第二项，可将（7）式改写为
)121()3(2)81()3(22
23
22232223222απβπαπβπα-=+=--V N m V N m
再将上式中第二项的 用第一级近似代入，得
}])0([
121{)
0(2
2
μπμαkT kT
-
=
-------------------（12）
或}])
0([
121){0(2
2
μπμμkT -
=------------------（13）
（13）式与（8-5-17）一致。
用式（7）除式（6），并将（12）式代入可将 ln 表示为N ，T ，(0) 的函数
}])
0([1251{)0(52}])0([21}{])0([121{)0(52ln 222222μπμμπμπμkT kT N kT kT kT N +=+-=Ξ-(14)
代回式（8），（9），（10）即得
}])
0([1251){0(532
2μπμkT N U +=----------------(15)
}])
0([1251){0(522
2μπμkT n P +=----------------(16)
)
0(22μπkT Nk S =----------------(17)
关于原子核半径R 的经验公式给出 R = ×10-5
m)·A 1/3
式中A 是原子核所含核子数．假设质子数和中子数相等，均为A ／2，试计算二者在核内的密度n ．如果将核内的质子和中子看作简并费米气体，试求二者的μ(0)以及核子在核内的平均动能．核子质量M μ =×10-27
kg ． 解： ()
3453153/1005.0103.13
42/342/m A A R A V
N n ?=??===
-ππ
()(
)()()
MeV
J n
M
271043.01005.031067.1210055.1320113
/245
2
27
2
343
/222
=?≈??????==---π
πμ
平均动能 ()MeV E 2.1605
3
==
μ 8.已知0 K 时铜的化学势μ(0)= eV ，试求20 K 时的化学势和电子的平均能量。 解
：
()()eV kT 0399997.7106.104.7201038.112104.70121021923222=???
????????? ??????-?=????
???????? ??-≈--πμπμμ 电子的平均能量 ()()eV kT N U E 224.401251053
2
2
≈???
?
???
????
?
??+
==μπμ