二次根式复习专题讲义(补课用)详解

二次根式复习专题讲义

一、二次根式的概念：

1.二次根式：形如

a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”

称为二次根号。

①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。

②.

a （a ≥0）是一个非负数。 ③. （a ）

＝a （a ≥0）；

a =a （a ≥0）

2.二次根式的乘： ①.一般的，有

＝

a b

．（a ≥0，b ≥0）

②. 反过来，有ab ＝a 3b

( a ≥ 0 ，b ≥ 0 )

3.二次根式的除：

①. 一般地，对二次根式的除法规定：

a b

（a ≥0，b>0），

②. 反过来，

a b

（a ≥0，b>0）

4. 二次根式的加减法则：

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

典型例题分析：

例1. 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

2、3

3、

、

x （x>0）、0、42、-2、

x y

+、x y +（x ≥0，

y ?≥0）．

例2.当x 是多少时，23x ++1

x +在实数范围内有意义？

变式题1：当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？

变式题2：①.当x 是多少时，23

x x

++x 2在实数范围内有意义？

例3. ①.已知y=

2x -+2x -+5，求

x y

的值．

②.若1a ++1b -=0，求a

2004

+b 2004的值．

③.已知1x y -++3x -=0，求x y

的值．

例4. 计算 1．（3

）2 2．（3

5）2

3．（

）2 4．（

）2

例5. 计算 1．（1x +）

（x ≥0） 2．（

a ）2

3．（

221a a ++）2

4．（24129x x -+）2

变式题：计算

1.（-3

）2

2.(2332)(2332)

例6.在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3

例7.化简

（1）9（2）2

(3)

(4)

-（3）25（4）2例8.填空：当a≥0时，2a=_____；当a<0时，2

a=_______，?并根据这一性质回答下列问题．

（1）若2a=a，则a可以是什么数？

（2）若2a=-a，则a可以是什么数？

（3）2a>a，则a可以是什么数？

例9.当x>2，化简2

(12)x

-．

x--2

(2)

例10．先化简再求值：当a=9时，求a+2

-+的值，

12a a

甲乙两人的解答如下：

甲的解答为：原式=a+2

-=a+（1-a）=1；

(1)a

乙的解答为：原式=a+2

(1)a

-=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．

变式题1．若│1995-a│+2000

a-=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a?的值是正数还是负数，去掉绝对值）

变式题2．

若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│+2

(3)x ++21025x x -+。

例11．计算（1）53

（2）

（3）93

（4）

分析：直接利用a

＝

a b

（a ≥0，b ≥0）计算即可．

解：（1）

（2）13

39=1

?=3

（3）9327=2

92793?=?=93

（4）

162

例12 . 化简（1）916?

（2）1681? （3）81100?

（4）

9x y （5）

例13 . 判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）(4)(9)49-?-=-?- （2）12

425

=43

1225

变式题1：若直角三角形两条直角边的边长分别为15

和

cm ，?那么此直角三角形斜边长是（）．

变式题2：化简a 1a

的结果是（）．

变式题3：

1014=_______．√169×6

变式题4：一个底面为30cm 330cm 长方体玻璃容器中装满水，?现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？

变式题5：探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）2

=223

验证：223

323

2223

332(22)233

-+= =

2222

2222(21)221212121--+=+----=223

（2）3

=338

验证：338

338

3233331

-+-

222

3(31)33(31)3313131-+-=+---=338

同理可得：444

41515

=+ 5

52424

=+，…… 通过上述探究你能猜测出： a 2

a a -=_______（a>0）,

并验证你的结论．

例14．计算：（1）

123

（2）

3128

÷ （3）

11416

÷ （4）

例15．化简：（1）

364

（2）

649b a （3）

964x y （4）

5169x y

例16．已知9966

x x

x x --=

--，且x 为偶数，求（1+x ）

2254

x x x -+-的值．

变式题1.计算

112

121335

÷÷的结果是（）．

变式题2.阅读下列运算过程：

1333333==?，22525

555==

? 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简

的结果是（）．

变式题3.已知x=3，y=4，z=5，那么y z x y ÷的最后结果

是_______．

变式题4.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为

：1，?现用直径为3

cm 的一种圆木做原料

加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？变式题5.计算

（1）32n

n m m 2（-33

n m

m ）÷

2n m

（m>0，n>0）

（2）-3

2332m n a -÷（2

m n a +）32a m n

- （a>0）

例17.把它们化成最简二次根式：

(1)

5312

; (2) 2442x y x y +; (3)238x y

总结：二次根式有如下两个特点： 1．被开方数不含分母；

2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

例18.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2.5cm ，BC=6cm ，求AB 的长．

例19.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

121

1(21)21

1(21)(21)?--=-+-=2

-1，

1(32)32

32(32)(32)

