函数新定义问题

历年高考新定义函数问题

一、 利用函数性质解决函数新定义问题

1．（2012年高考（福建理））设函数1,()0,D x ??=???x x 为有理数为无理数

,则下列结论错误的是

（ ）

A ．()D x 的值域为{}0,1

B ．()D x 是偶函数

C ．()

D x 不是周期函数

D ．()D x 不是单调函数

1【答案】C

【解析】A,B.D 均正确,C 错误.

【考点定位】该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶

性,全面掌握很关键.

2．（2012年高考（福建理））对于实数a 和b ,定义运算“﹡”:22,*,a ab a b b ab ?-?=??-?a b

a b

≤>,设

()(21)*(1)f x x x =--,且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ,则123x x x 的取值范围是_________________.

2【解析】由定义运算“*”可知

22

2

2112()0(21)(21)(1),21148

()=11(1)(21)(1),211()0

24

x x x x x x x f x x x x x x x x ?--≤??-----≤-??=??------???--+??，＞＞,画出该函数图象可知满

足条件的取值范围是

）.

二、 利用数形结合解决函数新定义问题

1.【2015高考天津，理8】已知函数()()2

2,2,2,2,

x x f x x x ?-≤?=?->?? 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取

值范围是( )

（A ）7

,4??+∞ ??? （B ）7,4??-∞ ??? （C ）70,4?? ??? （D ）7,24?? ???

【答案】D

【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤??=?->??得2

22,0

(2),0x x f x x x --≥??-=?

2,0

()(2)42,

0222(2),2

x x x y f x f x x x x x x x ?-+

=+-=---≤≤??--+->?， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ?-+

=+-=≤≤??-+>?

()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程 ()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的

图象的4个公共点，由图象可知

7

24

b <<.

【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合.

【名师点睛】本题主要考查求函数解析、函数与方程思、数形结合思想以及学生的作图能力.将求函数解析式、函数零点、方程的解等知识结合在一起，利用等价转换、数形结合思想等方法，体现数学思想与方法，考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力.是提高题.

2.【2015高考四川，理15】已知函数x x f 2)(=，ax x x g +=2)(（其中R a ∈）.对于不相等的实数21,x x ，设2121)()(x x x f x f m --=

，2

121)

()(x x x g x g n --=.现有如下命题：

（1）对于任意不相等的实数21,x x ，都有0>m ；

（2）对于任意的a 及任意不相等的实数21,x x ，都有0>n ； （3）对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m =； （4）对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m -=. 其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）. 【答案】①④ 【解析】

设11221122(,()),(,()),(,()),(,())A x f x B x f x C x g x D x g x .

对（1），从2x y =的图象可看出，0AB m k =>恒成立，故正确.对（2），直线CD 的斜率可为负，即0n <，故不正确.

对（3），由m =n 得1212()()()()f x f x g x g x -=-，即1122()()()()f x g x f x g x -=-. 令2()()()2x h x f x g x x ax =-=--，则()2ln 22x h x x a '=--.

由()0h x '=得：2ln 22x x a =+，作出2ln 2,2x y y x a ==+的图象知，方程

2ln 22x x a =+不一定有解，所以()h x 不一定有极值点，即对于任意的a ，不一定存

在不相等的实数21,x x ，使得12()()h x h x =，即不一定存在不相等的实数21,x x ，使得

n m =.故不正确.

对（4），由m =－n 得1221()()()()f x f x g x g x -=-，即1122()()()()f x g x f x g x +=+. 令2()()()2x h x f x g x x ax =+=++，则()2ln 22x h x x a '=++.

由()0h x '=得：2ln 22x x a =--，作出2ln 2,2x y y x a ==--的图象知，方程

2ln 22x x a =--必一定有解，所以()h x 一定有极值点，即对于任意的a ，一定存在不

相等的实数21,x x ，使得12()()h x h x =，即一定存在不相等的实数21,x x ，使得m n =-.故正确. 所以（1）（4）

【考点定位】函数与不等式的综合应用.

【名师点睛】四川高考数学15题历来是一个异彩纷呈的题，个中精彩读者可从解析中慢慢体会.解决本题的关键是转化思想，通过转化使问题得以解决.

3．（2013年高考湖北卷（文8））x 为实数,[]x 表示不超过x 的最大整数,则函数

()[]f x x x =-在R 上为

（ ）

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．增函数

D ．周期函数

【答案】D

【命题立意】本题考查函数的性质与判断。在12x ≤<时，()1f x x =-，在23x ≤<时，()2f x x =-，在34x ≤<时，()3f x x =-。在1n x n ≤<+时，()f x x n =- 。画出图象由图象可知函数没有奇偶性,在[n,n+1)上单调递增，是周期函数，周期是1.选D.

