垂径定理及其推论导学案
B
A
垂径定理及其推论导学案
班级 姓名 学号
一、 学习目标：
①研究圆的对称性,掌握垂径定理及其推论；
②学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算等问题； ③掌握常用辅助线的作法——作弦心距。
①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般”的基本思想方法。
二、 学习过程： （一）知识准备
1、已知在RT △ABC 中 ∠C=90°，AB=13，BC=5求AC
2、圆是 对称图形，任何一条 都是它的对称轴。 (二)探究活动
如图，AB 是⊙O 的一条弦，做直径CD ，使
CD ⊥AB ，垂足为E ． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
2、垂径定理：垂直于弦的直径 ；并且 弦所对的两条弧。 符号语言：∵AB 是⊙O 的直径
又∵CD AB ⊥
∴
3、推论: 弦（ ）的直径垂直于弦，并且 弦所对的两条弧 符号语言：∵AB 是⊙O 的直径
又∵DE CE =
∴
C D
O
B
A E B
O D
A
C
R
（三）综合应用
1．运用定理进行计算：
例1：如图3，在⊙O 中，若弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径。
分析：因为已知“圆心O 到AB 的距离为3cm ”，所以要作辅助线OE ⊥AB ；因为要求半径，所以还要连结OA 。 解：
变式：在图3中，若⊙O 的半径为10cm ，OE =3cm ，则AB = 。
例2、你知道赵州桥吗?它是1400多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m ，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？（结果保留小数点后一位）
2．知识综合应用：
1．如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm .求⊙O 的半径。 2．如图，在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，AB OD ⊥于D ，AC OE ⊥于E . 求证：四边形ADOE 为正方形。
E
O
D
C
B
A
C B
A
O
（四）达标检测，反馈效果
1在半径为10的圆中,圆心O到弦AB的距离OC为6,则弦AB的
长为( )
A.6
B.8
C.10
D.16
2、如图9，AB为⊙O的直径，弦CD⊥ AB，垂足为点E，连结OC，若OC＝5，
CD＝8，则AE＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3、如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM
A.2
B.3
C.4
D.5
3.如图，AB是⊙O的弦，半径OA＝2，∠AOB＝120°，则弦AB
（A）2
2（B）3
2（C）5（D）5
3
4．如图所示，两个同心圆O，大圆的弦AB交小圆于C、D。求证：BD
AC
（五）反思静悟，体会分享
1、本节课你学到了哪些数学知识？
①定理的三种基本图形——如图8、9、10。
②计算中三个量的关系——如图11，。
③证明中常用的辅助线——
（图8）（图9）（图10）（图11）O
A B
C
D
E
O
A B
D
E
O
A B
E
a
d
r O
A B
·
A
O
M
B
B
O
A
2、在学习利用垂径定理解决问题的过程中，你掌握了哪些数学方法？这些方法中你又用到了哪些数学思想？
（六）课后作业
1.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，
则⊙O的直径为（）
A．8 B．10 C．16 D．20
2.如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
3.在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD,AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是（）．
A.7cm
B.1cm
C.7cm 或4cm
D.7cm或1cm
4．如图，一个圆弧形桥拱，其跨度AB为10米，拱高CD为1米.求桥拱的半径.
5.某机械传动装置在静止时如图，连杆PB与点B运动所形成的⊙O交于点A，测得PA=4cm，AB=6cm，⊙O半径为5cm，求点P到圆心O的距离．
6．如图，在⊙O中，AB是弦，C为的中点，若3
BC，O到AB的距离
2
为1.求⊙O的半径.