?--=-+-=3

-2

，

同理可得：1

，……

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（121

132

143

++……

20022001

+）（2002

+1）的

值．练习：一、选择题 1．如果

x y

（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次

根式是（）． A ．

（y>0） B ．

x y

（y>0） C ．

x y y

（y>0）

D ．以上都不对 2．把（a-1）1

a --中根号外的（a-1）移入根号内得（）．

A ．

1a - B ．1a - C ．-1a - D ．-1a

3．在下列各式中，化简正确的是（）

A ．5

B ．

=±1

C ．

4a b

=a 2

D ． 32x x -=x 1x -

4．化简32

-的结果是（）

A ．-23

B ．-23

C ．-

D ．-

二、填空题 1．化简

422x x y +=_________．（x ≥0）

2．a

1a a +-

化简二次根式号后的结果是_________．

三、综合提高题

1．已知a 为实数，化简：

a --a

，阅读下面的解答

过程，请判断是否正确？若不正确，?请写出正确的解答过程：

2．若x 、y 为实数，且y=22

441

x x x -+-++，求x

y x y +- 的值．

例20.计算（1）8

（2）

16x

64x

总结：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二次根式进行合并．

例

21．计算

（1）348-91

（2）（48

）+（12

）

例

22．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（293

+y 2

x y

）

-（x 2

-5x

y x

）的值．

练习：

一、选择题

1．以下二次根式：①12；②22；③2

；④27中，与3是同类二次根式的是（）．

A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④

2．下列各式：①33+3=63；②1

7=1；③

2+6=8=22；④24

=22，其中错误的有（）．

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

二、填空题

1．在8、175

3a、29

a、125、3

、30.2、-21

中，

与3a是同类二次根式的有________．

2．计算二次根式5a-3b-7a+9b的最后结果是________．

三、综合提高题

1．已知5≈2.236，求（80-41

5）-（13

+445

）的

值．（结果精确到0.01） 2．先化简，再求值．

（6x y

x +3

x y

）-（4x x

+36xy），其中x=3

，y=27．

例23．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点

B 开始沿BA 边以1厘米/?秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿B

C 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）

C Q

例

23．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精

确到0.1m ）？

例24．若最简根式34

3a b a b -+与根式232

26a b b b -+是同类二

次根式，求a 、b 的值．（?同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）

练习：一、选择题

1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（）．（?结果用最简二次根式） A ．52

B ．

C ．2

D ．以上都

不对

2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，?为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又

钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示） A ．13

100

B ．1300

C ．10

D ．5

二、填空题

1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，

它的面积是1600m 2，?鱼塘的宽是_______m ．（结果用最简二次根式）

2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为

，?那么这

个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）

三、综合提高题 1．若最简二次根式22

323

m -与2

410n m -

-是同类二次根式，求m 、n 的值．

2．同学们，我们以前学过完全平方公式a 2±2ab +b 2=（a

±b ）2

，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，

那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（

）2，5=（

）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我

们观察：（

-1）2=（

）2-2212

+12=2-2

+1=3-2

反之，3-22

=2-2

+1=（

-1）2

∴3-22

=（2

-1）

∴

322-=2-1

求：（1）322+；（2）

423+；

（3）你会算412-吗？(√3-1)

（4）若

2a b ±=m n ±，则m 、n 与a 、b 的关系是什

么？并说明理由．

例25．计算: （1）（6

）3

（2）（4

-3

）÷2

例26．计算（1）（5

+6）（3-

）（2）（

）（

）

例27．已知x

-=2-x

a b

-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，化简11x x

x x

+-+++

11x x

x x

+++-，并求值。

练习：一、选择题 1．（

-3

）3

的值是（）．

A ．20

3-330 B ．3

30-2

3 C ．2

-2

D ．20

2．计算（

+1x -）（x

-1x -）的值是（）．

A ．2

B ．3

C ．4

D ．1 二、填空题 1．（-12

）2的计算结果（用最简根式表示）是

________． 2．（1-2

）（1+2

）-（2

-1）2的计算结果（用最简

二次根式表示）是_______． 3．若x=

-1，则x 2+2x+1=________．

4．已知a=3+22

，b=3-2

，则a 2b-ab 2=_________．

三、综合提高题 1．化简57

10141521++++

2．当x=

121

-时，求

11x x x x x x

++++-++

11x x x x x x

+-++++的值．（结果

用最简二次根式表示）

课外知识

1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，?这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．

