小信号分析法重点笔记

开关电源的反馈环路设计是开关电源设计的一个非常重要的部分，它关系到一个电源性能的好坏。要设计一个好的环路，必须要知道主回路的数学模型，然后根据主回路的数学模型，设计反馈补偿环路。开关电源是一个非线性系统，但可以对其静态工作点附近进行局部线性化，这种方法称为小信号分析法。

以一个CCM模式的BOOST电路为例

其增益为：

其增益曲线为：

其中M和D之间的关系是非线性的。但在其静态工作点M附近很小的一个

区域范围内，占空比的很小的扰动和增益变化量之间的关系是线性的。因此在这个很小的区域范围内，我们可以用线性分析的方法来对系统进行分析。这就是小信号分析的基本思路。

因此要对一个电源进行小信号建模，其步骤也很简单，第一步就是求出其静态工作点，第二步就是叠加扰动，第三步就是分离扰动，进行线性化，第四步就是拉氏变换，得到其频域特性方程，也就是我们说的传递函数。

要对一个变换器进行小信号建模，必须满足三个条件,首先要保证得到的工作点是“静”态的。因此有两个假设条件：

1，一个开关周期内，不含有低频扰动。因此叠加的交流扰动小信号的频率应该

远远小于开关频率。这个假设称为低频假设

2，电路中的状态变量不含有高频开关纹波分量。也就是系统的转折频率要远远小于开关频率。这个假设称为小纹波假设。

其次为了保证这个扰动是在静态工作点附近，因此有第三个假设条件：3，交流小信号的幅值必须远远小于直流分量的幅值。这个称为小信号假设。

对于PWM模式下的开关电源，通常都能满足以上三个假设条件，因此可以使用小信号分析法进行建模。

对于谐振变换器来说，由于谐振变换器含有一个谐振槽路。在一个开关时区或多个开关时区内，谐振槽路中各电量为正弦量，或者其有效成分是正弦量。正弦量的幅值是在大范围变化的，因此在研究PWM型变换器所使用的“小纹波假设”在谐振槽路的小信号建模中不再适用。

对于谐振变换器，通常采用数据采样法或者扩展描述函数法进行建模。

以一个CCM模式下的BUCK电路为例，应用上面的四个步骤，来建立一个小信号模型。对于一个BUCK电路

当开关管开通时，也就是在(0-DTs)区间。其状态方程为

当开关管S断开时，二极管D导通，忽略二极管D的压降，可得到等效电路

其状态方程为：

将状态变量在一个开关周期内求平均，

简化后得到：

这便是一个开关周期内的状态方程，基于上面的低频和小纹波假设，变换器在一个开关周期内是稳定的，因此这也是其静态工作点的方程。

对上面的稳态方程叠加扰动，可以得到以下方程：

进行分解后为：

将稳态方程代入分解后的扰动方程，便可将扰动方程进行分离：

基于上面的第三个假设，即小信号假设，因此可以忽略掉 ,因此可以得到CCM模式下BUCK的小信号方程：

对于一个开关电源，我们的控制目标是输出电压，控制变量是占空比D。因此，我们可以忽略掉输入电压扰动，得到占空比扰动所对应的输出电压的扰动方程。

对上面的方程进行拉氏变换，得到其频域方程：

将两个方程进行整合，可以得到占空比的扰动与输出电压扰动之间的关系：

化简后就可以得到：

从上面的方程已经很清晰的看到输出电压扰动与占空比扰动之间的关系，将其移项便可以得到CCM BUCK的传递函数：

小信号分析法

主要是状态空间平均法，由美国加里福尼亚理工学院的R.D.Middlebrook于1976年提出，可以说这是电力电子学领域建模分析的第一个真正意义的重大突破。后来出现的如电流注入等效电路法、等效受控源法（该法由我国学者张兴柱于1986年提出）、三端开关器件法等，这些均属于电路平均法的范畴。平均法的缺点是明显的，对信号进行了平均处理而不能有效地进行纹波分析；不能准确地进行稳定性分析；对谐振类变换器可能不大适合；关键的一点是，平均法所得出的模型与开关频率无关，且适用开关电源条件是电路中的电感电容等产生的自然

频率必须要远低于开关频率，准确性才会较高。

大信号分析法

有解析法、相平面法、大信号等效电路模型法、开关信号流法、n次谐波三端口模型法、KBM法及通用平均法。还有一个是我国华南理工大学教授丘水生先生于1994年提出的等效小参量信号分析法，不仅适用于PWM变换器也适用于谐振类变换器，并且能够进行输出的纹波分析。

