中考数学压轴题之二次函数(中考题型整理,突破提升)附详细答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝
S△CGO，求点E的坐标；
（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角
形，t的值为或或．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．
（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．
（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．
【详解】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
, 解得：，
∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，
设直线AC解析式为y=kx+3，
∴-k+3=0，得：k=3，
∴直线AC解析式为：y=3x+3.
（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴G（1，4），GH=4，
∴S△CGO=OC?x G=×3×1=，
∴S△CGE=S△CGO=×=2，
①若点E在x轴正半轴上，
设直线CG：y=k1x+3，
∴k1+3=4 得：k1=1，
∴直线CG解析式：y=x+3，
∴F（-3，0），
∵E（m，0），
∴EF=m-（-3）=m+3，
∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF?GH-EF?OC=EF?（GH-OC）=（m+3）?（4-3）=，
∴=2，解得：m=1，
∴E的坐标为（1，0）.
②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，
∴EF=-3-m=1-（-3）=4，
解得：m=-7 即E（-7，0），
综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.
（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，
设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，
①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，
∵MN∥x轴，
∴MQ=NR=3e+3，
∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），
∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，
∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，
∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，
∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，
解得：e1=-1（舍去），e2=?，
∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，
∴t-1-e=3e+3，
∴t=4e+4=，
②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，
∴MN=PM=3e+3，
∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），
∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，
解得：e1=-1（舍去），e2=?，
∴t=AP=e-（-1）=?+1＝，
③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，
∴MN=PN=3e+3，N （4e+3，3e+3）， 解得：e=?
，
∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=
，
综上所述，存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形，t 的值为或
或
．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．
2．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．
（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；
（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，
11AM AN
+均为定值，并求出该定值．
【答案】（1）a =13
-，A 30），抛物线的对称轴为x 32）点P 的坐标为3034）；（3）32
． 【解析】
试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性
可确定出抛物线的对称轴；
（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的
，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；
（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．
试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13
-．
令y =0得：290ax a --=，∵a ≠0，∴290x --=，解得：x =
x =∴点A 0），B （0），∴抛物线的对称轴为x
（2）∵OA OC =3，∴tan ∠CAO ∴∠CAO =60°．
∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO =1，∴点D 的坐标为（0，1）．
设点P a ）．
依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2． 当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．
当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 0）．
当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P ，﹣4）．
综上所述，点P 04）．
（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：30+=，解得：
m ∴直线AC 的解析式为3y =+． 设直线MN 的解析式为y =kx +1．
把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1
k
-，0），
∴AN =1
k
-
．
将3y =+与y =kx +1联立解得：x
，∴点M ．
过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG
∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG =4
233k +-=2323
k k --，
∴
11AM AN +=323231k k k k -+-- =33232k k --=3(31)2(31)
k k -- =3
2． 点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题（3）的关键．
3．如图，某足球运动员站在点O 处练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上)，足球的飞行高度y(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间满足函数关系y ＝at 2＋5t ＋c ，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m . (1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？
【答案】（1）足球飞行的时间是8
5
s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ；（2）能. 【解析】
试题分析：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣
t 2+5t+，当t=时，y 最大
=4.5；
（2）把x=28代入x=10t 得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得
到他能将球直接射入球门．
解：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5）， ∴
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，
∴当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，
∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．
考点：二次函数的应用．
4．如图，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P，使得△ABP的面积为△ABC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，当以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．
【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P的坐标为（5，－5）；
（4）5
2
或5．
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；
（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；
（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.
试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得
1640
3
a b
a b
+=
?
?
+=
?
，解
得
1
4
a
b
=-
?
?
=
?
，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x．
（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．
又C，B关于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝1
2
×2×3＝3．
（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．
∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP
∴6＋1
2×（m－1）×（3＋m2－4m）＝
1
2
×3×3＋
1
2
×（3＋m－1）（m2－4m）
整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．
（4）5
2
或5．
提示：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝5
2
；
②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；
③当以C为直角顶点时，此种情况不存在．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.
5．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣1
2
x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和
点B（0，5
2
），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时
针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD 的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+5
2
；（2）线段CD 的长为2；（3）M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣7
2
）． 【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y=﹣
12（x ﹣2）2+9
2
，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t ，则D （2，9
2
﹣t ），根据旋转性质得∠PDC=90°，
DP=DC=t ，则P （2+t ，
92﹣t ），然后把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+5
2
得到关于t 的方程，从而解方程可得到CD 的长；
（3）P 点坐标为（4，
92），D 点坐标为（2，5
2
），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ），当m ＞0时，利用梯形面积公式得到12?（m+5
2
+2）?2=8
当m ＜0时，利用梯形面积公式得到12?（﹣m+5
2
+2）?2=8，然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标．
【详解】（1）把A （﹣1，0）和点B （0，
52）代入y=﹣1
2
x 2+bx+c 得 1
0252b c c ?--+=????=??
，解得252b c =??