练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）．

A ．2x 与2y

B ．34

a b 与

5892

a b

C ．

m n

与

D ．

m n +与m n +

2．互为有理化因式：?互为有理化因式是指两个二次根

式的乘积可以运用平方差公式（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-22x x

+与

x+1+

22x x +就是互为有理化因式；x

与

也是互为有理化

因式．练习：2

的有理化因式是________；

x-y

的有理化因式是_________．

-1x +-1x -的有理化因式是_______．

3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、?分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．

练习：把下列各式的分母有理化（1）

151

-；（2）

123

+；（3）

-；（4）3

342

3342

+-． 4．其它材料：如果n 是任意正整数，那么21n n n +

-=n 21

n -

理由：

21n n n +-=33

11n n n n

n n -+=--=n 21

n n -

练习：填空22

=____；

=_____；

=_______．

例28.比较

32-与21-的大小。

变式题1：比较43-与32-的大小。

人教版八年级下册第十六章二次根式知识清单及典型题型练习讲义(无答案)

二次根式知识清单及典型题型练习姓名________ 1.二次根式：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。 ) )00x x ><中，二次根式有个二次根式有意义的条件： ①当__________时， 1 1 m +有意义；②当__________ x 有（）个．A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数变式：已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+-< x x y ,化简 1 1--y y =_________. 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。练．下列式子为最简二次根式的是( ) 3.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）；（2 ）利用二次根式的性质化简：①．若0x <，则x = ；②．若0,0a b <>，则 = ；2 = ；④若0xy ≠，=-成立的条件是；⑤若01x <<等于． ⑥= ；⑦3y =，x +y 的平方根=_____. 4.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。练：下列各组二次根式中是同类二次根式的是（） A ．2112与 B ．2718与 C ．3 13与 D ．5445与变式：若最简二次根式____,____a b ==。 5.二次根式的运算：（1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． a （a ＞0） ==a a 2 a -（a ＜0） 0 （a =0）；

（2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a = （a>0，b≥0）（特别应注意a 、b 的取值）练：①使等式 ()()1111x x x x +-= -+g 成立的条件是。 ②当x __________时， 22 x x x x =--有意义； ③计算： ( ) 483273_____________-÷=；33 23121418÷???? ? ?++-= 6、二次根式的大小比较（通常采用平方法，作差法，求倒法）比较大小：①23- 32- ②53- 23+ ③76- 65- 变式：设25,3223-=-=-= c ，b a ,则a 、b 、c 的大小关系 7、在实数范围内分解因式在实数范围内分解因式。（1）4x 2－3= ；（2）9y 4－4= 8、规律性问题练：观察下列各式及其验证过程：，验证：；验证:. （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4 4 15 =_________；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程. 变式：已知，则a _________ 巩固练习： 1、下列根式中，最简二次根式为：（） A 0.2b B ．x 2 4- C ． x 4 D ．()x +42

二次根式拓展提高讲义及答案

二次根式拓展提高（讲义）一、知识点睛 1．理解二次根式的双重非负性，辨识四类典型形式． (1)若20x y z ++=，则_____x y _____z _____，，．=== (2)若出现2x -或x -，则x _____=． (3)若x 和x -同时存在，则x _____=． (4)2_______x =；2()=_______x ． 2．根据数轴和线段的几何特征建等式． c b a C B A 如图，数轴上三点A ，B ，C 对应的实数分别为a ，b ，c ，若点A 与点B 关于点C 对称（即C 是线段AB 的中点），则线段AC =_______，BC =_______，因为AC =BC ，所以a ，b ，c 的数量关系是______________. 3．完全平方公式在二次根式化简中的应用． (1)222_________a ab b ±+=； (2)若00m n ＞，＞，则 ()()22 22m mn n m mn n ++=++()2_________.m n =+= 4．实数比较大小． (1)作差法 (2)形似法 (3)乘方法 (4)分母有理化二、精讲精练 1．若x ，y 为实数，且220x y ++-=，则2013x y ?? ???的值为（） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2

2．已知212102 x y y ++++=，则y x =___________． 3．一个数的平方根是22+a b 和4a -6b +13，求这个数． 4．若a ，b 为实数，且满足()1110a b b +---=，则 20132012a b -=________． 5．若21--x 有意义，则x 的值为________． 6．化简()2 241121711a a a a +--+----=________． 7．若223y x x =-+--，则y x =________． 8．若224412-+-+=-x x y x ，则3x +4y =________． 9．当1<<4x 时，化简：2212816．x x x x -++-+ 10．实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示： a b c 0 化简：()()323a c b a b a c +--++ -． 11．化简：()2 244123x x x -+- -．