建模的目的是为了仿真，继而进行稳定性分析。1978年，R.Keller首次运用R.D.Middlebrook的状态空间平均理论进行开关电源的SPICE仿真。近30年来，在开关电源的平均SPICE模型的建模方面，许多学者都建立了开关电源各种各样的模型理论，从而形成了各种SPICE模型。这些模型各有所长，比较有代表性的有：Dr.SamBenYaakov的开关电感模型；Dr.RayRidley的模型；基于Dr.VatcheV orperian的Orcad9.1的开关电源平均Pspice模型；基于Steven Sandler 的ICAP4的开关电源平均Isspice模型；基于Dr. VincentG.Bello的Cadence的开关电源平均模型等等。在使用这些模型的基础上，结合变换器的主要参数进行宏模型的构建，并利用所建模型构成的DC-DC变换器在专业的开关电源仿真软件（如Matlab、Pspice等）平台上进行直流分析、小信号分析以及闭环大信号瞬态分析。

设计一个具有良好动态和静态性能的开关电源时，控制环路的设计是很重要的一个部分。而环路的设计与主电路的拓扑和参数有极大关系。为了进行稳定性分析，有必要建立开关电源完整的小信号数学模型。在频域模型下，波特图提供了一种简单方便的工程分析方法，可用来进行环路增益的计算和稳定性分析。由于开关电源本质上是一个非线性的控制对象，因此，用解析的办法建模只能近似建立其在稳态时的小信号扰动模型，而用该模型来解释大范围的扰动（例如启动过程和负载剧烈变化过程）并不完全准确。好在开关电源一般工作在稳态，实践表明，依据小信号扰动模型设计出的控制电路，配合软启动电路、限流电路、钳位电路和其他辅助部分后，完全能使开关电源的性能满足要求。开关电源一般采用Buck电路，工作在定频PWM控制方式。

Buck电路电感电流连续时的小信号模型

图1为典型的Buck电路，为了简化分析，假定功率开关管S和D1为理想开关，滤波电感L为理想电感（电阻为0），电路工作在连续电流模式（CCM）下。Re为滤波电容C的等效串联电阻，Ro为负载电阻。各状态变量的正方向定义如图1中所示。S导通时，对电感列状态方程有L(dil/dt)=Uin－Uo （1）S断开，D1续流导通时，状态方程变为L(dil/dt)=－Uo （2）

占空比为D时，一个开关周期过程中，式（1）及式（2）分别持续了DTs和（1－D）Ts的时间（Ts为开关周期），因此，一个周期内电感的平均状态方程为L(dil/dt)=D(Uin－Uo)＋(1－D)(－Uo)=DUin－Uo （3）稳态时DUin=0，则DUin=Uo。这说明稳态时输出电压是一个常数，其大小与占空比D和输入电压Uin成正比。由于电路各状态变量总是围绕稳态值波动，因此，由式（3）得L[d(il+il')/dt]=(D＋d)(Uin＋Uin')－(Uo＋Uo') （4）

式（4）由式（3）的稳态值加小信号波动值形成。上标为波浪符的量为波动量，d为D的波动量。式（4）减式（3）并略去了两个波动量的乘积项得L(dil'/dt)=DUin'＋dUin－Uo' （5）由图1，又有iL=C(duc/dt)＋Uo/R0 （6）Uo=Uc＋ReC(duc/dt) （7）式（6）及式（7）不论电路工作在哪种状态均成立。由式（6）及式（7）可得iL＋ReC(dil/dt)=1/Ro(Uo＋CRo(duo/dt)) （8）式（8）的推导中假设Re<

式（9）减式（8）得iL+ReC(dil/dt)=1/Ro(Uo＋CRo(dUo/dt)) （10）

将式（10）进行拉氏变换得iL(s)=(Uo(s)/Ro)·[(1+sCRo)/(1+sCRe)] (11)

一般认为在开关频率的频带范围内输入电压是恒定的，即可假设=0并将其代入式（5），将式（5）进行拉氏变换得sLiL'(s)=d(s)Uin－Uo'(s) （12）由式（11），式（12）得Uo'(s)/d(s)=Uin[(1+sCRe)/(s2LC+s(ReC+L/Ro)+1] （13）iL'(s)/d(s)=[(1+sCRo)/s2LC+s(ReC+L/Ro)+1]·Uin/Ro （14）式(13)，式(14)便Buck电路在电感电流连续时的控制－输出小信号传递函数。

