函数的图像及应用

课时规范练20 函数y=A sin(ωx+φ)的图像及应用

基础巩固组

1.(2018湖南长郡中学仿真,3)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像,可以将函数y=cos 3x的图像()

A.向右平移个单位

B.向右平移个单位

C.向左平移个单位

D.向左平移个单位

2.已知函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图像()

A.关于点对称

B.关于直线x=对称

C.关于点对称

D.关于直线x=对称

3.(2018河北衡水中学金卷十模,10)将函数y=sin x-的图像向右平移个单位,再将所得的图像所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),则所得图像对应的函数的一个递增区间为() A. B.

C. D.

4.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()

A.5

B.6

C.8

D.10

5.(2018河北衡水中学月考,10)将函数f(x)=2sin4x-的图像向左平移个单位,再把所有点的横

坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g(x)的图像,则下列关于函数y=g(x)的说法错误的是 () A.最小正周期为π

B.图像关于直线x=对称

C.图像关于点对称

D.初相为

6.(2018河南洛阳一模)将函数f(x)=2sin(ω>0)的图像向右平移个单位长度后得到g(x)的图像,若函数g(x)在区间-上是增加的,则ω的最大值为()

A.3

B.2

C. D.

7.(2018河北衡水中学金卷一模,11)已知函数f(x)=sin ωx-2cos2+1(ω>0),将f(x)的图像向右平移φ个单位,所得函数g(x)的部分图像如图所示,则φ的值为()

A. B. C. D.

8.函数y=A sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则()

A.y=2sin

B.y=2sin

C.y=2sin

D.y=2sin

9.(2018北京,理11)设函数f(x)=cos(ω>0),若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为.

10.已知函数y=3sin.

(1)用五点法作出函数的图像;

(2)说明此图像是由y=sin x的图像经过怎么样的变化得到的.

综合提升组

11.(2018河南商丘二模,11)将函数f(x)=cos2sin-2cos+(ω>0)的图像向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图像,若y=g(x)在上是增加的,则ω的最大值为()

A.2

B.4

C.6

D.8

12.(2018山西吕梁一模,11)将函数f(x)=2sin的图像向左平移个单位,再向下平移1个单位,得到g(x)的图像,若g(x1)g(x2)=9,且x1,x2∈[-2π,2π],则2x1-x2的最大值为()

A. B. C. D.

13.已知函数f(x)=cos(2x+φ)的图像关于点对称,若将函数f(x)的图像向右平移m(m>0)个单位长度后得到一个偶函数的图像,则实数m的最小值为.

14.(2018湖南长郡中学二模,17)已知函数f(x)=2sin cos sin 2x.

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)求函数f(x)在区间上的最值及相应的x值.

创新应用组

15.(2018湖南衡阳一模,11)已知A、B、C、D是函数y=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<在一个周期内的图像上的四个点,如图所示,A,B为y轴上的点,C为图像上的最低点,E为该图像的一个对称中心,B与D关于点E对称,在x轴上的投影为,则()

A.ω=2,φ=

B.ω=2,φ=

C.ω=,φ=

D.ω=,φ=

16.(2018河北衡水中学17模,11)设函数f(x)=sin.若x1x2<0,且f(x1)+f(x2)=0,则|x2-x1|的取值范围为()

A. B.

C. D.

参考答案

课时规范练20 函数y=A sin(ωx+φ)

的图像及应用

1.A y=sin 3x+cos 3x=sin=sin 3,

函数y=cos 3x=sin=sin 3,故将函数

y=cos 3x的图像向右平移个单位,

得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像.

2.D由题意知ω=2,函数f(x)的对称轴满足2x+=kπ(k∈Z),解得x=- (k∈Z),当k=1时,x=,故选D.

3.A将y=sin的图像向右平移个单位,得到y=sin-=sin的图像,

再将所得的图像所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),

所得的图像对应的解析式为y=sin,

令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,解得2kπ+≤x≤2kπ

+,k∈Z,

当k=0时,所得图像对应的函数的一个递增区间为,,故选C.