圆第2课垂径定理导学案
圆第2课垂径定理导学案 第2课时 24.1.2 垂直于弦的直径 ［学习目标］ 1．理解圆的轴对称性； 2．掌握垂径定理及其推论，能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明. 知识链接 一、知识链接（阅读课本P81-82完成以下内容） 1.圆的对称性：圆既是图形也是图形，对称轴是，有条；对称中心是 2.垂径定理:垂直于弦的,并且平分弦所对的弧。 3.垂径定理推论：平分弦（非直径）的直径 二、自主学习[Tip:辅助线的常用作法：连半径，过圆心向弦作垂线段。] 1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，?错误的 是（）． A．CE=DE B．BC=BD C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD (图1) (图2) (图3) （图4） 2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8 3．如图3，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（） A．1mm B．2mm C．3mm D．4mm 4．如图4，OE⊥AB、OF⊥CD，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论） 二、合作探究 1.如图6，AB是O的直径，弦CD^AB，垂足为E，如果AB=20,CD=16,那么线段OE的 长为（
A. 10 B. 8 C. 6 D.4 A （图6） （图7） （图8）（图9） 2.如图7，在O中，若AB^MN于点C， AB为直径,试填写出三个你认为正确的结论： ，， . 3. P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为；最长弦长 为． 4. 如图8，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP= ． 第 1 页共 1 页） 5. 泸州市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图9所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道? 解：连接OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F 【课堂检测】 1、如图2-1，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于 度. 图2-1 图2-2 2、如图2-2所示，已知AB为⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为M，CD＝8，AM＝2， 则OM＝ . 3、⊙O的半径为5，弦AB的长为6，则AB的弦心距长为 .
垂径定理推论证明
一、 ③AE=BE ①⌒AC = ⌒BC ④CD ⊥ AB ②⌒AD = ⌒BD ⑤CD 过圆心（即CD 是直径） 证明：∵⌒AC = ⌒BC ，⌒AD = ⌒BD ∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周 ∴ CD 过圆心（即CD 是直径） 连接OA ，OB ∵⌒AD = ⌒BD ∴∠AOD=∠BOD 在△AOE 和△BOE 中 OA=OB ∠AOE=∠BOE OE=OE ∴△AOE ≌△BOE （SAS ） ∴AE=BE ，∠AEO=∠BEO=90° ∴CD ⊥AB 二、 ②⌒AD = ⌒BD ①⌒AC = ⌒BC ④CD ⊥AB ③AE=BE ⑤CD 过圆心（即CD 是直径） 证明：连接OA ，OB 在△AOE 和△BOE 中 OA=OB AE=BE OE=OE ∴△AOE ≌△BOE （SSS ） ∴∠AOE=∠BOE ，∠AEO=∠BEO=90° ∵∠AOE=∠BOE ∴⌒AD = ⌒BD ∵⌒AC = ⌒BC ，⌒AD = ⌒BD ∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周 ∴ CD 过圆心（即CD 是直径） ∵∠AEO=∠BEO=90° ∴CD ⊥AB 21 21
三、①⌒AC = ⌒BC ②⌒AD = ⌒BD ④CD⊥AB ③AE=BE ⑤CD过圆心（即CD是直径）证明过程同上 四、 ②⌒AD = ⌒BD ①⌒AC = ⌒BC③AE=BE ④CD⊥AB⑤CD过圆心（即CD是直径） 证明：连接OA，OB ∵CD⊥AB ∴∠AEO=∠BEO=90° 在Rt△AOE和Rt△BOE中 OA=OB OE=OE ∴Rt△AOE≌Rt△BOE（HL） ∴∠AOE=∠BOE，AE=∠BE ∵∠AOE=∠BOE ∴⌒AD = ⌒BD ∵⌒AC = ⌒BC，⌒AD = ⌒BD ∴⌒ CAD= ⌒ CBD = 圆周 ∴CD过圆心（即CD是直径） 五、①⌒AC = ⌒BC ②⌒AD = ⌒BD③AE=BE ④CD⊥AB⑤CD过圆心（即CD是直径）证明过程同上 六、②⌒AD = ⌒BD ①⌒AC = ⌒BC③AE=BE ⑤CD过圆心（即CD是直径）④CD⊥AB 2 1
垂径定理及其推论
圆部分知识点总结 垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1:(1）平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （２)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为: 过圆心 垂直于弦 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。 2:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量都分别相等。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角；9０°的圆周角所对的弦是直径。 推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 点和圆的位置关系 设⊙O 的半径是ｒ，点Ｐ到圆心O 的距离为ｄ,则有： d
垂径定理导学案-(2)