2 电压模式控制（VMC）

电压模式控制方法仅采用单电压环进行校正，比较简单，容易实现，可以满足大多数情况下的性能要求，如图2所示。图2中，当电压误差放大器（E/A）增益较低、带宽很窄时，Vc波形近似直流电平，并有

D=Vc/Vs （15）d=Vc'/Vs （16）

式（16）为式（15）的小信号波动方程。整个电路的环路结构如图3所示。图3没有考虑输入电压的变化，即假设Uin=0。图3中，（一般为0）及分别为电压给定与电压输出的小信号波动；KFB=UREF/Uo，为反馈系数；误差e为输出采样值偏离稳态点的波动值，经电压误差放大器KEA放大后，得；KMOD为脉冲宽度调制器增益，KMOD=d/=1/Vs；KPWR为主电路增益，KPWR=/d=Uin；KLC为输出滤波器传递函数，KLC=(1+sCRe)/[S2LC+s(ReC+L/Ro)+1]。

在已知环路其他部分的传递函数表达式后，即可设计电压误差放大器了。由于KLC提供了一个零点和两个谐振极点，因此，一般将E/A设计成PI调节器即可，KEA=KP(1＋ωz/s)。其中ωz用于消除稳态误差，一般取为KLC零极点的

1/10以下；KP用于使剪切频率处的开环增益以－20dB/十倍频穿越0dB线，相角裕量略小于90°。

VMC方法有以下缺点：

1）没有可预测输入电压影响的电压前馈机制，对瞬变的输入电压响应较慢，需要很高的环路增益；

2）对由L和C产生的二阶极点（产生180°的相移）没有构成补偿，动态响应较慢。

平均电流模式控制含有电压外环和电流内环两个环路，如图4所示。电压环提供电感电流的给定，电流环采用误差放大器对送入的电感电流给定（Vcv）和反馈信号（iLRs）之差进行比较、放大，得到的误差放大器输出Vc再和三角波Vs进行比较，最后即得控制占空比的开关信号。图4中Rs为采样电阻。对于一个设计良好的电流误差放大器，Vc不会是一个直流量，当开关导通时，电感电流上升，会导致Vc下降；开关关断，电感电流下降时，会导致Vc上升。电流环的设计原则是，不能使Vc上升斜率超过三角波的上升斜率，两者斜率相等时就是最优。原因是：如果Vc上升斜率超过三角波的上升斜率，会导致Vc峰值超过Vs的峰值，在下个周波时Vc和Vs就可能不会相交，造成次谐波振荡。

采用斜坡匹配的方法进行最优设计后，PWM控制器的增益会随占空比D的变化而变，如图5所示。当D很大时，较小的Vc会引起D较大的改变，而D 较小时，即使Vc变化很大，D的改变也不大，即增益下降。所以d=DV'/Vs （17）不妨设电压环带宽远低于电流环，则在分析电流环时Vcv为常数。当Vc的上升斜率等于三角波斜率时，在开关频率fs处,电流误差放大器的增益GCA为GCA[d(iLRs)/dt]=GCA(Vo/L)Rs=Vsfs （18）

GCA=Vc'/(iL'Rs)=VsfsL/(UoRs) （19）

高频下，将式（14）分子中的“1”和分母中的低阶项忽略，并化简，得

iL'(s)=[d(s)Uin]/sL （20）由式（17）及式（20）有

(iL'Rs)/Vc'=[Rsd(s)Uin/(sL)]/[d(s)Vs/D]=(RsUinD)/(sLVs) （21）

将式（19）与式（21）相乘，得整个电流环的开环传递函数为

(RsUinD/sLVs)·(VsfsL)/(UoRs)=fs/s （22）

将s=2πfc代入上式，并令上式等于1时，可得环路的剪切频率fc=fs/(2π)。因此，可将电流环等效为延时时间常数为一个开关周期的纯惯性环节，如图6

所示。显然，当电流误差放大器的增益GCA小于最优值时，电流响应的延时将会更长。

GCA中一般要在fs处或更高频处形成一个高频极点，以使fs以后的电流环开环增益以－40dB/dec的斜率下降，这样虽然使相角裕量稍变小，但可以消除电流反馈波形上的高频毛刺的影响，提高电流环的抗干扰能力。低频下一般要加一个零点，使电流环开环增益变大，减小稳态误差。

整个环路的结构如图7所示。其中KEA，KFB定义如前。可见相对VMC

而言（参见图3），平均CMC消除了原来由滤波电感引起的极点（新增极点fs 很大，对电压环影响很小），将环路校正成了一阶系统,电压环增益可以保持恒定，不随输入电压Vin而变，外环设计变得更加容易。

