高中数学必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案

解析几何初步知识点及练习题（含答案）

1．直线的倾斜角与斜率：

（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着

交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.

倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211

21

2=≠--=

k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.

2．直线方程的五种形式：

（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．

注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：

1

21

121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠).

注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；

② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示

任意直线． （4）截距式：

1=+b

y

a x （

b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）

． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示

过原点的直线．

（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．

一般式化为斜截式：B

C x B A y --

=，即，直线的斜率：B A k -=．

注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．

已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的

倒数)或0y =．

已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．

（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．

3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截．距相等．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直：

（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+

① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有

① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ．

5．平面两点距离公式：

(111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：

A B x x AB -=．

线段21P P 的中点是),(00y x M ，则???

????

+=+=22

21

0210y y y x x x ．

6．点到直线的距离公式：

点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2

2

00B

A C

By Ax d +++=．

7．两平行直线间的距离：

两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离：2

2

21B

A C C d +-=

．

8．直线系方程：

（1）平行直线系方程：

① 直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．．

② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=．

③ 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为：

00()()0A x x B y y -+-=．

（2）垂直直线系方程：

① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=．

② 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为：

00()()0B x x A y y ---=．

（3）定点直线系方程：

① 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数．

② 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．

（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：交

点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ (除

2l )，其中λ是待定的系数．

9．曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标?方程组{

(,)0(,)0

f x y

g x y ==的解．

10．圆的方程：

（1）圆的标准方程：2

2

2

)()(r b y a x =-+-（0>r ）．

（2）圆的一般方程：)04(02

222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ． （3）圆的直径式方程：

若),(),(2211y x B y x A ，，以线段AB 为直径的圆的方程是：

0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ．

注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(E D --，F E D r 42

122-+=． （2）一般方程的特点：

① 2x 和2y 的系数相同且不为零；② 没有xy 项； ③ 042

2>-+F E D （3）二元二次方程02

2

=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的等价条件是： ① 0≠=C A ； ② 0=B ； ③ 042

2

>-+AF E D ．

11．圆的弦长的求法：

（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，

则：“半弦长2+弦心距2=半径2”——222)2

(r d l

=+；

（2）代数法：设l 的斜率为k ，l 与圆交点分别为),(),(2211y x B y x A ，，则

||1

1||1||22B A B A y y k

x x k AB -+

=-+= （其中|||,|2121y y x x --的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或x ，利用韦达定理求解）

12．点与圆的位置关系：点),(00y x P 与圆2

22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种

①P 在在圆外22020)()(r b y a x r d >-+-?>?． ②P 在在圆内22020)()(r b y a x r d <-+-?

③P 在在圆上22020)()(r b y a x r d =-+-?=?． 【P 到圆心距离

2200()()d a x b y =-+-】

13．直线与圆的位置关系：

直线0=++C By Ax 与圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种

(2

2

B

A C Bb Aa d +++=

):

圆心到直线距离为d ，由直线和圆联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为?．

0相离r d ；0=???=相切r d ；0>???<相交r d ．

14．两圆位置关系:设两圆圆心分别为21,O O ，半径分别为21,r r ，d O O =21

条公切线外离421??+>r r d ； 无公切线内含??-<21r r d ； 条公切线外切321??+=r r d ；条公切线内切121??-=r r d ；

条公切线相交22121??+<<-r r d r r ．

15．圆系方程：)04(02

2

2

2

>-+=++++F E D F Ey Dx y x （1）过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程：

1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ?--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程．

（2）过直线0=++C By Ax l ：与圆C :02

2=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程：

0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ,λ是待定的系数．

（3）过圆1C :01112

2

=++++F y E x D y x 与圆2C :02222

2

=++++F y E x D y x 的交

点的圆系方程：0)(2222

211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ,λ是待定的系数．

特别地，当1λ=-时，2222

111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=就

是

121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆

交点的直线． 16．圆的切线方程：

（1）过圆2

22r y x =+上的点),(00y x P 的切线方程为:200r y y x x =+．

（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上的点),(00y x P 的切线方程为:200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ．

（3）过圆2

2

0x y Dx Ey F ++++=上的点),(00y x P 的切线方程为:

0000()()

022D x x E y y x x y y F ++++

++=． (4) 若P(0x ,0y )是圆222

x y r +=外一点,由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点分别为

A,B

则直线AB 的方程为2

00xx yy r +=

(5) 若P(0x ,0y )是圆222

()()x a y b r -+-=外一点, 由P(0x ,0y )向圆引两条切线,

切点分别为A,B 则直线AB 的方程为2

00()()()()x a x a y b y b r --+--=

（6）当点),(00y x P 在圆外时，可设切方程为)(00x x k y y -=-，利用圆心到直线距离等于半径，

即r d =，求出k ；或利用0=?，求出k ．若求得k 只有一值，则还有一条斜率不存在的直线0x x =．

17．把两圆01112

2

=++++F y E x D y x 与02222

2

=++++F y E x D y x 方程相减

即得相交弦所在直线方程:0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． 18．空间两点间的距离公式:

