数学竞赛模拟题2及解答
第一部分
1.证明：当,0x y ≥时，
22
24
x y x y e +-+≤。 解答：考虑函数()()
22,,,0x y f x y x y e x y --=+≥。 当,0x y >时，得到(),f x y 的驻点为()1,1。
在x 或者y 为零时，可以得到驻点为()0,2或者()2,0。 计算得到()()()2
2
1,12,0,22,04f e f f e --===。
这就是说当,0x y ≥时，()2
,4f x y e -≤。
2.证明：曲面8xyz =上任意一点处的切平面与坐标平面所围成的四面体的体积为一定值，并且求出这个值。
解答：设点()000,,P x y z 在曲面上，则0008x y z =。该点的切平面的法向量为
()000000,,y z x z x y ，则切平面为()()()0000000000y z x x z x y y x y z z -+-+-=，即
000
3x y z
x y z ++=，则这个平面在三个坐标轴上的截距分别是0003,3,3x y z ，那么这个四面体的体积是0001
27366
V x y z =?=。
3.求在条件222
1x y z x y z ++=??
++=?
之下，函数u xyz =的最大值与最小值。 解答：令()()
2221xyz x y z x y z ?λμ=++++++-，则解方程组
2
22
'20
'20'2001
x y z yz x xz y xy z x y z x y z ?λμ?λμ?λμ=++=??=++=??
=++=??++=?++=??
得到六个驻点,,±±±，计算得到u 的值为
u xyz
=在有界闭域上一定有最大与最小值，因此u
，最小
值为。
4.试以u为函数，,ξη为自变量，对方程
2
2
z z
x y
??
=
??
施行变量代换
，
2
4
1
,,
x
y
x
u
y y
ξη
==-=。
解答：
2
4
x
y
z-
=，因为(),
u uξη
=，则
2
4
2
x
y
z u xu
e
xξ
-
?
??
=-?
???
，
2
222
4
22
1
24
x
y
z u x u u x u
e
x y y y
ξξ
-
??
???
=--+?
????
，
2
2
4
22
1x
y
z x u u
e
y y y
ξη
-
??
?
???
=-+?
????
代入等式
2
2
z z
x y
??
=
??
并化简得到
2
2
u u
ξη
??
=
??
。
5.求由方程222
2222440
x y z xy x y z
+++---+=所确定的函数(),
z z x y
=的极值。解答：对隐函数()
,
z z x y
=求导得
422240
z z
x z y
x x
??
++--=
??
222240
z z
y z x
y y
??
++--=
??
令0
z z
x y
??
==
??
，得到驻点()
0,1，代入原来的方程得到1,3
z=。
在点()
0,1,1，计算有2,1
A B C
===，于是1
z=是极小值。
在点()
0,1,3，计算有2,1
A B C
===-，于是3
z=是极大值。
第二部分
1．(
)1
ln 1
0lim x e x x
-→+
= 。
答案：e 。
(
)1
ln 1
x e y x
-=，则
()
ln ln 1ln 1x
x
y e =
→-，所以y e →。 2．函数
()()
1
12x x ++在点0x =的2008阶导数是 。
答案：200912008!12??
-
??
?
。 ()()()()001
11111121222n
n n n n n x x x x x x +∞
+∞==??=-=--- ?++++??
∑∑
3．如果12121,,0x x x x +=>，那么121211x x x x ????
++ ????
???最小是 。
答案：
25
4
求极值即可。
4．
1sin 1cos x
x e dx x +=+? 。
答案：tan 2
x
x e C +
21sin 1sec tan tan 1cos 2
222x x x
x x x x e dx e dx e C x +??=+=+ ?+???? 5.1
0lim 1n
x
n x dx e →+∞=+? 。 答案：0
01n n
x
x x e ≤≤+，积分并取极限即可得到10lim 01n
x n x dx e →+∞=+?。
6.123ln 1ln 1ln 1ln 1lim 123n n n n n n n n n n n n n n n →+∞??
??????
??++++ ? ? ? ? ?
????????
?
++++= ?++++
???
。
答案：2ln21-
()1
0123ln 1ln 1ln 1ln 1lim ln 12ln 21123n n n n n n x dx n n n n n n n n n →+∞??
????????++++ ?
? ? ? ?
?
??????? ?++++=+=- ?++++
??
?
?。
7.如果函数()y y x =满足微分方程()2
"'y y =，那么y = 。 答案：()12ln x c c -++
()()2
1121111"''1'ln ''y y x c y y x c c y y x c ??=?-=?-=+?=-?=-++ ?+??
8.若()
333ln 3u x y z xyz =++-，那么
u u u
x y z
???++=??? 。 答案：
3
x y z
++
9.如果函数,x
x
x
x
e e e e --+-都是微分方程'''0y ay by ++=的解，那么
a b += 。 答案：1-
显然，函数,x
x
e e -都是微分方程'''0y ay by ++=的解，因此0,1a b ==-。 10.设01x <<，那么级数
2
20
1n
n
n x x
+∞
=-∑的和是 。
答案：
1x x
- 利用等式1
22
2
2
11111n
n
n
n x
x x x +=
-
---相加。