二次根式中考真题及详解

二次根式知识梳理知识点1．二次根式重点：掌握二次根式的概念难点：二次根式有意义的条件式子a （a ≥0）叫做二次根式．例1下列各式1） 22211 ,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+，其中是二次根式的是_________（填序号）．解题思路：运用二次根式的概念，式子a （a ≥0）叫做二次根式．答案：1）、3）、4）、5）、7） . 例2若式子 3 x -有意义，则x 的取值范围是_______．解题思路：运用二次根式的概念，式子a （a ≥0）注意被开方数的范围，同时注意分母不能为0 答案：3x > 例3若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 解题思路：式子a （a ≥0），50 ,50 x x -≥??-≥? 5x =，y=2009，则x+y=2014 练习1使代数式43 --x x 有意义的x 的取值范围是（） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 211x x --2()x y =+，则x －y 的值为（） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 答案：1. D 2. C ：知识点 2．最简二次根式重点：掌握最简二次根式的条件难点：正确分清是否为最简二次根式同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．例1.在根式1) 222;2) ;3);4)275 x a b x xy abc +-，最简二次根式是（） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件，答案：C

八年级二次根式教师讲义带答案

第五章二次根式【知识网络】知识点一：二次根式的概念形如…（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被幵方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是J为二次根式的前提条件，如J，& I,二「’等是二次根式，而J ，丿厂■等都不是二次根式。知识点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a± 0时，" 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被幵方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a< 0时, ■■ 没有意义。知识点三：二次根式二（』匚）的非负性 ^:）表示a的算术平方根，也就是说，门（二/ ）是一个非负数，即Z 10 （“ _「）。注：因为二次根式二）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数, 0的算术平方根是0,所以非负数（）的算术平方根是非负数，即「上 0 （），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0 ;若八」，则a=0,b=0 ;若“、-，则a=0,b=0。知识点四：二次根式（厂）：的性质文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若心：，则如：—w.

知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注： 1化简爲「时，一定要弄明白被幵方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0,则等于a本身，即&二；若a是负数，则等于a的相反数-a, 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，='一定有意义； 3、化简勺丁时，先将它化成’，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六：、'与打的异同点 1不同点：二八与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而“'表示一个实数a的平方的算术平方根；在中^ ：|，而中a可以是正实数，0,负实数。但-、宀与都是非负数，即'，&兰°。因而它的运算的结果是有差别的，(亦尸，而 2、相同点：当被幵方数都是非负数，即时，―' 二扛；-「时，无意义，而八 '. 知识点七：二次根式的运算 1. 二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意知道每一步运算的算理； (3) 乘法公式的推广： 2. 二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3. 二次根式的混合运算

22.2二次根式的乘除(第二课时)教案

22．2 二次根式的乘除第2课时教学内容 =a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标 a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键 1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简． 2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题： 1．填空（1=____；（2=_____；（3=_____；（4=________． 2．利用计算器计算填空: ，（2，（3，（4=_____．（1 ；。每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评）刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们进行合探：二次根式的除法规定：一般地，对二次根式的除法规定：下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．

合探1．计算：（1 （2（3（4 分析：上面4 a ≥0，b>0）便可直接得出答案．合探2．化简：（1（2 （3 （4 a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的．三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展 =，且x 为偶数，求（1+x 的值．分析：a ≥0，b>0时才能成立．因此得到9-x ≥0且x-6>0，即60（a ≥0，b>0）及其运用．六、作业设计一、选择题 1的结果是（）． A ．2 7 ．27 C D 2 = == = 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化” （）． A ．2 B ．6 C ． 1 3 D 二、填空题 1．分母有理化:(1) =_________;(2) =________;(3) =______. 2．已知x=3，y=4，z=5_______．三、综合提高题计算

二次根式的运算知识讲解

二次根式的运算（提高）知识讲解【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】要点一、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.

二次根式知识讲解

二次根式（基础）【学习目标】 1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0），（a ≥0），（a ≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)?的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2. （a ≥0）； 3. . 要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0a a a =≥）. 2.2a 与2()a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2()a 中a ≥0，2a 中a 为任意值。 2).a ≥0时，2()a =2a =a ；a <0时，2()a 无意义，2a =a -. 【典型例题】类型一、二次根式的概念 1（2015春?潍坊期中）下列各式中，一定是二次根式的有（）个． .3 C 【答案】 B 【解析】2231x +-，B ．【总结升华】0．

