高考数学等差数列专题复习(专题训练)百度文库

一、等差数列选择题

1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则6

12S

S =（ ） A ．

17

7

B ．

83 C ．

143

D ．

103

2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S =（ ） A ．7

B ．12

C ．14

D ．21

3．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ） A ．8

B ．10

C ．12

D ．14

5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10-

B ．8

C ．12

D ．14

6．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（ ） A ．

825

两 B ．

845

两 C ．

865

两 D ．

885

两 7．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8

B ．13

C ．26

D ．162

8．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()

12n n n S +=，则数列11n n a a +??????

的前10项的和为

（ ） A ．

89

B ．

910

C ．10

11

D ．

11

12

9．题目文件丢失！

10．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且

713n n S n T n -=，则5

5

a b =（ ） A ．

34

15

B ．

2310

C ．

317

D ．

62

27

11．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ）

A ．3(4)f x x =+

B ．2

()4f x x =

C ．3()4x

f x ??= ???

D ．4()log f x x =

12．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221

n n S n T n +=+，则12

15a b =（ ） A ．

3

2

B ．

7059

C ．

7159

D ．85

13．已知数列{}n a 中，132a =

，且满足()*

1112,22

n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有

n a n

λ

≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

14．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（ ） A ．7

B ．10

C ．13

D ．16

15．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<，则n 的最大值为（ ） A ．2m

B ．21m +

C ．22m +

D ．23m +

16．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21S

B ．20S

C ．19S

D ．18S

17．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） A ．48 B ．60 C ．72 D ．24 18．若等差数列{a n }满足a 2=20，a 5=8，则a 1=（ ）

A ．24

B ．23

C ．17

D ．16

19．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（ ） A ．450a a +=

B ．560a a +=

C ．670a a +=

D ．890a a +=

20．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（ ） A ．29

B ．38

C ．40

D ．58

二、多选题

21．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．911a a =

C ．当9n =或10时，n S 取得最大值

D ．613S S =22．题目文件丢失！

23．题目文件丢失！ 24．题目文件丢失！

25．若数列{}n a 满足112,02

121,1

2

n n n n n a a a a a +?

≤≤??=??-<

（ ） A ．

1

5

B ．

25

C ．

45

D ．

65

26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =

C ．3430a a +=

D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值

27．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有

m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）

A ．11285a a a a +=+

B ．56110a a a a <

C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103

a = D ．数列n S n ??

?

???

为递减的等差数列 28．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：

1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列

数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数

C ．202020182022

3a a a =+

D ．123a a a +++…20202022a a +=

29．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减

D ．数列{}n S 有最大值

30．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 2

5,n S n n =-则下列说法正确的是（ ）

A ．{}n a 为等差数列

B ．0n a >

C ．n S 最小值为214

-

D ．{}n a 为单调递增数列

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等差数列选择题 1．D 【分析】

由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】

已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列， 所以()()633962S S S S S ?-=+-，且9

3

6S S =，化简解得633S S =. 又

()()()96631292S S S S S S ?-=-+-，∴31210S S =，从而

126103

S S =. 故选：D 【点睛】 思路点睛：

（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列， （2）()()633962S S S S S ?-=+-，且

9

3

6S S =，化简解得633S S =， （3）()()()96631292S S S S S S ?-=-+-，化简解得31210S S =. 2．C 【分析】

判断出{}n a 是等差数列，然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】

∵212n n n a a a ++=-，∴211n n n n a a a a +++-=-，∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-，∴354a a +=，∴173577()7()

1422

a a a a S ++===. 故选：C 3．A 【分析】

利用等差数列的性质可得1742a a a +=，代入已知式子即可求解. 【详解】

由等差数列的性质可得1742a a a +=， 所以1474339a a a a ++==，解得：413a =， 故选：A 4．C 【分析】

利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列，

S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =. 由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=， 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=， 所以62612a =?=. 故选：C 5．D 【分析】

利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可 【详解】

147446=32a a a a a ++=∴=，则()

177477142

a a S a +=

== 故选：D 6．C 【分析】

设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =???两银子，数列{}n a 是等差数列，

8106

100

a S =??

=?利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程，即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】

设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =???两银子，由题意可得 设数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，

则由题意得8106100a S =??=?，即1176109

101002a d a d +=??

??+=??，解得186585a d ?

=????=-??

. 所以长兄分得86

5

两银子. 故选：C. 【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得

()1,2,,10n a n =???两银子构成公差0d <的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和

前n 项和公式. 7．B

【分析】

先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据

()

11313713132

a a S a +=

=求解出结果.

【详解】

因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，

又()

1131371313131132

a a S a +=

==?=， 故选：B. 【点睛】

结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若(

)*

2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，

（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2

m n p q t a a a a a ?=?=.

8．C 【分析】

首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设1

1111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】

当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，()()11122

n n n n n n n a S S n -+-=-=

-=. 检验111a S ==，所以n a n =. 设()11111

11

n n n b a a n n n n +=

==-++，前n 项和为n T ， 则10111111101122310111111T ??????

=-+-++-=-= ? ? ?

??????