B A D C 弓弓 弓 弓 ←→ （2）垂直于弦的直径自学案 课型：新课主备人：吴剑红学生姓名：家长签字： 【教学目标】 ①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性 ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的计算与证明问题 ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段. 【教学重点】垂径定理及其应用 【教学难点】垂径定理的证明 【教学方法】探究发现法 【教学设计】 一、【情景创设】 1．实例：我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵 县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好 的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华 北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这 充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。 （图1） 2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，）为米。请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少 通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 二、【自主探究】 活动一：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么由此你能得到什么结论 可以发现 活动二：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． 你能发现图中有那些相等的线段和弧为什么 线段弧 理由：如图 我们把这个结论称为
探索发现：垂径定理三种语言 (一 )图形： (二)文字： (三).符号：如图，∵ ∴ 抢答： 1、如上图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥ CD于E，AB=8，则AE= , BE= ⌒⌒ AD= ，AC=_____ 2、判断下列图形，能否使用垂径定理 活动三：应用定理计算 1、如图，在⊙O中弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OE=3cm，求⊙O的半径。 【变式1】如上图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OE的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8 【变式2】如图，已知⊙O的半径为13mm，弦AB=10mm，则圆心O到AB的距离是（）A．3 mm B．4 mm C． 12 mm D． 5 mm 【变式3】半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是。 【变式4】如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则弦AB的长是。 【变式5】如图，AB 为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（） O C D B A O C D B A O C D B A O C D E O A B C D E
垂径定理
2 1 垂径定理 一、 圆的对称性 圆是轴对称图形，对称轴是 二、 如图是一个圆形纸片把该纸片沿直径AB 折叠，其中点A 和点是一组对称点 （1）思考∵OC=OD, ∴Δ OCE ≌ΔODE, ∠OEC= ∠OED= ∴AB 与CD 的位置关系是 （2）又∵点C 和点D 是一组对称点 ∴CE= 即点E 是CD 的中点 （3）根据折叠可得，弧AC=弧AD, 弧BC=弧BD, 结论：垂径定理及其推论 1、垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两段弧 2、推论：平分弦（不是直径）的直径 并且 弦所对的两条弧 三、规律总结;垂径定理及其推论与“知二得三” 对于一个圆和一条直线，若具备： （1） 过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个 条件中的任何两个条件都可以退出其他三个结论 四、 垂径定理基本图形的四变量、两关系 四变量：弦长a,圆心到弦的距离d,半径r ，弓形高h ，这四个量知道任意两个可求其他两个。 五、垂径定理及其推论的应用 （一）、选择题： 1、已知圆内一条弦与直径相交成300角，且分直径成1CM 和5CM 两部分，则这条弦的弦心距是： A 、 B 、1 C 、2 D 、25 2、AB 、CD 是⊙O 内两条互相垂直的弦，相交于圆内P 点，圆的半径为5，两条弦的长均为8，则OP 的长为： A 、3 B 、3 C 、3 D 、2 3、⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（ ） A B C ． D ．4、如图2，⊙O 的弦AB =6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 5、高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A ．5 B ．7 C ． 375 D ．377 6、如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ） A ．6.5米 B ．9米 C ．13米 D ．15米 7、如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AB 是直径．若80BOC ∠=°，则A ∠等于（ ） A ．60° B ．50° C ．40° D ．30°
垂径定理及推论(各省市中考题)
E A B C O 1. (2013 浙江省舟山市) 如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连 结EC ．若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长为（ ▲ ） （A ）215 （B ）8 （C ）210 （D ）213 答案：D 4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-29 2. (2013 浙江省温州市) 如图，在⊙O 中，OC ⊥弦AB 于点C ，AB =4，OC =1，则OB 的长是 （A ） 3 （B ） 5 （C ）15 （D ） 17 答案：B 4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-24 3. (2013 湖北省宜昌市) 如图，DC 是O ⊙的直径，弦AB CD ⊥于F ，连接BC DB ，．则 下列结论错误．． 的是（ ）． （A ）? ?AD BD = （B ）AF BF = （C ）OF CF = （D ）90DBC ∠=°