?=??，
∴抛物线解析式为y=﹣
12x 2+2x+5
2
； （2）∵y=﹣12（x ﹣2）2+9
2
，
∴C（2，9
2
），抛物线的对称轴为直线x=2，
如图，设CD=t，则D（2，9
2
﹣t），
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，
∴P（2+t，9
2
﹣t），
把P（2+t，9
2
﹣t）代入y=﹣
1
2
x2+2x+
5
2
得﹣
1
2
（2+t）2+2（2+t）+
5
2
=
9
2
﹣t，
整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，∴线段CD的长为2；
（3）P点坐标为（4，9
2
），D点坐标为（2，
5
2
），
∵抛物线平移，使其顶点C（2，9
2
）移到原点O的位置，
∴抛物线向左平移2个单位，向下平移9
2
个单位，
而P点（4，9
2
）向左平移2个单位，向下平移
9
2
个单位得到点E，
∴E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），
当m＞0时，1
2
?（m+
5
2
+2）?2=8，解得m=
7
2
，此时M点坐标为（0，
7
2
）；
当m＜0时，1
2
?（﹣m+
5
2
+2）?2=8，解得m=﹣
7
2
，此时M点坐标为（0，﹣
7
2
）；
综上所述，M点的坐标为（0，7
2
）或（0，﹣
7
2
）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.
6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），
如图，直线y=1
4
x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=1
4
x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（
28
13
，﹣1）．（3）
定点F的坐标为（2，1）．
【解析】
分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标
特征，即可得出（1-1
2
-
1
2
y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关
于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．
∵该抛物线经过点（4，1），
∴1=4a，解得：a=1
4
，
∴抛物线的解析式为y=1
4（x-2）2=
1
4
x2-x+1．
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：
214
1
14y x y x x ?????-+??
＝＝，解得：11114x y ?????＝＝，2241x y ??
?＝＝， ∴点A 的坐标为（1，
1
4
），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．
∵点B （4，1），直线l 为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）．
设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0）， 将A （1，
1
4
）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ?+??
?+-?＝＝，解得：1312
43k b ?
-??????
＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43
， 当y=-1时，有-1312x+4
3
=-1， 解得：x=
28
13
， ∴点P 的坐标为（
28
13
，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等， ∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1． ∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，
∴n=1
4
m2-m+1，
∴m2-2x0m+x02-2y0（1
4
m2-m+1）+y02=2（
1
4
m2-m+1）+1，
整理得：（1-
1
2
-
1
2
y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．
∵m为任意值，
∴
00
22
000
11
10
22
2220
230
y
x y
x y y
?
--
?
?
-+
?
?+--
?
?
＝
＝
＝
，
∴0
2
1
x
y
?
?
?
＝
＝
，
∴定点F的坐标为（2，1）．
点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．
7．如图，已知抛物线2
y ax bx c
=++的顶点为()
4,3
A，与y轴相交于点()
0,5
B-，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；
（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标.
【答案】（1）2
1
45
2
=-+-
y x x；（2）()
2,1-
M，25
y x
=-；（3）点P、Q的坐标分别为()
6,1或()
2,1、()
4,3
-或()
4,1．
【解析】
【分析】
（1）函数表达式为：()2
43y a x ==+，将点B 坐标代入上式，即可求解； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点
A 坐标代入上式，即可求解；
（3）分当AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可. 【详解】
解：（1）函数表达式为：()2
43y a x ==+， 将点B 坐标代入上式并解得：12
a =-， 故抛物线的表达式为：2
1452
=-
+-y x x ； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ， 设直线AB 的表达式为：5y kx =-，
将点A 坐标代入上式得：345k =-，解得：2k =， 故直线AB 的表达式为：25y x =-； （3）设点()4,Q s 、点21,452P m m m ??-
+- ???
， ①当AM 是平行四边形的一条边时，
点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ，
同样点21,452P m m m ??
-+-
???
向左平移2个单位、向下平移4个单位得到()4,Q s ， 即：24m -=，2
14542
m m s -
+--=， 解得：6m =，3s =-，
故点P 、Q 的坐标分别为()6,1、()4,3-； ②当AM 是平行四边形的对角线时， 由中点定理得：424m +=+，2
131452
m m s -=-+-+， 解得：2m =，1s =，
故点P 、Q 的坐标分别为()2,1、()4,1；
故点P 、Q 的坐标分别为()6,1，()4,3-或()2,1、()4,3-，()2,1或()4,1． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏.