4．（2013年高考辽宁卷（文12））已知函数

()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设

()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中

的较大值,{}min ,p q 表示,p q 中的较小值,记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -= （ ）

A ．2216a a --

B ．2216a a +-

C ．16-

D ．16

【答案】C

()f x 顶点坐标为(2,44)a a +--，()g x 顶点坐标(2,412)a a --+，并且()f x 与()g x 的顶点都在对方的图象上，图象如图， A 、B 分别为两个二次函数顶点的纵坐

标，所以A-B=(44)(412)16a a ----+=-.

[方法技巧]（1）本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口。（2）并不是A ，B 在同一个自变量取得。

5．（2012年高考（福建理））函数()f x 在[,]a b 上有定义,若对任意12,[,]x x a b ∈,有

12121

(

)[()()]22

x x f f x f x +≤+,则称()f x 在[,]a b 上具有性质P .设()f x 在[1,3]上具有性质P ,现给出如下命题:

①()f x 在[1,3]上的图像时连续不断的; ②()f x 在3]上具有性质P ; ③若()f x 在2x =处取得最大值1,则()1,[1,3]f x x =∈;

④对任意1234,,,[1,3]x x x x ∈,有123412341

(

)[()()()()]44

x x x x f f x f x f x f x +++≤+++

其中真命题的序号是 （ ）

A ．①②

B ．①③

C ．②④

D ．③④

5【答案】D

【解析】正确理解和推断可知①②错误,③④错误

【考点定位】此题主要考查函数的概念、图像、性质,考查分析能力、推理能力、

数形结合思想,转化化归思想.

三、 利用特殊值法解决函数新定义问题

1.【2015高考湖北，理6】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >??

==??-

()f x 是R 上的增函数，

()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）

A ．sgn[()]sgn g x x =

B ．sgn[()]sgn g x x =-

C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =

D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-

【答案】B

【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，

所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >??

==??-

1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->??

===-??

.

【考点定位】符号函数，函数的单调性.

【名师点睛】构造法数求解高中数学问题常用方法，在选择题、填空题及解答题中都用到，特别是求解在选择题、填空题构造恰当的函数，根据已知能快捷的得到答案。 2.【2015高考浙江，理7】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）

A. (sin 2)sin f x x =

B. 2(sin 2)f x x x =+

C. 2

(1)1f x

x +=+ D.

2(2)1f x x x +=+

【答案】D.

【考点定位】函数的概念

【名师点睛】本题主要考查了函数的概念，以及全称量词与存在量词的意义，属于较难题，全称量词与存在量词是考试说明新增的内容，在后续复习时应予以关注，同时，“存在”，“任意”等一些抽象的用词是高等数学中经常会涉及的，也体现了从高中数学到大学高等数学的过渡，解题过程中需对函数概念的本质理解到位，同时也考查了举反例的数学思想.

1．（2013年高考陕西卷（文10））设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y ,

有

（ ）

A ．[-x ] = -[x ]

B ．[x +

1

2

] = [x ]

C ．[2x ] = 2[x ]

D ．1

[][][2]2

x x x ++=

【答案】D 代值法。

对A, 设x = - 1.8, 则[-x] = 1, -[x] = 2, 所以A 选项为假。

对B, 设x = 1.8, 则[x+

2

1

] = 2, [x] = 1, 所以B 选项为假。 对C, 设x = - 1.4, [2x] = [-2.8] = - 3, 2[x] = - 4, 所以C 选项为假。

故D 选项为真。所以选D

4．（2012年高考（四川理））记[]x 为不超过实数x 的最大整数,例

如,[2]2=,[1.5]1=,[0.3]1-=-.设a 为正整数,数列{}n x 满足

1x a =,1[

][

]()2

n n

n a x x x n N *++=∈,现有下列命题:

①当5a =时,数列{}n x 的前3项依次为5,3,2; ②对数列{}n x 都存在正整数k ,当n k ≥时总有n k x x =; ③当1n ≥时

,1n x >;

④对某个正整数k ,若1k k x x +≥,

则n x =.

其中的真命题有____________.(写出所有真命题的编号)

4 [答案]①③④

[解析]若5a =,根据1[

][]()2

n n

n a x x x n N *++=∈

当n=1时,x 2=[

215+]=3, 同理x 3=2]2

1

3[=+, 故①对. 对于②③④可以采用特殊值列举法:

当a=1时,x 1=1, x 2=1, x 3=1, x n =1, 此时②③④均对. 当a=2时,x 1=2, x 2=1, x 3=1, x n =1, 此时②③④均对 当a=3时,x 1=3, x 2=2, x 3=1, x 4=2x n =1, 此时③④均对 综上,真命题有 ①③④ .

