全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题第3讲 二项式定理

全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题

第3讲 二项式定理

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．把(1－x )9的展开式按x 的升幂排列，系数最大的项是第________项 ( ) A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

解析 (1－x )9展开式中第r ＋1项的系数为C r 9(－1)r

，易知当r ＝4时，

系数最大，即第5项系数最大，选B. 答案 B

2．(优质试题·辽宁卷)使? ?

???3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

解析

T r ＋1＝C r n (3x )

n －r ? ??

??1x x r ＝C r n 3n －r x n －52r

，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当

r ＝2，n ＝5时成立． 答案 B

3．(1＋2x )3(1－x )4展开式中x 项的系数为

( )

A ．10

B ．－10

C ．2

D ．－2

解析 (1＋2x )3(1－x )4展开式中的x 项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项，它为C 03

(2x )0·C 14(－x )1＋C 13(2x )1·C 0414(－x )0，其系数为C 03·C 14(－1)＋C 1

3·2＝－4＋6

＝2. 答案 C

4．若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为

( )

A ．1或3

B ．－3

C ．1

D ．1或－3

解析 令x ＝0，得a 0＝(1＋0)6＝1，令x ＝1，得(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6，又a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或m ＝－3. 答案 D

5．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝ ( )

A ．－180

B ．180

C ．45

D ．－45

解析 因为(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，所以[2－(1－

x )]10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，所以a 8＝C 81022(－1)8＝180.

答案 B 二、填空题

6．(优质试题·新课标全国Ⅱ卷)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________(用数字作答)．

解析 T r ＋1＝C r 10x 10－r a r ，令10－r ＝7，得r ＝3，∴C 310

a 3＝15，即10×9×83×2×1a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝1

2. 答案 12

7．(优质试题·皖南八校三联)? ?

???x ＋12x n 的展开式中第五项和第六项的二项式系数

最大，则第四项为________．

解析 由已知条件第五项和第六项二项式系数最大，得n ＝9，? ?

???x ＋12x 9展开

式的第四项为T 4＝C 39·(

x )6

·? ??

??12x 3＝21

2.

答案 21

2

8．若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________． 解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36，

令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1，∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋1

2. 令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋1

2－1＝364. 答案 364 三、解答题

9．已知二项式(3

x ＋1x )n 的展开式中各项的系数和为256. (1)求n ；(2)求展开式中的常数项．

解 (1)由题意得C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n

n ＝256，

∴2n ＝256，解得n ＝8.

(2)该二项展开式中的第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 8(

3x )

8－r

·? ??

??1x r ＝C r

8·x 8－4r 3， 令8－4r

3＝0，得r ＝2，此时，常数项为T 3＝C 28＝28. 10．在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；

(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和；

解 (1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.

(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.

(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.

(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋5102；

①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510，

∴偶数项系数和为1－510

2.

能力提升题组

(建议用时：25分钟)

11．(优质试题·浙江卷)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝

( ) A ．45

B ．60

C ．120

D ．210

解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n

的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 34＝4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，

3)＝120，故选C. 答案 C

12．(优质试题·新课标全国Ⅰ卷)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( ) A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

解析 由题意得：a ＝C m 2m ，b ＝C m 2m ＋1，所以13C m 2m ＝7C m

2m ＋1，∴

13·（2m ）！

m ！·m ！

＝

7·（2m ＋1）！m ！·（m ＋1）！，∴7（2m ＋1）

m ＋1

＝13，解得m ＝6，经检验为原方程的解，

选B. 答案 B

13．若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝________．

解析 原等式两边求导得5(2x －3)4·(2x －3)′＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4，令上式中x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝10. 答案 10

14．求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除．

证明 ∵1＋2＋22＋…＋2

5n －1

＝25n －12－1

＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1

＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C n

n －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )， 显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，

∴原式能被31整除.