8．抛物线与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．
①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；
②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（2，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②F（3，2），（3，7）．
【解析】
试题分析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果；
（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，通过△CDE∽△CBO得到，即，求得
有最小值1，即可求得结果；
②存在，求得抛物线的对称方程为x=3，设F（3，m），当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果．
试题解析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即，解得：，，∵OA＜OB，∴A（2，0），B（4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）；
（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，∵DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴，即
，∴DE=4﹣2t，
∴===，∵0＜t＜2，始终为正数，且t=1
时，有最大值1，∴t=1时，有最小值1，即t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；
②存在，∵抛物线的对称轴方程为x=3，设F（3，m），∴，
=，=，
当△EFP为直角三角形时，
①当∠EPF=90°时，，即，解得：m=2，
②当∠EFP=90°时，，即，解得；m=0或m=1，不合题意舍去，∴当∠EFP=90°时，这种情况不存在，
③当∠PEF=90°时，，即，解得：m=7，综上所述，F（3，2），（3，7）．
考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．二次函数的最值；5．分类讨论；6．压轴题．
9．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；
（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．
【答案】（1）这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=27
8
；（3）当△BMN
是等腰三角形时，m22，1，2．
【解析】
分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
详解：（1）将A （1，0），B （3，0）代入函数解析式，得
30
9330
a b a b ++??
++?＝＝， 解得14
a b ??
-?＝
＝，
这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3； （2）当x=0时，y=3，即点C （0，3），
设BC 的表达式为y=kx+b ，将点B （3，0）点C （0，3）代入函数解析式，得
30
k b b +??
?＝＝， 解这个方程组，得
1
3k b -???
＝＝ 直线BC 的解析是为y=-x+3， 过点P 作PE ∥y 轴
，
交直线BC 于点E （t ，-t+3）， PE=-t+3-（t 2-4t+3）=-t 2+3t ， ∴S △BCP =S △BPE +S CPE =12（-t 2+3t ）×3=-32（t-3
2）2+278
，
∵-
32＜0，∴当t=3
2时，S △BCP 最大=
278
. （3）M （m ，-m+3），N （m ，m 2-4m+3） MN=m 2-3m ，2|m-3|，
当MN=BM 时，①m 22（m-3），解得2， ②m 22m-3），解得2 当BN=MN 时，∠NBM=∠BMN=45°， m 2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍） 当BM=BN 时，∠BMN=∠BNM=45°，
-（m 2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍）， 当△BMN 是等腰三角形时，m 的值为2，-2，1，2．
点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．
10．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （﹣6，0），B （4，0），C （0，8），把△ABC 沿直线BC 翻折，点A 的对应点为D ，抛物线y=ax 2﹣10ax+c 经过点C ，顶点M 在直线BC 上．
（1）证明四边形ABCD 是菱形，并求点D 的坐标； （2）求抛物线的对称轴和函数表达式；
（3）在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD 与△PCD 的面积相等？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）详见解析
（2）2
2y x 4x 85
=
-+ （3）详见解析 【解析】 【分析】
（1）根据勾股定理，翻折的性质可得AB=BD=CD=AC ，根据菱形的判定和性质可得点D 的坐标．
（2）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设M 的坐标为（5，n ），直线BC 的解析式为y=kx+b ，根据待定系数法可求M 的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式． （3）分点P 在CD 的上面下方和点P 在CD 的上方两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点P 的坐标： 设P 22x,
x 4x 85??-+ ???
,
当点P 在CD 的上面下方，根据菱形的性质，知点P 是AD 与抛物线2
2y x 4x 85
=-+的交点，由A,D 的坐标可由待定系数法求出AD 的函数表达式:1
y x 32
=+,二者联立可得P 1（
529
,48
）； 当点P 在CD 的上面上方，易知点P 是∠D 的外角平分线与抛物线2
2y x 4x 85
=
-+的交点，此时，∠D 的外角平分线与直线AD 垂直，由相似可知∠D 的外角平分线PD 的斜率等于－2，可设其为y 2x m =-+，将D （10，8）代入可得PD 的函数表达式:y 2x 28=-+,与抛物线2
2y x 4x 85
=-+联立可得P 2（﹣5，38）． 【详解】
（1）证明：∵A （﹣6，0），B （4，0），C （0，8）， ∴AB=6+4=10
，AC 10==．∴AB=AC ．
由翻折可得，AB=BD ，AC=CD ．∴AB=BD=CD=AC ．∴四边形ABCD 是菱形． ∴CD ∥AB ．
∵C （0，8），∴点D 的坐标是（10，8）．
（2）∵y=ax 2﹣10ax+c ，∴对称轴为直线10a
x 52a
-=-=． 设M 的坐标为（5，n ），直线BC 的解析式为y=kx+b ，
∴4k b 0b 8+=??
=?，解得k 2
b 8=-??=?
．
∴直线BC 的解析式为y=﹣2x+8．
∵点M 在直线y=﹣2x+8上，∴n=﹣2×5+8=﹣2． ∴M （5，，－2）.
又∵抛物线y=ax 2﹣10ax+c 经过点C 和M ，
∴25a 50a c 2c 8-+=-??=?，解得2a 5c 8
?
=?
??=?．
∴抛物线的函数表达式为2
2y x 4x 85
=
-+． （3）存在．点P 的坐标为P 1（
529
,48
），P 2（﹣5，38）