…. 故选：C

9．无

10．D 【分析】

利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】 由

71

3n n S n T n

-=，

()

()1955199195519992791622923927

2

a a a a a a S

b b b b b b T ++?-======++?. 故选：D 11．D 【分析】

把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知

1

n n

x x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】

对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以

1

n n

x x +为常数， 因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；

对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1

n n

x x +为常数，

因此1n n y y +-＝()

2222

14441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；

对于C ，函数3()4x

f x ??= ???上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1

n n

x x +为常数， 因此1n n y y +-＝133()()44n n x x

+-＝3

3

()()144n q

x

??

-????

，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等

差数列；

对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x

，由于{x n }是等比数列，所以

1

n n

x x +为常数， 因此1n n y y +-＝11

444

4log log log log n n n n

x x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；

故选：D ． 【点睛】 方法点睛：

判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法. 12．C

【分析】

可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果． 【详解】

因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且3221

n n S n T n +=+， 所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，

又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴

1215(6121)71(4151)59

a k

b k ?-==?-， 故选：C ． 13．A 【分析】 将11122

n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出2

2n n n a +=，从而得

出()

22n

n n λ+≥

，求出()max

22n n n +??????的最值，即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时，111

22

n n n a a -=

+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{

}

2n

n a 是首项为3公差为1的等差数列，故22n

n a n =+，从而2

2n n

n a +=

. 又因为n a n λ

≥恒成立，即()22n n n λ+≥恒成立，所以()max 22n

n n λ+??≥????. 由()()()

()()()()

1

*121322,221122n n n

n n n n n n n n n n n +-?+++≥??∈≥?

+-+?≥??N 得2n = 所以()()2

max

2222222n n n +?+??

==????，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A 14．C 【分析】

由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，

141,16a S ==，

41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.

故选：C 15．C 【分析】

首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】

由21<，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++=

=

+，

()()()1232322323<02

m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02

m m m m m a a S m a a ++++++=

=

++.

故选:C.

【点睛】

关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11

,2

,1n n n S S n a S n --≥?=?=?，判断数列的项的正负，

第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 16．B 【分析】

设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系139

2

a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】

设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392

a d =-. 又10a >，所以0d <，因此

222120(20)2002222n d d d d

S n a n n dn n d ??=

+-=-=-- ??

?， 所以20S 最大. 故选：B. 17．A 【分析】

根据条件列方程组，求首项和公差，再根据107891093S S a a a a -=++=，代入求值.

【详解】

由条件可知1148

32362a d a d +=??

??+=??

，解得：102a d =??

=?， ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.

故选：A 18．A 【分析】 由题意可得52820

45252

a a d --===---，再由220a =可求出1a 的值 【详解】 解：根据题意，52820

45252

a a d --===---，则1220(4)24a a d =-=--=， 故选：A. 19．B 【分析】

由100S =可计算出1100a a +=，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】

由等差数列的求和公式可得()

110101002

a a S +=

=，1100a a ∴+=， 由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选：B. 20．A 【分析】

根据等差中项的性质，求出414a =，再求10a ; 【详解】

因为{}n a 为等差数列，所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选：A.

二、多选题

21．ABD 【分析】

由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】

∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，

∴()11187

5282

a a d a d ?++=+

，解得19a d =-， 故10190a a d =+=，故A 正确；

∵918a a d d d =+=-=，11110a a d d =+=，故有911a a =，故B 正确； 该数列的前n 项和()21119

2

22

n n n n S na d d d n -=+=-? ，它的最值，还跟d 的值有关，

故C 错误； 由于61656392S a d d ?=+=-，1311312

13392

S a d d ?=+=-，故613S S =，故D 正确， 故选：ABD. 【点睛】

思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果.

22．无 23．无 24．无

25．ABC 【分析】

利用数列{}n a 满足的递推关系及13

5

a =

，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】

数列{}n a 满足112,02

121,1

2n n n n n a a a a a +?

≤≤??=??-<

211215a a =-=

，32225a a ==，43425a a ==，5413

215

a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234

,,,5555

. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题. 26．AC 【分析】

先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】

解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.

所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-?=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】

本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：

（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；

（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定； 27．AC 【分析】

令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由2

56110200a a a a d -=>，可

判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ?

?=+- ??

?，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】

令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；

由(

)()22

2

256110111

19209200a a a a a a d d

a

a d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B

错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以1

3x =，213

x -=， 故101110

9333

a =

+?=，故C 正确； 由()111222n

n n na d

S d d n a n

n -+

??=

=+- ??

?，因为02>d ，所以n S n ??????

是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】

解决数列的单调性问题的三种方法；

1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；

2、作商比较法：根据1

(0n n n

a a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断. 28．AC 【分析】

由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】

对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确； 对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；

对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，

32121,a a a a a ???=+=，

各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++???+=+++???++， 所以202220202019201811a a a a a a =++???+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项. 29．ABD 【分析】

由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】

根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；

由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD. 30．AD 【分析】

利用11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对

25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断

【详解】

解：当1n =时，11154a S ==-=-，

当2n ≥时，22

15[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，

当1n =时，14a =-满足上式， 所以26n a n =-，

由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列， 因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A ，D 正确，B 错误， 由于2

2

525

5()2

4

n S n n n =-=--

，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，且最小值为6-，所以C 错误， 故选：AD 【点睛】

此题考查,n n a S 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题，属于基础题