高中数学分类讨论专题

分类讨论专题

一、选择题（本题每小题5分，共60分）

1．用0，1，2，3四个数字组成没有重复数字的自然数，把这些自然数从小到大排成一数列，则1230是这个数列的

（） A ．第30项 B ．第32项 C ．第33项 D ．第34项

2．已知函数f (x ) =3 - 2|x |，g (x ) = x 2- 2x ，构造函数F (x )，定义如下：当f (x )≥g (x )时，F (x ) = g (x )；当f (x )＜g (x )时，F (x ) =f (x )，那么F (x )

（） A ．有最大值3，最小值-1

B ．有最大值3，无最小值

C ．有最大值7-27 ，无最小值

D ．无最大值，也无最小值

3．从长度分别为1，2，3，4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，则

m n 等于（） A . 0 B ．14 C ．12 D ．16

4．记二项式（1+2x ）n 展开式的各项系数和为a n ，其二项式系数和为b n ，则lim n n n n n

b a b a →∞-+ 等于

（） A ．1 B ．－1 C ．0 D ．不存在

5．过点)2,1(C 作直线，使其在坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线的斜率为（）

A ．1-

B ．1±

C ．21或-

D ．21或± 6．设函数f x x x ()()()=->

?1010，则()()()()a b a b f a b a b ++-?-≠2的值为（） A ．a B ．b

C ．a 、b 中较小的数

D ．a 、b 中较大的数 7．已知点P 在定圆O 的圆内或圆周上，圆C 经过点P 且与定圆O 相切，则动圆C 的圆心轨迹是（）

A ．圆或椭圆或双曲线

B ．两条射线或圆或抛物线

C ．两条射线或圆或椭圆

D ．椭圆或双曲线和抛物线

8．若集合A 1、A 2满足A 1∪A 2=A ，则称（A 1，A 2）为集合A 的一个分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时，（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合A 的同一种分拆，则集合A ={a 1,a 2,a 3}的不同分拆种数是

（） A .27 B .26 C .9 D .8 9．已知函数?????-=)()()(22为偶数时当为奇数时当，

，n n n n n f 且)1()(++=n f n f a n ，则+++321a a a 100a + 等于

（） A ．0

B ．100

C ．-100

D ．10200 10．四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个点，则这四个点不共面的概率为（）

A ．75

B ．107

C ．3524

D ．70

47 11．设双曲线的左、右焦点为1F 、2F ，左、右顶点为M 、N ，若12PF F 的一个顶点P 在双曲线上，则12PF F 的内切圆与边1F 2F 的切点的位置是

（）

A ．在线段MN 的内部

B ．在线段1F M 的内部或N 2F 内部

C ．点N 或点M

D ．以上三种情况都有可能 12．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要

求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有

（）

A ．210种

B ．420种

C ．630种

D ．840种二、填空题（本题每小题4分，共16分）

13．定义符号函数=x sgn 101????-?

000<=>x x x ，则不等式：x x x sgn )12(2->+的解集是 .

14．已知正ABC ?的边长为32，则到三个顶点的距离都为1的平面有_________个.

15．从装有1+n 个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球()N n m n m ∈≤<,,0，共

有m n C 1+种取法。在这m n C 1+种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，共有m n C C ?01种取法；另一类是取出的m 个球有1-m 个白球和1个黑球，共有111-?m n

C C 种取法。显然m n m n m n C C C C C 111101+-=?+?，即有等式：m n m n m n C C C 11+-=+成立.试根据上述思想化简下列式

子：

=?++?+?+---k m n k k m n k m n k m n C C C C C C C 2211 ()N n m k n m k ∈≤<≤,,,1.

16．直线l 经过点()1,2-P ，它在y 轴上的截距等于它在x 轴上截距的2倍，求直线l 的方程。某学

生作出了以下解答：设直线l 的方程为

1=+b

y a x ，则a b 2= （1）， ∵点P 在直线l 上，∴112=-b a （2），解由（1）、（2）组成的方程组，得3,23==b a ，∴直线l 的方程为032=-+y x .

判断上述解法是否正确，如不正确，给出你的答案 .

三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）已知数列),(0,}{N n a a n n ∈>中其前n 项和为n S ，且21=S ，当2≥n 时，

n n a S 2=.