答案：C 4.2 垂径定理及推论 选择题 基本技能 2013-09-22 4. (2013 湖北省襄阳市) 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m ，其中水面的宽AB 为0.8m ，则排水管内水的深度为 m. 答案：0.2 4.2 垂径定理及推论 填空题 基本技能 2013-09-22 5. (2013 湖北省黄石市) 如右图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，3AC =，4BC =，以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点 D ，则AD 的长为 A. 95 B. 245 C. 185 D. 52 C A D B
北师大版数学九年级下册第三章3.3(1)垂径定理(导学案,无答案)(最新整理)
O C E D O 一、教学目标 3.3（1）垂径定理 1. 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理； 2. 运用垂径定理及其逆定理解决问题． 二、教学重点和难点 重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理． 难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线三、教学过程 （一）情境引入： 1．如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD ，使 CD ⊥AB ，垂足为 M ． （1） 该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2） 你能图中有哪些等量关系？ （3） 你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明） （二）知识探究： 【探究一】通过上面的证明过程，我们可以得到： 1. 垂径定理 2. 注意： ①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。 ③定理中的两个条件缺一不可—— ， ． 3. 给出几何语言 ? 如图，已知在⊙O 中，A B 是弦，C D 是直径，如果 CD⊥AB,垂足为 E, 那么 AE= , AC C ? = , B D = 4. 辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？ B B D O C C D A A E B O
B O A 【探究二】 1. 如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分 AB 的直径 CD ，交 AB 于点 M . （1） 下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2） 图中有哪些等量关系？说一说你的理由. 2. 垂径定理的推论： 3. 辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理 少了“不是直径”，是否也能成立？ 反例： C D 4. 如图，在⊙O 中，AB 是弦（不是直径），CD 是直径， C ? ? （1）如果 AE=BE 那么 CD AB, AC = BD = ? ? ? (2)如果 AC = BC 那么 CD AB ，AE BE ， B D = ? ? ? （3）如果 AD = BD 那么 CD AB ，AE BE ， AC = （三）典例讲解： 1. 例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 ⌒ ,点 0 是⌒ 所在圆的圆心），其中 CD CD CD =600m ，E ⌒ 为 上的一点，且 CD OE ⊥CD ，垂足为 F ，EF =90m.求这段弯路的半径． 2. 如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？ A E B O
初中数学九年级24.1.2垂径定理导学案(一)
C B D O A 垂径定理导学案(一) 【学习目标】1.根据圆的对称性探究垂径定理，掌握垂径定理. 2.利用垂径定理解决一些实际问题． 【学习关键】区分“垂径定理”的题设与结论。 【导学过程】 一．创设情景 引入新课 如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为 m ，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 m ）．（书本82页例题） 二、新知导学 （一）探究一：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么 结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。 （二）探究二： 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ． （1）如图是轴对称图形吗如果是，其对称轴是什么 （2）用折叠法猜测图中有哪些相等的线段和弧如何验证 相等的线段：______________ 相等的弧： _____=______；_____=______。 垂径定理： 文字语言：垂直于弦的直径_______，并且__________________。（题设，结论） 符号语言：∵CD 是⊙O_____，AB 是⊙O______，且CD__AB 于E ∴____=_____，_____=______，_____=______。 (三) 探究三：用垂径定理解决问题 已知：⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ， 求⊙O 的半径。 归纳：圆中常用辅助线——作弦心距，构造Rt △.弦（a ）、 半径（r ）、弦心距（d ），三个量关系为 。 (四) 探究四：垂径定理的推论 文字语言：平分弦（ ）的直径_______，并且______ ______。 符号语言：∵AB 是⊙O_____， _____=______ ∴____=_____，_____=______，_____=______。 (五)利用新知 问题回解 赵州桥AB=8，CD=2，求半径。书本82页例题 三、巩固练习，拓展提高 1.如图，两圆都以点O 为圆心，求证:AC=BD 2.已知：⊙O 中弦AB ∥CD 。 求证：AC ＝BD 3.圆的平行两条弦长分别为6cm 、8cm,圆的半径为5cm, 求平行两弦之间的距离 四、我的收获 C E D O