4.C因为sin∈[-1,1],所以函数y=3sin+k的最小值为k-3,最大值为k+3.

由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.

所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.

5.C由题意,图像平移后的解析式为y=2sin,图像横坐标伸长后的解析式为

y=2sin,

∴g(x)=2sin.易判断选项A,D都正确,对于选项B,C,∵

g=2sin=2≠0,

∴选项B对C错,故选C.

6.C由题意知,g(x)=2sin=2sin ωx,由对称性,得-≤×,即ω≤,则ω的最

大值为.

7.A由题意得f(x)=sin ωx-2cos2+1=sin ωx-cos ωx=2sin,

则g(x)=2sinω(x-φ)-=2sinωx-ωφ-,由题图知T=2-=π,∴ω=2,g(x)=2sin2x-2φ-,

则g=2sin--2φ=2sin=2,

由0<φ<,得-2φ=,解得φ的值为,故选A.

8.A由题图知,A=2,周期T=2-=π,

所以ω==2,y=2sin(2x+φ).

方法一:因为函数图像过点,

所以2=2sin.

所以+φ=2kπ+(k∈Z).

令k=0,得φ=-,

所以y=2sin,故选A.

方法二:因为函数图像过点,

所以-2=2sin,

所以2×+φ=2kπ-,k∈Z,

即φ=2kπ-,k∈Z.

令k=0,得φ=-,

所以y=2sin.故选A.

9. ∵对任意x∈R都有f(x)≤f,

∴f=1,即cos=1.

∴-=2kπ,k∈Z.∵ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值,即=,ω=.故ω的最小值为.

10.解 (1)列表:

x

x-0 ππ2π

3sin0 3 0 -3 0

描点、连线,如图所示.

(2)(方法一)“先平移,后伸缩”.

先把y=sin x的图像上所有点向右平移个单位长度,得到y=sin的图像,再把

y=sin的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin

的图像,最后将y=sin的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图像.

(方法二)“先伸缩,后平移”

先把y=sin x的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin x的图像,再把y=sin x图像上所有的点向右平移个单位长度,得到

y=sin=sin的图像,最后将y=sin的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图像.

11.C f(x)=cos2sin-2cos+=sin ωx-2+=sin ωx-cos

ωx=2sinωx-,f(x)的图像向左平移个单位,得y=2sinωx+-的图像, ∴函数y=g(x)=2sin ωx.

又y=g(x)在上是增加的,

∴≥,即≥,

解得ω≤6,所以ω的最大值为6.

12.A由题意得g(x)=2sin2x++-1,故g(x)max=1,g(x)min=-3,

由g(x1)g(x2)=9,得

由g(x)=2sin-1=-3得2x+=2kπ-,k∈Z,

即x=kπ-,k∈Z,

由x1,x2∈[-2π,2π],得x1,x2=-,-,,.

故当x1=,x2=-时,2x1-x2最大,即2x1-x2=,故选A.

13.∵函数的图像关于点对称,∴2×+φ=kπ+,k∈Z,

解得φ=kπ-,k∈Z,

∴f(x)=cos,k∈Z.

∵f(x)的图像平移后得函数y=cos(k∈Z)为偶函数,∴-2m+kπ-=k1π(k∈Z,k1∈Z),m=-.

∵m>0,∴m的最小正值为,此时k-k1=1(k∈Z,k1∈Z).

14.解 (1)f(x)=sin+sin 2x=cos 2x+sin 2x=2sin,

所以f(x)的最小正周期是π.

(2)因为0≤x≤,所以0≤2x≤π,

所以≤2x+≤,

当x=时,f(x)max=2;

当x=时,f(x)min=-1.

15.A由题意可知=+=,

∴T=π,ω==2.

又sin=0,0<φ<,

∴φ=,故选A.

16.B(特殊值法)画出f(x)=sin的图像如图所示.

结合图像可得,当x2=0时,f(x2)=sin=;

当x1=-时,f(x1)=sin=-,满足f(x1)+f(x2)=0.

由此可得当x1x2<0,且f(x1)+f(x2)=0时,|x2-x1|>=.故选B.