（1）求数列}{n a 的通项公式;

（2）若n n a b 2log =，求数列}{n b 的前n 项和n T .

高中数学解题思想之分类讨论思想

分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 00且a≠1，p＝log a (a3＋a＋1)，q＝log a (a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是 _____。 A. p＝q B. pq D.当a>1时，p>q；当0

[精品]新高三数学第二轮专题复习分类讨论思想优质课教案

高三数学第二轮专题复习：分类讨论思想高考要求分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论” 重难点归纳分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则分类讨论常见的依据是 1由概念内涵分类如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类 2由公式条件分类如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等 3由实际意义分类如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论典型题例示范讲解

例1已知{a n }是首项为2，公比为2 1的等比数列，S n 为它的前n 项和（1）用S n 表示S n +1; （2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S c S k k 成立命题意图本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力知识依托解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质错解分析第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223 技巧与方法本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案解（1）由S n =4(1–n 21），得221)2 11(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---k k S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *)故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *）因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥2 3S 1–2=1 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3 当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不

(推荐)高中数学分类讨论

§2 分类讨论思想方法解读 1．分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础性问题，通过对基础性问题的解答，解决原问题的思维策略，实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，分类讨论可以优化解题思路，降低问题难度． 2．分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论． 3．回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点，大致有： ①绝对值概念的定义；②一元二次方程根的判别式与根的情况；③二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口方向；④反比例函数y ＝k x (x ≠0)的反比例系数k ，正比例函数y ＝kx 的比例系数k ，一次函数y ＝kx ＋b 的斜率k 与图象位置及函数单调性的关系；⑤幂函数y ＝x a 的幂指数a 的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；⑥指数函数y ＝a x 及其反函数y ＝log a x 中底数a ＞1及a ＜1对函数单调性的影响；⑦等比数列前n 项和公式中q ＝1与q ≠1的区别；⑧不等式性质中两边同乘(除)以正数或负数时对不等号方向的影响；⑨直线与圆锥曲线位置关系的讨论；⑩运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k 是否存在．

4．分类讨论的一般流程：明确讨论的对象确定讨论的全体选择分类的标准逐类进行讨论获得初步结果归纳整合写出结论分类突破一、根据概念分类例1若函数f(x)＝a x－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________． a＞1 解析设函数y＝a x(a＞0且a≠1)和函数y＝x＋a.则函数f(x)＝a x－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x(a＞0且a≠1)的图象与函数y＝x＋a的图象有两个交点．由图象可知，当0＜a＜1时，两函数只有一个交点，不符合；当a＞1时，因为函数y＝a x(a＞1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是a＞1. 归纳拓展有许多核心的数学概念是分类的，比如：直线斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题．

分类讨论思想在高中数学中的应用

分类讨论思想在高中数学中的应用摘要：分类讨论是是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置，在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。分类讨论实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”的思维策略。分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结.其关键是“为什么分类，怎样分类”。一、分类讨论的几个注意点 1. 明确分类讨论的对象分类讨论的对象是用字母表示的数,一般为变量, 当然也不排除为常量的可能。例1、设k 为实常数，问方程)4()8()4()8(22-?-=-+-k k y k x k 表示的曲线是何种曲线？解析：方程表示何种曲线主要取决于k 的取值，可对k 分以下三种情形讨论：（1）当k 4=时，方程变为0,042==x x 即，表示直线；（2）当k 8=时，方程变为0042==y y 即，表示直线；（3）当84≠≠k k 且时，方程变为1842 2=-+-k y k x ，又有以下五种情形讨论： ①当4

高中数学分类讨论细想方法

第二章高中数学常用的数学思想二、分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 00且a≠1，p＝log a (a3＋a＋1)，q＝log a (a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。 A. p＝q B. pq D.当a>1时，p>q；当00、a＝0、a<0三种情况讨论，选B；

高中数学总复习-分类讨论思想介绍与专题训练(附详细解析汇报)

专题复习分类讨论思想一、填空题：例1．设集合A ＝{x ||x |≤4}，B ＝{x ||x －3|≤a }，若A B ?，则实数a 的取值围是________．例2．已知实数a ≠0，函数2,1()2,1x a x f x x a x +

高中数学专题练习：分类讨论思想

高中数学专题练习：分类讨论思想 [思想方法解读]分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略. 1.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”. 3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果;最后进行归纳小结，综合得出结论. 常考题型精析题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论例1设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求实数a的取值范围.