若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB 2

2

2

212121()()()x x y y z z =-+-+-

一、选择题

1．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x

2．若1(2,3),(3,2),(,)2

A B C m --三点共线 则m 的值为（ ）

Ａ．

21 Ｂ．2

1

- Ｃ．2- Ｄ．2 3．直线x a y

b

221-=在y 轴上的截距是（ ）

A ．b

B ．2

b - C ．b 2

D ．±b

4．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ） A ．(0,0) B ．(0,1)

C ．(3,1)

D ．(2,1)

5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ） A ．平行

B ．垂直

C ．斜交

D ．与,,a b θ的值有关

6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）

A ．4

B ．21313

C ．5

1326 D ．7

1020

7．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的

斜率k 的取值范围是（ ）

A ．3

4

k ≥

B ．3

24

k ≤≤

C ．3

24

k k ≥≤

或 D ．2k ≤

二、填空题

1．方程1=+y x 所表示的图形的面积为_________。

2．与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是____________。 3．已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则22b a +

的最小值为 4．将一张坐标纸折叠一次，使点(0,2)与点(4,0)重合，且点(7,3)与点(,)m n 重合，则n m +的值是___________________。

５．设),0(为常数k k k b a ≠=+，则直线1=+by ax 恒过定点 ． 三、解答题

1．求经过点(2,2)A -并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。

2．一直线被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是P 点，当P 点分别为(0,0)，(0,1)时，求此直线方程。

2． 把函数()y f x =在x

a =及x

b =之间的一段图象近似地看作直线，设a

c b ≤≤， 证明：()f c 的近似值是：()()()[]fa ca ba fb fa +-

-

-．

4．直线3

13

y x =-

+和x 轴，y 轴分别交于点,A B ，在线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点1(,)2

P m 使得△ABP 和△ABC 的面积相等， 求m 的值。

一、选择题

1.B 线段AB 的中点为3(2,),2

垂直平分线的2k =，3

2(2),42502

y x x y -=---= 2.A 2321,,132232

AB

BC m k k m --+===+-

3.B 令0,x =则2

y b =-

4.C 由13kx y k -+=得(3)1k x y -=-对于任何k R ∈都成立，则30

10x y -=??-=?

5.B cos sin sin (cos )0θθθθ?+?-=

6.D 把330x y +-=变化为6260x y +-=，则22

1(6)71020

62d --==

+ 7.C 3

2,,4

PA PB l PA l PB k k k k k k ==≥≤,或 二、填空题

1.2 方程1=+y x 所表示的图形是一个正方形，其边长为2

2.724700x y ++=，或724800x y +-=

设直线为2

2

57240,3,70,80247

c x y c

d c +++==

==-+或

3.3 22b a +的最小值为原点到直线1543=+y x 的距离：155

d =

4．

44

5

点(0,2)与点(4,0)关于12(2)y x -=-对称，则点(7,3)与点(,)m n 也关于12(2)y x -=-对称，则3

712(2)2231

72n m n m ++?-=-???-?=-?-?，得235215m n ?=???

?=??

5.11

(,)k k

1=+by ax 变化为()1,()10,ax k a y a x y ky +-=-+-=

对于任何a R ∈都成立，则0

10x y ky -=??-=?

三、解答题

1.解：设直线为2(2),y k x -=+交x 轴于点2

(2,0)k

--，交y 轴于点(0,22)k +， 122

2221,4212S k k k k

=

?+?+=++= 得2

2320k k ++=，或2

2520k k ++= 解得1

,2

k =-或 2k =-

320x y ∴+-=，或220x y ++=为所求。

2.解：由4603560

x y x y ++=??

--=?得两直线交于2418(,)2323-，记为2418

(,)2323A -，则直线AP

垂直于所求直线l ，即43l k =

，或245

l k = 43y x ∴=

，或24

15

y x -=， 即430x y -=，或24550x y -+=为所求。 1. 证明：,,A B C Q 三点共线，AC AB k k ∴=

即

()()()

c y f a f b f a c a b a

--=

-- ()[()()]c c a

y f a f b f a b a -∴-=--

即()[()()]c c a

y f a f b f a b a

-=+--

()f c ∴的近似值是：()()()[]fa ca ba fb fa +-

-

- 2. 解：由已知可得直线//CP AB ，设CP 的方程为3

,(1)3

y x c c =-

+> 则

13

3,321

13c AB c -=?==+，333y x =-+过1(,)2P m 得13533,232

m m =-+=