2018年崇明高三二模数学Word版(附解析)

上海市崇明区2018届高三二模数学试卷

2018.04

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,0,1,2,3}U =-，{1,0,2}A =-，则U C A =

2. 已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是111012-??

???

，则x y +=

3. i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为

4. 若

2log 1

042

x -=-，则x =

5. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为石（精确到小数点后一位数字）

6. 已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为（结果保留π）

7. 若二项式7(2)a

x x

+的展开式中一次项的系数是70-，则23lim()n n a a a a →∞

+++???+=

8. 已知椭圆2

221x y a

+=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若

123F F FF =u u u r u u u u r

，则a =

9. 设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，2()log (1)f x x =+，则函数

()f x 在[1,2]上的解析式是

10. 某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的概率是

11. 已知,x y ∈R ，

且满足00y y y +≤-≥≥??

，若存在θ∈R 使得cos sin 10x y θθ++=成立，

则点(,)P x y 构成的区域面积为

12. 在平面四边形ABCD 中，已知1AB =，4BC =，2CD =，3DA =，则AC BD ?u u u r u u u r

的值

为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “1x >”是“21x >”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

14. 若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（） A. 2b =，3c = B. 2b =，1c =- C. 2b =-，3c = D. 2b =-，1c =-

15. 将函数sin(2)3y x π=-

图像上的点(,)4

P t π

向左平移s （0s >）个单位长度得到点P '，

若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则（）

A. 1

t =

，s 的最小值为6π B. t =，s 的最小值为6π

C. 1

t =，s 的最小值为3π D. t =，s 的最小值为3π

16. 在平面直角坐标系中，定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、

22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到

直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题： ① 对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥；

② 已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3

d P l =

； ③ 定点1(,0)F c -、2(,0)F c ，动点(,)P x y 满足12|(,)(,)|2d P F d P F a -=（220c a >>），

则点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点；其中真命题的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，BC ∥AD ，AB BC ⊥，

45ADC ∠=?，PA ⊥平面ABCD ，1AB AP ==，3AD =.

（1）求异面直线PB 与CD 所成角的大小；

（2）求点D 到平面PBC 的距离.

18. 已知点1F 、2F 依次为双曲线22

22:1x y C a b

-=（,0a b >）的左右焦点，12||6F F =，

1(0,)B b -，2(0,)B b .

（1）若a =，以(3,4)d =-u r

为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离；

（2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ?=-u u u r u u u u r

，求实数b 的取值范围.

19. 如图，某公园有三条观光大道AB 、BC 、AC 围成直角三角形，其中直角边200BC m =，斜边400AB m =，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB 、BC 、AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点D 、E 、F .

（1）若甲乙都以每分钟100m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；（2）设CEF θ∠=，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且3

DEF π

∠=，请将甲乙

之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离.

20. 已知函数2()21

x x a

f x +=+，x ∈R .

（1）证明：当1a >时，函数()y f x =是减函数；

（2）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；

（3）当2a =，且b c <时，证明：对任意[(),()]d f c f b ∈，存在唯一的0x ∈R ，使得

0()f x d =，且0[,]x b c ∈.

21. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若

1122n n

a a +≤≤（*n N ∈），则称{}n a 是“紧密数列”. （1）已知数列{}n a 是“紧密数列”，其前5项依次为39

1,,,,2416

x ，求x 的取值范围；（2）若数列{}n a 的前n 项和为2

1(3)4

n S n n =+（*n N ∈），判断{}n a 是否是“紧密数列”，

并说明理由；

（3）设{}n a 是公比为q 的等比数列，若{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的取值范围.

参考答案

一 . 填空题

1. {1,3}

2. 5

3. 2-

4. 4

5. 169.1

6. 12π

7. 13

8. 9. 2()log (3)f x x =- 10.

11. 6π 12. 10

二. 选择题

13. A 14. C 15. A 16. D

三. 解答题

17.（1）建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,1)P ,(1,0,0)B ,(1,2,0)C ,(0,3,0)D

所以(1,0,1)PB =-u u u r ，(1,1,0)CD =-u u u r

……3分

设异面直线PB 与CD 所成角为θ

则||1cos 2

||||PB CD PB CD θ?==?u u u r u u u r u u u

r u u u r ……6分所以异面直线PB 与CD 所成角大小为3π

……7分

（2）设平面PBC 的一个法向量为(,,)n u v w =r

则00

PB n BC n ??=???=??u u u r r u u u r r

……2分所以020u w v -=??=? 取1u w ==，得(1,0,1)n =r

……4分

所以点D 到平面PBC

的距离||2||n CD d n ?==

r u u u r r ……7分

分

分 ……6分所以222122PB PB x y b ?=+-=-u u u r u u u u r

19.（1）依题意得300BD =，100BE =，在△ABC 中，1cos 2BC B AB =

=， ∴ π

B =，

……2分在△BDE 中，由余弦定理得：

222221

2cos 3001002300100700002

DE BD BE BD BE B =+-??=+-???