(完整版)高中数学四大思想方法

高中数学四大思想方法 ————读《什么是数学》笔记《什么是数学》这本书是一本数学经典名著，它收集了许多闪光的数学珍品。它的目标之一是反击这样的思想："数学不是别的东西，而只是从定义和公理推导出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾外，可以由数学家根据他们的意志随意创造。"简言之，这本书想把真实的意义放回数学中去。但这是与物质现实非常不同的那种意义。数学对象的意义说的是"数学上'不加定义的对象'之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则"。数学对象是什么并不重要，重要的是做了什么。这样，数学就艰难地徘徊在现实与非现实之间；它的意义不存在于形式的抽象中，也不存在于具体的实物中。对喜欢梳理概念的哲学家，这可能是个问题，但却是数学的巨大力量所在--我们称它为，所谓的"非现实的现实性"。数学联结了心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实的物质世界。我根据自己在数学方面的兴趣，基于已有的数学背景知识，选取一部分和高中有关的内容进行舒心愉快的阅读。重新总结了高中数学中的数学四大思想方法：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。等价转化等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范

高三数学第二轮专题讲座复习：分类讨论思想

1 / 4 张喜林制 [选取日期] 高三数学第二轮专题讲座复习：分类讨论思想高考要求分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论 ” 重难点归纳分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则分类讨论常见的依据是 1 由概念内涵分类如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类 2 由公式条件分类如等比数列的前n 项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等 3 由实际意义分类如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论典型题例示范讲解例1已知{a n }是首项为2，公比为 2 1的等比数列，S n 为它的前n 项和（1）用S n 表示S n +1; （2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S c S k k 成立命题意图本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力知识依托解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质错解分析第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223 技巧与方法本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案解（1）由S n =4(1–n 21），得221)2 11(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---k k S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223 (>-=--k k k S S S ，(k ∈N *)故只要2 3S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *）因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ①

分类讨论思想在高中数学中的应用情形归纳

分类讨论思想在高中数学中的应用情形归纳【知识要点】一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法. 高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等. 二、分类讨论的思想是中学数学的基本思想方法，同时也是一种化整为零、各个击破、整合结论的解题策略.在分析和解决数学问题中，运用分类讨论思想可以将问题的条件与结论的因果关系、局部与整体的逻辑关系揭示得一清二楚、十分准确.在解决对象为可变的数量关系和空间图形形式的数学问题中有着广泛和重要的作用.有关分类讨论思想的数学问题贯穿于高中数学的各个部分，形式多样，综合性强，对于培养学生思维的缜密形、条理性、深刻性有着十分重要的作用.因此，分类讨论一直是高考命题的热点之一，也是每年必考的重要数学思想方法之一. 分类讨论思想就是由于某些元素具备不确定性，所以要分类讨论.分类讨论的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评. 三、分类讨论一般有四个要素：分类的起因、分类的标准、分类的过程、分类的结果. 四、本讲讲了分类讨论思想情形情形1：不确定集合A 是否是空集要对集合A 分空集和非空集两种情况讨论；情形2：等式（方程）两边同时除以一个数a 时不确定a 是否为零要分00a a =≠和讨论；情形3：不确定方程20ax bx c ++=是不是一元二次方程要分00a a =≠和讨论；情形4：不确定等式20ax bx c ++>是不是一元二次不等式要分00a a =≠和讨论；情形5：不确定函数2 ()f x ax bx c =++是不是一元二次函数要分00a a =≠和讨论. 情形6:2 (0)y ax bx c a =++≠的抛物线开口方向不确定要分0a <和a>0讨论；情形7：一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的判别式?正负不确定要分00?>?≤和讨论；情形8：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根大小不确定要分类讨论；情形9：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴2b x a =- 与区间[,]m n 的位置关系不确定一般要分2b m a - <、2b m n a ≤-≤、2b n a ->三种情况讨论.；