垂径定理及推论教学设计
24.1.2垂径定理及其推论教学设计 【教材分析】 本节是《圆》这一章的重要容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。 【教学目标】 根据新课程标准的要求，课改应体现学生身心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发现；有利于进行创造性的教学。因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面： 知识目标： 使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。 方法与过程目标： 经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。 情感态度与价值观目标: 在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。 【重点与难点】 重点：垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。 难点：对垂径定理及其推论的探索和证明，并能应用垂径定理及推论进行简单计算或证明。 【学生分析】 九年级学生已了解圆的有关概念；但根据皮亚杰的认知发展理论：这个阶段的学生思维正处于具体思维向抽象思维发展、逻辑思维向形式思维发展、部心理上逐步朝着自我反省的思维发展。虽然他们具有一定的数学活动经验、生活经验和操作技能，会进行简单的说理，但他们的逻辑思维能力和抽象思维能力还比较薄弱。对如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型的能力较差。 【教学方法】 鉴于教材特点及九年级学生的知识基础，根据教学目标和学生的认知水平，让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。同时，在教学中，我充分利用教具和课件，提高教学效果，在实验、演示、操作、观察、练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。
垂径定理学案、教学设计
24.1.2垂直于弦的直径导学案 广水市实验中学张运才 【学习目标】 1.理解圆的轴对称性． 2.理解垂径定理及其推论，并能应用它们解决有关弦的计算和证明问题． 【学习重点】垂直于弦的直径的性质、推论以及证明． 【学习难点】利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题． 【学习过程】 【我能行】学生自学课本Ｐ80---P81，按照提示思考下面问题： （一）情景导入：观看赵州桥视频。聪明的同学们，你能求出赵州桥桥拱所在圆的半径吗？ （二）自主探究：先自主探究，后小组交流。 探究一：把一个圆沿着它的任意一条直径所在的直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？ 我发现： （1）把圆纸片沿着它的任意一条直径所在的直线对折叠时，两个半圆． （2）上面的实验说明：圆是____ __，对称轴是经过圆心的每一条____ ___．圆有条对称轴． 探究二：请同学们按下面的步骤做一做： 第一步，把一个⊙O对折，使圆的两半部分重合，得到一条折痕CD； 第二步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，再沿垂线折叠，得到新的折痕，其中点E 是两条折痕的交点，即垂足； 第三步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，画出折痕AB、CD．观察你所折纸片：（1）在上述的操作过程中，由圆的轴对称性你能得到哪些相等的线段和相等的弧？ （2）你能用一句话概括上述结论吗？ （3）请作出图形并用符号语言表述这个结论． 练习：如下图，哪些能使用垂径定理？为什么？ 【交流学】先独立完成，后小组交流。 1.垂径定理结构：条件：①直径CD过圆心O②CD⊥AB结论：③AE=BE ④弧AC= 弧BC ⑤弧AD=弧BD.如果交换定理的题设和结论的部分语句，如①③作为题设，②④⑤作为结论，命题成立吗？例如在⊙O中，CD是直径，AB是的弦，CD与AB交于点E.如果AE=BE，那么CD与AB垂直吗？注意分情况讨论： （1）若AB是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？ （2）若AB不是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？ 思考：你能用一句话概括上述结论吗？ 推论： 如果交换定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的新结论呢？它们成立吗？ 发现：
垂径定理及其推论
圆部分知识点总结 令狐采学 垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 直径平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 2：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 点和圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d P在⊙O内； d=r?点P在⊙O上； d>r?点P在⊙O外。 过三点的圆 1、不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系，具体如下： （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d,那么：直线L 与⊙O相交?d 垂径定理及其推论 一、 复习旧知 复习前面学习的圆的基本元素，重点复习圆心角、弧、弦之间的关系；强调圆是旋转对称图形、轴对称图形和中心对称图形。 二、 情境导入（出示赵州桥图片） 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m ，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？现在同学们不会求，但是学了这节课你们就能把主桥拱的半径求出来了。 三、 出示学习目标 1、 利用圆的轴对称性探究垂径定理 2、 理清垂径定理及其推论的题设和结论。 