举一反三：【变式】下列式子中二次根式的个数有（）. （1）13；（2）3-；（3）21x -+；（4）38；（5）21()3 -；（6）1x -（1x >） A ．2 .3 C 【答案】B. 2. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义（1）1y x = -；（2）y=2+x －x 23-；【答案与解析】（1）1x -Q ≥0，所以x ≥1. （2）2x +Q ≥0,32x -≥0,所以2-≤x ≤32 ；【总结升华】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零. 举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（）. A. 23- B. ()20.3- C. 2- D. x 【答案】B. 类型二、二次根式的性质 3. 计算下列各式： (1)23 2()4 --2(3.14)π- 【答案与解析】(1) 33=-2=-42 ?原式. (2) =3.14-=-3.14ππ原式. 【总结升华】二次根式性质的运用. 举一反三：【变式】（1）2)2 52(-=_____________. （2）2)2(2a a ---=_____________. 【答案】(1) 10;(2) 0.

二次根式讲解大全Word

【知识回顾】 1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质：（1）（a）2=a（a≥0）；（2 ） 5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；=a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】 1、概念与性质例1下列各式 1- 其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1） x x - - + 3 1 5 ；（2） 2 2) - (x 例3、在根式，最简二次根式是（） A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 例4、已知：的值。求代数式2 2 , 2 1 1 8 8 1- + - + + + - + - = x y y x x y y x x x y a（a＞0） = =a a2 a -（a＜0） 0 （a=0）；

人教版八年级数学下教案二次根式第二课时

16.1二次根式第2课时教学目标【知识与技能】 ≥0）与（a ≥0），并理解并掌握二次根式的性质，正确区分=a （a 利用它们进行化简和计算. 【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力. 【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展. 教学重难点【教学重点】 2 =a （a ≥0）（a ≥0）及其应用. 【教学难点】用探究的方法探索 2 =a （a ≥0（a ≥0）的结论. 课前准备无教学过程一、情境导入,初步认识试一试：请根据算术平方根填空，猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出 2 （a ≥0）的结论是什么？说说你的理由. 【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力. 二、思考探究，获取新知在学生相互交流的基础上可归纳出： 2 =a （a ≥0）. 进一步地，引导学生探究新的问题.

探究（1）填空：（2）通过（1a≥0）的化简结果吗？说说你的理由. 【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结. （a≥0）. 最后，教师给出代数式的概念.代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.）三、典例精析，掌握新知例1 计算：（1）2；（2）（ 2

人教版八年级数学下册二次根式典型例题讲解+练习及答案(提高).doc

【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】二次根式（提高）责编：常春芳【学习目标】 1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1、； 2.； 3. . 要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0a a a =≥）. 2.2a 与2()a 要注意区别与联系：1）a 的取值范围不同，2()a 中a ≥0，2a 中a 为任意值. 2）a ≥0时，2()a =2a =a ；a <0时，2()a 无意义，2a =a -. 【典型例题】类型一、二次根式的概念 1．当x 是__________时， +在实数范围内有意义？【答案】 x ≥- 且x ≠-1 【解析】依题意，得23010≥①≠②x x +??+?

由①得：x ≥- 由②得：x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时，+在实数范围内有意义. 【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念. 举一反三：【变式】（2015?随州）若代数式11x x +-有意义，则实数x 的取值范围是（） A ．x≠1 B. x ≥0 C. x≠0 D. x ≥0且x≠1 【答案】D 提示：∵代数式 +有意义， ∴，解得x ≥0且x ≠1．类型二、二次根式的性质 2.根据下列条件，求字母x 的取值范围： (1) ； (2). 【答案与解析】(1) (2) 【总结升华】二次根式性质的运用. 举一反三：【：二次根式及其乘除法（上）例1(1)(2)】【变式】x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）y=x -－1 1+x ,___________________；（2）y=222+-x x ，______________________；【答案】(1)01001x x x x -+≠∴≠-Q ≥，≤且（2）22 22(1)10,x x x x -+=-+>∴Q 为任意实数. 3. （2016?潍坊）实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |+ 的结果是（） A ．﹣2a +b B ．2a ﹣b C ．﹣b D ．b 【思路点拨】直接利用数轴上a ，b 的位置，进而得出a ＜0，a ﹣b ＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．

二次根式加减运算(讲义及答案).