高中数学专题复习之用分类讨论思想解题

高中数学专题复习之用分类讨论思想解题参数广泛地存在于中学数学的各类问题中，也是近几年来高考重点考查的热点问题之一。以命题的条件和结论的结构为标准，含参数的问题可分为两种类型，。一种类型的问题是根据参数在允许值范围内的不同取值（或取值范围），去探求命题可能出现的结果，然后归纳出命题的结论；另一种类型的问题是给定命题的结论去探求参数的取值范围或参数应满足的条件。本文拟就第一类问题的解题思想方法――分类与讨论作一些探讨，不妥之处，敬请斧正。解决第一类型的参数问题，通常要用“分类讨论”的方法，即根据问题的条件和所涉及到的概念；运用的定理、公式、性质以及运算的需要，图形的位置等进行科学合理的分类，然后逐类分别加以讨论，探求出各自的结果，最后归纳出命题的结论，达到解决问题的目的。它实际上是一种化难为易，化繁为简的解题策略和方法。一、科学合理的分类把一个集合A 分成若干个非空真子集A i （i=1、2、3···n ）（n ≥2，n ∈N ），使集合A 中的每一个元素属于且仅属于某一个子集。即 ①A 1∪A 2∪A 3∪···∪A n ＝A ②A i ∩A j ＝φ（i,j ∈N,且i ≠j ）。则称对集A 进行了一次科学的分类（或称一次逻辑划分）科学的分类满足两个条件：条件①保证分类不遗漏；条件②保证分类不重复。在此基础上根据问题的条件和性质，应尽可能减少分类。二、确定分类标准在确定讨论的对象后，最困难是确定分类的标准，一般来讲，分类标准的确定通常有三种：（1）根据数学概念来确定分类标准例如：绝对值的定义是： ?? ? ??<-=>=)0() 0(0) 0(||a a a a a a

高中数学分类讨论归纳总结(二)：集合中的分类讨论

高中数学分类讨论归纳总结（二）：集合中的分类讨论一、参数取值引起的分类讨论 1．已知函数y ＝2x ，x ∈[2,4]的值域为集合A ，y ＝log 2[－x 2＋(m ＋3)x －2(m ＋1)]的定义域为集合B ，其中m ≠1.设全集为R ，若A ??R B ，求实数m 的取值范围．解析：由－x 2＋(m ＋3)x －2(m ＋1)＞0，得(x －m －1)(x －2)＜0，若m ＞1，则B ＝{x |2＜x ＜m ＋1}，所以?R B ＝{x |x ≤2或x ≥m ＋1}．因为A ??R B ，所以m ＋1≤4，所以1＜m ≤3. 若m ＜1，则B ＝{x |m ＋1＜x ＜2}，所以?R B ＝{x |x ≤m ＋1或x ≥2}，此时A ??R B 成立． 2．已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，则a ＝__________. 解析：∵－3∈A ，∴－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a . ∴a ＝－1或a ＝－32 . 当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，与元素互异性矛盾，应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3. ∴a ＝－32满足条件．答案：－32 二、空集引起的分类讨论 1、已知集合A ＝{x|－2≤x ≤7}，B ＝{x|m ＋1＜x ＜2m －1}．若B ?A ，则实数m 的取值范围是( ) A ．－3≤m ≤4 B ．－3＜m ＜4 C ．2＜m ≤4 D ．m ≤4 思维启迪：若B ?A ，则B ＝?或B ≠?，要分两种情况讨论．解析：当B ＝?时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠?时，若B ?A ，如图．则????? m ＋1≥－2，2m －1≤7， m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4. 综上，m 的取值范围为m ≤4，故选D . 2、．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －(3a ＋1)＜0}，B ＝{x |x －a 2－2x －a ＜0}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解析：∵a 2＋2＞a ，∴B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}． ①当3a ＋1＞2，即a ＞13 时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}．∵p 是q 的充分条件，∴A ?B .