3、 运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明。 4、 学会与垂径定理有关的添加辅助线的方法 四、 自学探究 1、如图,在纸上画⊙O ，AB 是⊙O 的一条弦, 作直径CD ⊥AB, 垂足为E.沿CD 折叠，你能发现图中有那些相等的线段和弧? 你能发现什么结论? 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD 2、得出猜想 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 D 即如果CD⊥AB，那么AE=BE,弧AC=弧BC,弧AD=弧BD 3、请根据猜想写出命题的已知、求证，并写出证明过程 4、得出结论经过证明，以上命题是真命题。即垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧是成立的，我们把这个真命题叫做垂径定理 四、检测 1、（出示图形）检查下列图形是否具备应用垂径定理的条件？ 五、例题讲解 已知：如图在⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙半径 技巧总结：从例题看出圆的半径OA，弦心距OE及半弦长AE构成Rt△AOE.把垂径定理和勾股定理结合起来，解决问题。 六、练习 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm。 七、思考 将垂径定理的题设和结论调换，命题还成立吗？ 1、如果圆的一条直径平分弦（不是直径），那么它垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧 写出此命题的已知求证，并进行证明。 2、经验证，命题是正确的，由此得出垂径定理的推论1：平分弦（不是直径）的 直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 垂径定理的相关计算导学案 教学目标： 1.进一步熟悉垂径定理及其推论。 2.通过练习，总结常用解题方法，渗透方程、构造直角三角形的数学思想。 3.学会与同学交流合作，培养团队精神，体验学习过程中成功的快乐，增强学习数学的信心与热情。 重点难点:垂径定理及其推论在计算中的应用。 教学过程 一、复习引入： 【垂径定理】垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 【推论】平分弦(不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 算一算：如图CD 是⊙O 的直径。 （1） 若CD ⊥弦AB 于E ，若AB =8cm,CD =10cm ，则OE =___ （2） 若AE=BE ，若DE=1cm,CD=10cm,则AB=___ （3）若CD ⊥弦AB 于E ，AB=8cm,ED=2cm, 则CD 的长=___ （4）若E 为弦AB 的中点，AB =4cm,CE ＝6 cm, 则OC 的长=___ （5）若CD ⊥弦AB 于E ，连结AD ,AD=13cm,OA=5cm, 则AB 的长=___ 二、能力训练： 1．如图，底面半径为5dm 的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8dm ，求油的深度（指油的最深处即油面到水平地面的距离）。 E B A D C O E B A D C O E B A D C O 5dm 2．⊙O 的半径为13cm ，AB 、CD 为⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，求 AB 和CD 之间的距离。 三．提高练习： 3．已知： A 、B 、C 为⊙O 上的三点，且AB ＝ AC ，圆心O 到BC 的距离为3cm,，半径A0= 7cm ，求AB 的长度. 四．课后思考： 4.如右图， 某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB 为7.2m ，拱高CD 为2.4m ， 现有一艘长10m 、宽为3m 、船舱顶部为长方形并高出水面2m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过拱桥吗？ B A D 垂径定理 【学习目标】 1．理解圆的轴对称性； 2．探索垂径定理及其逆定理，并能应用它解决有关问题； 3．经历探索圆的对称性，发现定理的过程，培养抽象概括能力；识图、绘图能力；运算以及推理论证能力；发散思维能力； 4．在探索活动中，主动参与小组合作，培养与同学合作交流的意识、思考与表达的条理性。 【学习重点】 理解掌握垂径定理及其逆定理，并能应用解决有关问题。 【学习难点】 理解掌握垂径定理及其逆定理。 【学法指导】 通过探索圆的对称性，发现垂径定理以及逆定理，明确定理的条件和结论，并能准确用三种语言进行描述，在问题解决中逐步掌握定理的应用。 【学习过程】 一、学前准备 1．我们学过哪几种对称性？ 什么是轴对称图形？怎样判断一个图形是轴对称图形？轴对称图形有什么特征？ 2．叙述圆的定义。 3．圆的有关概念。 （1）圆弧： （2）弦： M C O A B 二、活动探究 活动一：探究圆的对称性 1．圆是否轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的？ 2．结论：_______________________，_____________________________。 活动二：探究垂径定理 1．观察右图，并进行描述。 2．研究右图的对称性。并说出在已知条件下， 可以发现哪些等量关系？ 并说明理由。 3．垂径定理：________________________________，________________________________。 用符号语言表述： 4．巩固练习： （1）在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 的半径是___________。 （2）如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆的弦于C ．D 两点，你认为AC 与BD 的大小有何关系？说明理由。 活动三：探究垂径定理的逆定理 垂径定理一知识讲解(提高) 【学习目标】 1. 理解圆的对称性； 2 .掌握垂径定理及其推论； 3 ?学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题. 【要点梳理】知识点一、垂径定理 1. 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧? 