6 8 1 2 24 a + 1 a +1 2 3 5 6 6 2 3 3 3 75 8 32 二次根式加减运算（讲义） ? 课前预习 1. 有理数混合运算的操作步骤： ①观察，划； ②有序操作，依； ③ ． 2. 两大公式： ①平方差公式； ②完全平方公式． 3. 数轴上 A ，B 两点对应的实数分别为 1，3，点 B 关于点 A 的对称点为 C ，若点 C 表示的数为 x ，则 x = ． ? 知识点睛 1. 同类二次根式：． 2. 二次根式的加减法则： ① ；② ． 3. 实数混合运算顺序：先算，再算，最后算．如果有括号，先算括号里面的． ? 精讲精练 1. 下列各式与是同类二次根式的是（） A. B ． C ． D ． 2. 与最简二次根式5 是同类二次根式，则 a = ． 3. 已知最简二次根式2 与则 a = ．的和是一个二次根式， 4. 下列计算正确的是（） A ． + = B ． + = 6 C ． 2 + = 2 5. 计算： D ． 2 - = （1） 3 + ；（2） 3 - 5 ；解：原式= 解：原式= 3 12 4 - 2a 2 3

24 2 3 18 8 9 2 3 1 10 10 24 1 2 2 28 700 1 3 48 32 8 49 2 1 8 2 （3） - 9 ；（4） - ；解：原式= 解：原式= （5） - ；（6） -10 + ；解：原式= 解：原式= （7） + - 54 ；（8） - 3 + ；解：原式= 解：原式= （9） - + ；（10） 2 - 6 + 3 ．解：原式= 解：原式= 6. 计算：（1） 50 ? ÷ - ；（2）( 45 + ? 18) - 2 ? - 20 ； ? ? ? 解：原式= 解：原式= （3） 1 ( + 3) - 3 ( + 27) ； 2 4 解：原式= 3 2 40 25 6 32 1 7 12 2

二次根式的乘除运算讲解及练习

21．2 二次根式的乘除第一课时 1．填空（1）4×9=_______，49?=______；（2）16×25=_______，1625?=________．（3）100×36=________，10036?=_______．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空． 4×9_____49?，16×25_____1625?，100×36________10036? 一般地，对二次根式的乘法规定为 a · b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0）反过来: ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）例1、计算（1）5×7 （2）1273? （3）12155? 例2、化简（1）916? （2）1681? （3） 229x y （4）54 （5）2312a b （6）8 例3 、计算：（3）133 x xy （4）2013201432)(32)+ （5）2332848x y x y （62418例4、2111x x x -+-x 的取值范围是________________。

课堂练习：练习1、计算 ①2×8 ②36×210 ③5a ·15 ay (2) 化简: 20; 18; 24; 54; 180 ;2212a b 练习2、计算练习3．计算：练习4、长方形的长和宽分别是a,b,根据下列条件求面积S （1） 8,12a b ==(2) 250,324a b ==练习5223 123m m m m +-=--+m 的取值范围是_____________。

21．2 二次根式的乘除 1．填空（1 ；（2=________； =________；（4．（3 二次根式的除法规定：（2（3（4 例1．计算：（1 例2．化简：（1（2（3（4 例3、计算（1（2，（3 例4 例5、（a>0）例题6=，则x的取值范围是__________________。注：上述结果中的二次根式有两个特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开尽方的因式或因数。我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。二次根式运算一定要化简成最简二次根式。课堂作业：练习1、(1234

黑龙江省虎林市九年级数学上册二次根式(第二课时)教案新人教版

黑龙江省虎林市九年级数学上册二次根式（第二课时）教案新人教版第二课时教学内容 1a≥0）是一个非负数； 2．2=a（a≥0）．教学目标 a≥0）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简． a≥0）是一个非负数，用具体 2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键 1a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用． 2a≥0）是一个非负数；?用探究的方法导 2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答 1．什么叫二次根式？ 2．当a≥0叫什么？当a<0 老师点评（略）．二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答） a≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

做一做：根据算术平方根的意义填空： 2 =_______；）2 =_______；2 =______；2 =_______； 2=______；2=_______；）2 =_______．是4是一个平方等于4的）2 =4．同理可得：2=2，2=9，2 =3，2=1 3，）2=72，） 2 =0，所以例1 计算 1．2 2．（2 3．2 4．（2）2 ）2 =a （a ≥0）的结论解题．解：2 =32 ，（2 =32·2=32 ·5=45， 2=5 6，（2）2=22 724=．三、巩固练习计算下列各式的值： 2 2 2 ）2 （ 2 22- 四、应用拓展例2 计算 1．2（x ≥0） 2．2 3．2 4． 2

分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的42=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>0 2=x+1 （2）∵a2≥02=a2 （3）∵a2+2a+1=（a+1）2 又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 2+2a+1 （4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0 ∴4x2-12x+9≥0）2=4x2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 分析：(略) 五、归纳小结本节课应掌握： 1a≥0）是一个非负数； 2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、布置作业 1．教材P8复习巩固2．（1）、（2） P9 7． 2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》第二课时作业设计一、选择题 1、的个数是（）． A．4 B．3 C．2 D．1