高中数学分类讨论思想之初探

高中数学分类讨论思想之初探发表时间：2018-10-24T10:39:46.937Z 来源：《现代中小学教育》2018年第5期作者：穆娟侠 [导读] 数学思想方法是数学的灵魂,是提高数学教学质量的保证。数学思想的主要方法所指的就是数学基础知识的主要组成部分，数学问题的研究与解决需要多做习题,多看案例,更重要的是在平时的教学过程中,教师要妙用数学思想与数学方法,使学生真正学会运用这种方法解决数学问题。陕西兴平西郊高级中学穆娟侠【摘要】：数学思想方法是数学的灵魂,是提高数学教学质量的保证。数学思想的主要方法所指的就是数学基础知识的主要组成部分，数学问题的研究与解决需要多做习题,多看案例,更重要的是在平时的教学过程中,教师要妙用数学思想与数学方法,使学生真正学会运用这种方法解决数学问题。由于高中数学知识复杂且抽象，存在比较大的难度，再加上受到高考的重压，一些学生对数学失去了学习的兴趣。数学教师应引进分类讨论教学，为学生创设良好的课堂学习环境，确保学生能够熟练掌握数学基础知识，对高中数学知识进行系统了解与掌握，并对数学知识之间的联系与规律展开自主探讨，提高数学学习效率。本文就分类讨论的组成进行分析，对其重要性进行研究，并探讨高中数学教学分类讨论的应用，以便提高高中数学教学效率。【关键词】：高中数学教学分类讨论归纳总结分类讨论思想是高中数学中一种十分常见且实用的逻辑方法，重点考查学生思维的清晰度和严谨性。在新实行的新课标要求下，高中数学教学课程中明确要求学生应当在观察、分析、概括与综合的基础上，明确的知晓自身的观点与看法，拥有清晰的思路，从而提高高中生的数学素养。不难想象，分类讨论思想在高中数学教学中应用之广泛。在高中数学教学中引进分类讨论教学，可以为学生的数学思维培养提供基础。一、分类讨论的组成分类讨论主要是将原有的问题进行分解，分为若干个简单又独立的小问题，并对小问题进行解答，从而逐步对原有问题进行解析。分类讨论法主要构成要素为分类的对象、分类后的概念以及区分标准。其分类的主要步骤包括：确定分类的对象与范围;进行合理分类;并开展分类讨论;分类讨论的范围需要从小到大，从简单到复杂;最后对其进行归纳求解。另外，分类讨论法的应用还需要遵循一定的原则。首先，需要遵循对象的确定，分类的不重复与不遗漏原则，同时，分清主次与逐级讨论的原则。其中最为关键的是避免重复与遗漏，因此，在进行分类讨论的时候，需要选择正确的分类标准，对其对象进行准确的划分。二、分类讨论教学的重要性在分类讨论问题解决中，虽然存在规律，但是规律没有固定结构，对数学内容的学习需要以基本概念、内涵、定理、法则与公式为前提。因此，在高中数学知识教学过程中，引进分类讨论教学，可以让学生对数学知识进行分类掌握，并形成数学框架，对高中数学知识全面了解。例如，在排列组合的学习过程中，教师向学生提问：8个人站成两排，A与B必须相邻，有多少站法。在对其进行解答的时候，可以将A与B看成是一个整体，即7人站两排，并得出组合数，之后对A与B的站位进行讨论，将上述结果乘以2得出答案。由此，可以看出在高中数学教学中，分类讨论是十分必要的，在数学教学中占有重要的地位。因此，教师在教学的时候，需要充分考虑到分类讨论的内容，以便对数学知识点进行分类讨论，通过对高中数学知识进行分类了解与掌握，对整体数学知识进行消化与理解。三、高中数学教学中分类讨论教学法的应用（一）注意引导，熟悉其意义教师是高中数学教学的总负责人，教师教学方式的正确性与科学性对学生知识的掌握程度有着决定性作用。因此，教师在教学过程中要正确的引导学生熟悉并掌握课本上的知识，熟练运用在平时解决问题的过程当中。有较强的分析能力，能够准确抓住问题的根本所在，最后将之解决，那么学生的综合能力将会得到很大提升。在教学过程中教师也可以将分类讨论思想融入其中，用一些比较典型的案例来说明分类讨论的有效与方便，让学生在问题解答的同时对分类讨论也有一定的印象，在运用中充分认识到其要义，将分类讨论思想融会贯通，最终的结果即是学生面对需要运用不同分类的问题时能够做到用正确的分类方式将其解决。（二）加强实践运用只有在不断练习和反复做题的过程中才能有效的提高学生的数学解题能力，才能有效的锻炼学生的逻辑思维能力。教师在平时进行分类讨论思想教学时，要多给学生提供可以进行分类讨论解决问题的机会。比如有些数学概念是要分若干情况来定义的，可以让学生们自己考虑利用分类讨论来完成它们的定义；或者有些题目需要若干不同的情况来分析才能使最终结果更完美，可以让学生讨论这些情况是由什么组成，然后揭晓分类的类数，使得学生明白自己的漏洞在哪里，从而更加有效地锻炼学生思维的严谨性。（三）创设情景提高学生的自觉应用能力只有具有过硬的数学能力才能在解决问题时准确的运用分类讨论思想，这就要求教师在教学过程中不断加强学生的主动学习意识，准确的使用分类讨论思想解决课堂上的问答题，另外还要学生在课外加强自己的练习，多做一些类似的题目来巩固知识，不断在解题的过程中强化自己对于分类讨论思想的运用和理解，克服自身的盲目性与随意性，做到在适用的场合运用分类讨论，从而提高学生的自觉应用能力。（四）渗透分类讨论意识。学生在数学的学习过程中需要及时形成良好的数学思维，不断提高解决数学问题的能力。例如，教师在讲授函数知识的时候，已知点A的坐标为（4，9），一条直线会经过该点，直线在X轴与Y轴上的截距相等，求该直线的方程表达式。虽然此类直线求解的问题看上去比较容易，但在解题过程中，学生会出现漏洞。在求解上述题目时，学生通常会将求解直线方程式直接列出，并将点A的坐标直接代入方程，并根据“截距相等”这一条件将方程求出。因此，教师在讲解此种类型的题目时，可以先将解题形式列出，再询问学生此种解题是否存在问题，并找出问题所在，确保学生考虑到问题的各个方面，对题目进行更全面的分析，引导学生积极投入到解题中来。总之，教师的教学一定要基于课本，将分类讨论思想融入到教学中去，在日常教学中体现其优点，这更有利于学生的掌握。分类讨论贯穿在整个高中数学学习的全过程，通过分类可以使大量繁杂的材料条理化、系统化，从而为人们进行分门别类的深入研究创造条件.分类