2. 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 要点诠释： (1) 垂径定理是由两个条件推岀两个结论，即 直径1 J平分弦 垂直于弦j n j平分弦所对的弧 (2) 这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： (1)平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 (4)圆的两条平行弦所夹的弧相等? 要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论?(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分 的弦不能是直径) 【典型例题】 类型一、应用垂径定理进行计算与证明 的半径是______________________ O=如图，。O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为 E，且AB=CD ,已知CE=1，ED=3 ,则Θ O 【答案】 【解析】 【点评】 举一反三: .5. 作OM 丄AB 于M 、ON 丄CD 于N ,连结 OA , T AB=CD , CE=1 , ED=3, ??? OM=EN=I , AM=2 , ? OA= . 22+12=,5. Y B 对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算 题? （配合勾股定理）问 【变式1】如图所示，Θ O 两弦AB CD 垂直相交于 H AH= 4, BH= 6, 【答案】如图所示，过点 MO=HN O 分别作OML AB 于M ONL CD 于 N,则四边形 1 =CN -CH CD -CH 2 1 1 (CH DH ) -CH (3 8) -3 = 2.5 , 2 2 1 1 1 BM AB (BH AH ) (4 6) =5 , 2 2 2 在 Rt △ BOM 中 OB =? BM 2 OM 2 = 55 . 2 【高清ID 号： 356965 关联的位置名称(播放点名称) 【变式2】如图，AB 为Θ O 的弦，M 是AB 上一点， C :例2-例3】 OM= 10Cm 求Θ O 的半径. 垂径定理及其推论练习题 1．下面四个命题中正确的一个是（） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（）． A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧3、⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长 的取值范围是（）（A）5 OM 3≤ ≤（B）5 OM 4≤ ≤ （C）5 OM 3< <（D）5 OM 4< < 4、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8m，OC=5m， 则DC的长为（）A、3cm B、2.5cm C、2cm D、1cm 5过⊙O内一点P的最长弦为10cm，最短的弦为6cm，则OP的长为 . 6、如图，在⊙O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为__________ . 7、如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，则线段EF的长是_________ cm． 8、如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O 作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为_____________ ． 9、如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为____________． 10、如图所示，若⊙O 的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离5cm，则弦AB的长为______________ ． 11、已知圆的半径为5cm，一弦长为8cm，则弦的中点到弦所对弧的中点的距离为__ _____。 12、在弓形ABC中，弦AB=24，弓形高CD=6，则弓形所在圆的半径等于。 13、在半径为5cm的⊙O中，有一点P满足OP＝3 cm，则过P的整数弦有条。 14、如图，⊙O中弦AB⊥CD于E，AE＝2，EB＝6，ED＝3，则⊙O的半径为。 15．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B的坐标是 16．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm 17．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那? E O D C B A D D B A 27.3 垂径定理（2） [学习目标] 1、掌握垂径定理推论，能初步运用垂径定理及推论解决有关数学问题； 2、在证明垂径定理的推论的活动中，领会分类讨论的数学思想. [学习重难点] 能运用垂径定理及推论解决有关数学问题. 一、课前预习 1、垂径定理： . 2、如图，CD 是O e 的直径，AB 是弦（不是直径），CD 与AB 交于点M ， 且AM=BM ，问CD 垂直于AB 吗？为什么？ 提问：如果AB 是直径结论还成立吗？为什么？ 3、如果把第（2）题中的条件“AM=BM ”改成“??AD BD =”，结论还成立吗？为什么？ 4、我们知道过A 、B 两点的圆的圆心一定在线段AB 的 上， 所以，弦AB 的垂直平分线必经过 . 5、如图，在O e 中，弦CD 与弦AB 交于点M. （1）如果AM =BM ，? ?AD BD =，那么CD 与AB 垂直吗？ （2）如果CD AB ⊥，垂足为点M ，? ?AD BD =，那么AM 与BM 相等吗？ 二、课堂学习 1、由课前预习2可以归纳得到： 如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧. 2、由课前预习3可以归纳得到： 如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦. 3、在圆中，圆心到弦的两个端点的距离都等于圆的半径. 由线段垂直平分线定理的逆定理，可知圆心一定在弦的垂直平分线上. 于是得到： 如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧. 