二次根式讲义(初次、基础版)

二次根式【知识要点】必杀技:要注意二次根式中字母的取值范围：被开方数必须是非负数． 1．二次根式的主要性质： ①???<-≥==002a a a a a a ; ②()a a =2(),0≥a ; ③()0,0≥≥?=b a b a ab ④()0,0>≥==b a b ab b a b a ； ⑤()()b a b a b a b a b a b a --=-+-=+1 ; ⑥b a b a b a -+=-1. A 、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式,像这样的二次根式成为最简二次根式最简二次根式的条件： ①根号内不含有开的尽方的因数或因式 ②根号内不含有分母 ③分母不含有根号 B 、同类二次根式:被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式 C 、乘法公式:)0,0______(≥≥=?b a b a ；反之:)0,0_______(≥≥=b a ab D 、除法公式：)0,0______(>≥=b a b a ;反之：)0,0______(>≥= b a b a E 、合并同类二次根式：__________________;=-=+a n a m a n a m 【典型例题】例1.x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？（1）1+x ；（2)23-x ； (３） 123+x ; (4)x 231-. 例２．若a a ---33有意义,则a 的值为＿______＿__＿_＿＿．例3．若22)2()2(-=-x x ，则x 的取值范围是＿＿_＿＿_＿___＿＿_＿_＿.

例４.已知2<ｘ<3，化简:3)2(2 -+-x x ．例5.数ａ、b 在数轴上的位置如图所示，化简222)()1()1(b a b a ---++. 例1、乘法运算 (1）)169()25(-?- (2）1527? （3）2 28n m (4）a a 122532?- 例2:除法运算（1）354- (2）531513÷ (3）921.150 04.0?? （ 4)2294a b 例３：加减混合运算（1）4832 31531 1312--+

二次根式知识点归纳及题型知识讲解

一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。）题型一：判断二次根式（1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x 、x （x>0）、0、42、-2、1x y +、x y +（x≥0，y ≥0）．（2）在式子()()()230,2,12,20,3,1,2 x x y y x x x x y +=--++f p 中，二次根式有（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个（3）下列各式一定是二次根式的是（）A. 7- B. 32m C. 21a + D. a b 题型二：判断二次根式有没有意义 1、写出下列各式有意义的条件: （1）43-x （2）a 83 1- （3）42+m （4）x 1- 2、21 x x --有意义，则；3、若x x x x --=--32 32成立，则x 满足_____________。练习：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。 A 、3-； B 、 x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。（1）（2）121+-x （3） . （5）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是（6）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是；20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为。 5. 若20042005a a a --=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是

(完整版)16.1二次根式(第二课时)教学设计.doc

《16.1 二次根式（第二课时）》教学设计教学目标 1.理解二次根式的基本性质，能运用二次根式的性质计算和化简，正确区分 a 2 a a 0 ，了解代数式的概念与特 a a 0 和a2 征. 2.在观察、比较、总结归纳二次根式的基本性质的过程中，增强学生的参与意识，发展学生的归纳概括能力，通过对二次根式的性质的探究，提高学生的思维能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力. 3.通过小组合作学习，经历观察、比较、总结归纳和应用等数学活动，感受数学学习的探索性和创造性，利用小组交流体验发现问题的乐趣，激发学生的学习兴趣，并提高对二次根式性质的应用意识. 教学重点与难点教学重点 :二次根式基本性质的探究教学难点 :二次根式基本性质的应用教材与学情分析教材分析 : 在“实数”一章中，学生已经学习了平方根及算术平方根的概念，以及利用平方运算与开平方运算的互逆关系，求解非负数的平方根和算术平方根的方法 . 而本节课是在学生了解了二次根式的概念的基础上学习二次根式的基本性质，并为之后学习二次根式的加、减、乘、除四则运算与最简二次根式打下基础，是本章最基础的知识点之一，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习打下基础 . 同时，本章以二次根式这一典型的“式”为载体，进一步

学习对数字、符号进行运算的方法，体会通过符号运算所得结果的一般性，进而培养符号意识和运算能力 . 学情分析 : 在这节课之前，学生刚刚学习了二次根式的概念，理解起来有一定的难度，所以通过利用算术平方根的意义等知识，进行探究、计算，得出二次根式的基本性质 . 利用二次根式的基本性质进行简单计算加深印象，并在此基础上将习题变形，提高学生的应用能力 . 二、教学过程 ( 一) 、新知引入： 1.指出下列式子中的二次根式： 5，- 3 3， x 2 1，a 2(a 2), a b(a b) 3，21，2 2.什么样的式子我们称之为二次根式？（二次根式的概念）二次根式：形如 a (a0) 的式子叫做二次根式. 其中 a 0 ，a 0. 【设计意图：】通过辨别二次根式的练习，回顾二次根式的概念. ( 二) 、探究新知：一、性质 1 的探究： 1.问题 1 根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？ 4 2 2 2 ______ ______ 1 2 ______ 0 2 3 ______ 小组合作学习，进行探究，并得出猜想和结论： 2 a a(a0)