高中数学二次函数分类讨论经典例题

例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围；（2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围（4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,23[-上的最大值为1，求实数a 的值。解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1(?吗？），即.4 21-0)4(0g m 或,0 )4(0???>)(恒成立，求实数a 的取值范围。解：（1）0)()(恒成立?.)]([min a x f >又当]1,1[-∈x 时，5)1()]([min -=-=f x f ，所以).5,(--∞∈a

高考数学专题复习分类讨论思想

二、分类讨论思想高考动向分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是中学数学中经常使用的数学思想方法之一.突出考查学生思维的严谨性和周密性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力，能体现“着重考查数学能力”的要求.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分，它不仅形式多样，而且具有很强的综合性和逻辑性. 知识升华 1．分类讨论的常见情形（1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等. （2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，由a的正负而导致开口方向不确定，等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等. （3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如ax2+bx+c ＞0，a=0，a＜0，a＞0解法是不同的. （4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的位置关系等. （5）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中常见. （6）由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数时，必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参数的数学问题中，参变量的不同取值，使得变形受限导致不同的结果. 2．分类的原则（1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的；分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论，即认识为什么要分类讨论，又从几方面开始讨论，只有明确了讨论原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义，考虑问题要全面.函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线位置关系中的判别式等等，常常是分类讨论划分的依据. （2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论.当问题中出现多个不确定因素时，要以起主导作用的因素进行划分，做到不重不漏，然后对划分的每一类分别求解，再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法. 3．分类讨论的一般步骤第一，明确讨论对象，确定对象的范围；第二，确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；第三，逐类讨论，获得阶段性结果；第四，归纳总结，得出结论. 4. 分类讨论应注意的问题第一，按主元分类的结果应求并集. 第二，按参数分类的结果要分类给出. 第三，分类讨论是一种重要的解题策略，但这种分类讨论的方法有时比较繁杂，若有可