[点评]此题难度较大,不容易寻找其解题的切入点,特殊值列举是很有效的解决办法. 四、新定义函数的综合问题

1．（2013年高考江西卷（文））设函数1

,0()1(1),11x x a a

f x x a x a

?≤≤??=??-<≤?-? a 为 常数且

a ∈(0,1). (1)当a=

12时,求f(f(1

3

)); (2)若x 0满足f(f(x 0))= x 0,但f(x 0)≠x 0,则称x 0为f(x)的二阶周期点,证明函数()f x 有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x 1,x 2;

(3)对于(2)中x 1,x 2,设A(x 1,f(f(x 1))),B(x 2,f(f(x 2))),C(a 2,0),记△ABC 的面积为s(a),求s(a)在

区间[

13,12

]上的最大值和最小值. 【答案】解:(1)当1

2

a=

时,121222(),(())()2(1)333333f f f f ==-=＝

(2

2222

21,01(),(1)

2)(())1(),1(1)1(1),11(1)

x x a a a x a x a a a f f x x a a x a a a x a a x a a ?≤≤??

?-<≤?-?=??-<<-+-??

?--+≤≤?-?

当20x a ≤≤时,由

2

1

x x a =解得x=0,由于f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;

当2a x a <≤时由

1()(1)a x x a a -=-解得2

1

a

x a a =-++2(,),a a ∈ 因222211(

)1111a a a

f a a a a a a a a a =?=≠

-++-++-++-++ 故2

1

a

x a a =

-++是f(x)的二阶周期点; 当21a x a a <<-+时,由

2

1()(1)x a x a -=-解得12x a

=-2

(,1)a a a ∈-+ 因1111(

)(1)2122f a a a a =?-=

----故1

2x a

=-不是f(x)的二阶周期点; 当211a a x -+≤≤时,

1(1)(1)x x a a -=-解得21

1

x a a =-++ 2(1,1)a a ∈-+

因22221111

(

)(1)11111a f a a a a a a a a a =?-=≠

-++--++-++-++ 故2

1

1

x a a =

-++是f(x)的二阶周期点. 因此,函数()f x 有且仅有两个二阶周期点,121a x a a =-++,22

1

1

x a a =-++. (3)由(2)得222211

(

,),(,)1111

a a A B a a a a a a a a -++-++-++-++

则232222

1(1)1(222)

(),()212(1)a a a a a a s a s a a a a a ---+'=?=?-++-++

因为a 在[

13,12]内,故()0s a '>,则11()[]32

s a 在区间，上单调递增， 故11

1111()[]32

3

33220

s a 在区间，上最小值为s()=

，最大值为s()= 2．（2012年高考（上海春））本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,

第3小题满分9分.

定义向量(,)OM a b =u u u u r

的“相伴函数”为()sin cos ;f x a x b x =+函数

()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”为(,)OM a b =u u u u r

(其中O 为坐标原点).记平面

内所有向量的“相伴函数”构成的集合为.S

(1)设()3sin()4sin ,2

g x x x π

=+

+求证:();g x S ∈

(2)已知()cos()2cos ,h x x x α=++且(),h x S ∈求其“相伴向量”的模;

(3)已知(,)(0)M a b b ≠为圆2

2

:(2)1C x y -+=上一点,向量OM u u u u r

的“相伴函

数”()f x

在0x x =处取得最大值.当点M 在圆C 上运动时,求0tan 2x 的取值范围.

2证明:(1)()3sin()4sin 4sin 3cos 2

g x x x x x π

=+

+=+

其“相伴向量”(4,3)OM =u u u u r

,()g x S ∴∈ (2)

()cos()2cos (cos cos sin sin )2cos sin sin (cos 2)cos h x x x x x x x x

ααααα=++=-+=-++

∴函数()h x 的“相伴向量”(sin ,cos 2)OM αα=-+u u u u r

,则

||OM ==u u u u r

(3)OM u u u u r

的“相伴向量

”()sin cos )f x a x b x x ?=+=+,

其中

cos ??==

当2,2

x k k Z π

?π+=+

∈时,()f x 取得最在值,故当02,2

x k k Z π

π?=+

-∈

0tan tan(2)cot 2

a

x k b

π

π??∴=+

-==

0022022tan 2tan 21tan 1()a

x b x a b a

x b a b

?

∴==

=---, b a 为直线OM 的斜率,

由几何意义知[b a ∈?,令b

m a

=,则

02tan 2,[1

x m m m

∴=

∈?-

当03

m -

≤<时,函数02tan 21x m m =-

单调递减,

∴00tan 2x <≤

当0m <≤

时,函数02

tan 21x m m

=-

单调递减,

∴0tan 20x ≤<.

综上所述

,

)(

0tan 2x ?∈?

U .