初中数学二次根式知识点总结附解析

一、选择题 1． 5﹣x ，则x 的取值范围是（） A ．为任意实数 B ．0≤x≤5 C ．x≥5 D ．x≤5 2． ,a ==b a 、 b 可以表示为（） A ． 10 a b + B ．10 -b a C ． 10 ab D ． b a 3．下列各式成立的是（） A 3= B 3= C ．22(3 =- D ．2-= 4．下列计算结果正确的是（） A B ．3= C =D =5．下列各式中，运算正确的是（） A ．= -= ．2=D 2=- 6．m 能取的最小整数值是（） A ．m = 0 B ．m = 1 C ．m = 2 D ．m = 3 7．已知 4 4 2 2 0,24,180x y x y >+=++=、.则xy=（） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 8．当4x = - 的值为（） A ． 1 B C ．2 D ．3 9 ．有意义，则字母x 的取值范围是( ) A ．x≥1 B ．x≠2 C ．x≥1且x ＝2 D ．.x≥-1且x ≠2 10 ．若a ，b ＝，则a b 的值为（） A ． 1 2 B ． 14 C ． 3 21 + D 二、填空题 11．已知实数, x y 满足(2008x y =，则

2232332007x y x y -+--的值为______. 12．能力拓展： 1:2121A -= +；2:3232A -=+；3:4343 A -=+； 4:54A -=________． …n A ：________． ()1请观察1A ，2A ，3A 的规律，按照规律完成填空． ()2比较大小1A 和2A ∵32+ ________21+ ∴32+________21 + ∴32-________21- ()3同理，我们可以比较出以下代数式的大小： 43-________32-； 76-________54-；1n n +-________1n n -- 13．（1）已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简 () 2 22144a a ab b +--+=_____________；（2）已知正整数p ，q 32016p q =()p q ，的个数是_______________；（3）△ABC 中,∠A=50°,高BE 、CF 所在的直线交于点O,∠BOC 的度数__________. 14．计算（π-3）02-2 11(223)-4-22 --（）的结果为_____． 15．() 2 117932x x x y ---=-，则2x ﹣18y 2＝_____． 16．甲容器中装有浓度为a 40kg ，乙容器中装有浓度为b 90kg ，两个容器都倒出m kg ，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m 的值为_________． 17．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为：22164?a x a x =则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.

7 二次根式(第2课时)说课稿

二次根式（第2课时）一、学生起点分析在前面，学生已经掌握了实数的概念，实数的运算法则；学会了利用公式： b a b a ?=?（a ≥0，b ≥0），b a b a =（a ≥0，b ＞0）进行简单的实数四则运算．本课时更多的是反用上面的公式，因此，上一课时知识成为本课时很好的知识基础。二、教材任务分析二次根式（第2课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第2课时，基于第1课时二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算，经历本节课的学习，学生将对实数的运算，有较全面的了解，同时进一步熟练实数的运算，为今后的学习打下坚实的基础．本节课的教学目标是： 1.通过对公式的反向运用，达到化简的目的．学会一种特殊的思考方法． 3.在探究、合作活动中，发展学生探究能力和合作意识． 4.通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．三．教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识探究；第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；第一环节：复习引入内容：复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？点明本节课研究课题意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课。面积8 面积2

第二环节：知识探究 1．在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则： b a b a ?=?（a ≥0，b ≥0），b a b a =（a ≥0，b ＞0）． 2．提出问题：能否根据该公式将8化成22？例3 计算：（1）326?；（2）2 36?；（3）52。解：（1）略（2）2 3 6?＝236?＝236?＝9＝3 （3）52＝＝5 2＝5552??=510 说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数，使得分母成为一个平方数．第三环节：巩固练习例4 计算：（1）3322?（2）5312-?；（3）2)15(+；（4）)313)(313(-+；（5）3)3112(?-；（6）2 188+。解：（1）3322?=32??32?=66；（2）5312-?＝5312-?＝536-＝6－5＝1；（3）2)15(+＝152)5(2++＝5＋52＋1＝6＋52；（4）)313)(313(-+＝223)13(-＝4；（5）3)3112(?-51613633 1312=-=-=?-?=；