4、由课前预习5可以归纳得到： 如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦. 如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦. 4、总结上面的讨论，可以概括为： 在圆中，对于某一条自线“经过圆心”、“垂直于弦”、 “平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中， 如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立. 5、例题1 如图，已知O e 中，C 是? AB 的中点，OC 交弦AB 于点D ， 120AOB ∠=o ， AD=8，求OA 的长. （提示：已经有OC “经过圆心”、“平分弦所对的弧”， 所以由垂径定理推论可以得到“垂直于弦”、“平分弦”） 6、例题2 已知? AB ，用直尺和圆规平分这条弧. （提示：弦的垂直平分线经过圆心并且平分这条弦所对的弧.） 课堂小结 圆的垂径定理及其推论知识点与练习 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。若直径AB ⊥弦CD 于点E ，则CE=DE ，⌒ AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD （2）推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 若CE=DE ，AB 是直径，则⌒ AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 若AB ⊥CD ，CE=DE ，则CD 是直径，⌒ AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 若⌒ AC =⌒ AD ，AB 是直径，则AB ⊥CD ，CE=DE ，⌒ BC =⌒ BD ④圆的两条平行弦所夹的弧相等。 若CD ∥FG ，CD 、FG 为弦，则⌒ FC =⌒ GD 特别提示：①垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 ②垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧．其中有四个条件：直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧．它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立，那么另外两个也成立”． （3）垂径定理及推论的应用： 它是证明圆内线段相等、角相等、垂直关系及利用勾股定理计算有关线段的长度提供了依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。 ①垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线、线段，其本质是“过圆心”； ②在圆的有关计算中常用圆心到弦垂线段、弦的一半、半径构造出垂径定理的条件和直角三角形，从而应用勾股定理解决问题； 例：如图，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的31， 圆的半径为2cm ，求AB 的长。 解：如图，连接OB ，过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点C ，由 题意得，∵⌒ AB = 3 1×360o=120o ∴∠AOB=120o，∴∠AOC=60o,在Rt △AOC 中，∵∠AOC=60o，OA=2，∴OC = 21OA=1，∴AB=2AC=222OC AO =23 故AB 的长为23 练习 一、选择题 1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是（ ） A 、CM=DM B 、∠ACB=∠ADB C 、AD=2B D D 、∠BCD=∠BDC G A A 25.2圆的对称性 -----垂径定理及其推论 一、教学目标： 知识目标：1．理解圆的轴对称性和垂径定理及其推论； 2．使学生掌握垂径定理，并能应用垂径定理及其推论进行有关计算和证明。 技能目标：通过“垂径定理及其推论”的教学，培养学生的抽象概括能力；识图、绘图能力；运算以及推理论证能力；发散思维 能力。 情感目标：创造生动、愉悦的课堂气氛，勾通师生间情感，渗透特殊与一般的辩证思想，努力培养学生积极参与课堂教学的意识。 二、重难点：重点：“垂径定理”及其推论 难点：垂径定理及其推论的证明。 三、教学过程： （一）、复习与提问： ⒈叙述：前面学习了圆，你会画圆吗？什么叫圆？（请同学从圆的描 述性、集合性定义叙述） ⒉教师问：连结圆上任意两点的线段叫圆的弦，圆上两点间的部分叫 做弧，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，弦和它所对的 弧组成的图形叫做弓形。 3.课本P15页有关“赵州桥”问题。 （二）、动手实践，发现新知 ⒈同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手 试一试，有方法的同学请举手。 ⒉问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠 时，两个半圆 完全重合。 ②刚才的实验说明圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的每一条直线。 （三）、创设情境，探索垂径定理及其推论 ⒈在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系 ⒉若把AB 向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下， 还有与刚才相类似的结论吗？ ⒊要求学生在圆纸片上画出图形，并沿CD 折叠,实验后提出猜想。 ⒋猜想结论是否正确，要加以理论证明引导学生写出已知，求证。 然后让学生阅读课本P87证明，并回答下列问题： ①书中证明利用了圆的什么性质？ ②若只证AE=BE ，还有什么方法？ ⒌垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 符号语言： D E垂径定理及其推论
垂径定理及相关计算
垂径定理自主学习导学案
垂径定理—知识讲解(提高).docx
垂径定理及其推论练习题
沪教版(上海)九年级数学第二学期导学案设计：27.3(2)垂径定理
圆的垂径定理及推论知识点与练习
垂径定理及其推论