=， ∴ DE = ……5分所以甲乙两人之间的距离为m .

……6分（2）由题意得22EF DE y ==，BDE CEF θ∠=∠=，

在直角三角形CEF 中，cos 2cos CE EF CEF y θ=?∠=，

……1分在△BDE 中，由正弦定理得sin sin BE DE BDE DBE =∠∠，即2002cos sin sin 60y y

θθ-=

， ∴

sin()

y θ=

+，π

θ<<

， ……5分所以当π

θ=

时，y 有最小值. ……7分所以甲乙之间的最小距离为m . ……8分

20.（1）证明：任取12,x x R ∈，设12x x <，则211

212(1)(22)

()()(21)(21)

x x x x a f x f x ---=++ ∵12x x <，所以2122x x

>，又1a >，∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >

……3分

所以当1a >时，函数()y f x =是减函数 ……4分（2）当1a =时，()1f x =，所以()()f x f x -=，所以函数()y f x =是偶函数 ……1分

当1a =-时，()2121x x f x -=+，2112()()2121

x x

x f x f x -----===-++ 所以函数()y f x =是奇函数 ……3分

当1a ≠且1a ≠-时，2(1)3a f +=

，21

(1)3

a f +-= 因为(1)(1)f f -≠且(1)(1)f f -≠-

所以函数()y f x =是非奇非偶函数 ……5分

（3）证明：由（1）知，当2a =时函数()y f x =是减函数，所以函数()y f x =在[,]b c 上的值域为[(),()]f c f b ，

因为[(),()]d f c f b ∈，所以存在0x R ∈，使得0()f x d =. ……2分假设存在110,x R x x ∈≠使得1()f x d =，

若10x x >，则10()()f x f x <，若10x x <，则10()()f x f x >，

与10()()f x f x d ==矛盾，故0x 是唯一的 ……5分假设0[,]x b c ?，即0x b <或0x c >，则0()()f x f b >或0()()f x f c < 所以[(),()]d f c f b ?，与[(),()]d f c f b ∈矛盾，故0[,]x b c ∈

……7分

21.（1）由题意得：81

1116

2,29224

x x

≤≤≤≤，所以8181328x ≤≤ ……3分

（2）由数列{}n a 的前n 项和()()2134

n S n n n N *

=+∈，得

11,1,2n n n S n a S S n -=?=?-≥?1,1

,222n n n =??

=?+≥??()112

2n n N *=+∈． ……3分所以，()111

121221111122

n n n a n a n n n ++++===++++ ……4分因为对任意n N *

∈，11012n <≤+，即131112

n <+≤+，所以，1122n n a a +≤≤，

即{}n a 是“紧密数列”． ……6分（3）由数列{}n a 是公比为q 的等比数列，得1

n n

a q a +=，因为{}n a 是“紧密数列”，所以1

22q ≤≤． ……1分 ① 当1q =时，1111,

1n n n

S n S na S n n ++===+，因为11122n

≤+≤，所以1q =时，数列{}n S 为“紧密数列”，故1q =满足题意． ……2分 ② 当1q ≠时，()111n n a q S q

-，则1111n n n

n S q S q ++-=

-，因为数列{}n S 为“紧密数列”，所以111221n n

q q

+-≤≤-，对任意n N *

∈恒成立．（ⅰ）当112q ≤<时，()()1111212

n n n

q q q +-≤-≤-，

即()()21121

n n q q q q ?-≤??-≥-??，对任意n N *∈恒成立．因为01n

q q <≤<，0211q ≤-<，3212

q -≤-<-，

所以()211n q q q -<<，()()133221224

q q q q ??-≥-≥?-=->- ???，

所以，当112q ≤<时，()()21121n

n q q q q ?-≤??-≥-??，对任意n N *

∈恒成立． ……5分

（ⅱ）当12q <≤时，()()1111212n n n

q q q +-≤-≤-,即()()21121

n q q q q ?-≥??-≤-??，对任意n N *∈

恒成立．因为1,211,120n

q q q q ≥>->-<-≤．所以()()211

q q q q -≥???

-≤-??，解得1q =，

又12q <≤，此时q 不存在． ……8分综上所述，q 的取值范围是1,12??

????

． ……9分