平均CMC由于要采样滤波电感的电流，有时显得不太方便，因此，实践中经常采用一种变通的电流模式控制方法，即峰值CMC，如图8所示。电压外环输出控制量（Vc）和由电感电流上升沿形成的斜坡波形(Vs)通过电压比较器进行比较后，直接得到开关管的关断信号（开通信号由时钟自动给出），因此，电压环的输出控制量是电感电流的峰值给定量，由电感电流峰值控制占空比。

峰值CMC控制的是电感电流的峰值，而不是电感电流（经滤波后即负载电流），而峰值电流和平均电流之间存在误差，因此，峰值CMC性能不如平均CMC。一般满载时电感电流在导通期间的电流增量设计为额定电流的10％左右，因此，最好情况下峰值电感电流和平均值之间的误差也有5％，负载越轻误差越大，特别是进入不连续电流（DCM）工作区后误差将超过100％，系统有时可能会出现振荡现象。在剪切频率fc以下，由图6可知平均CMC的电流环开环增益可升到很高（可以>1000），电流可完全得到控制，但峰值CMC的电流环开环增益只能保持在10以内不变（峰值电流和平均值之间的误差引起），因此，峰值CMC更适用于满载场合。

峰值CMC的缺点还包括对噪音敏感，需要进行斜坡补偿解决次谐波振荡等问题。但由于峰值CMC存在逐周波限流等特有的优点，且容易通过脉冲电流互感器等简单办法复现电感电流峰值，因此，它在Buck电路中仍然得到了广泛应用。

转折频率是零点或者极点，有许多个的。系统总增益=LC滤波增益+补偿器增益+采样电路增益。穿越频率是系统总增益=0dB时的频率，是唯一的，一般是开关频率的1/4-1/5.

计算机辅助设计技术的迅速发展和高性能计算机的普及使得开关电源的直接数字仿真

方法得到长足的进步，从采用改进的节点分析法的时域电路仿真发展到采用状态变量方法的分段线性仿真，为了加快模拟速度和提高系统精确性，又出现了分级仿真方法。

数字仿真法是指采用各种各样的算法对开关变换器进行数值计算，从而得到其某些特性数值解的方法。数字仿真法可以对电路进行全面分析，在分析设计和调试中起着重要的作用，但所得结果的物理概念不明确。

数字仿真法又可分为直接数字仿真法和间接数字仿真法，直接数字仿真法是指直接利用现有的通用电路分析软件(如PSPICE等)对开关变换器进行数值计算而得到其解的方法，采用这种方法不必重新建立电路模型，只需对局部电路建立仿真模型或等效子电路即可，其不足之处在于计算速度较慢。直接数字仿真法根据所采用的电路分析软件又可以分为时域电路仿真、分段线性仿真以及分级仿真方法，时域电路仿真主要建立大信号功率半导体的精确模型，分段线性仿真则与之相反，主要用理想开关和线性算法来加速仿真速度，分级仿真方法结合不同工具(如PSPICE和SIMPLIS)及不同技术(如大信号模型和平均模型)来分析不同级的电路。间接数字仿真法是指在数值计算前，需要对开关变换器建立一个专用的适用于数值解的仿真模型如离散模型等，然后采用适当的数值算法求解，其优点是计算速度较快。

解析建模法是指用解析表达式来描述开关变换器特性的建模方法。用解析建模法所得结果的优点是直观明了，物理概念清楚，可以利用线性电路和古典控制理论对开关变换器进行稳态和小信号分析，对设计有一定的指导意义，但其精度较差。解析建模法的主要成果有小信号分析法(代表是状态空间平均法)、Laplace变换法等。

小信号分析主要以状态空间平均法来建立变换器的某一个工作点附近的近似小信号线性模型,该工作点由变换器参数、输入电压和负载决定。

Laplace变换法首先写出网络的频域方程式,得出所求电压或电流的频域表达

式，再将其进行Laplace反变换，从而得出网络解的时域表达式。

直接数字仿真法是指直接利用现有的通用电路分析软件(如PSPICE等)对开关变换器进行数值计算而得到其解的方法，采用这种方法不必重新建立电路模型，只需对局部电路建立仿真模型或等效子电路即可，其不足之处在于计算速度较慢。直接数字仿真法根据所采用的电路分析软件又可以分为时域电路仿真、分段线性仿真以及分级仿真方法，时域电路仿真主要建立大信号功率半导体的精确模型，分段线性仿真则与之相反，主要用理想开关和线性算法来加速仿真速度，分级仿真方法结合不同工具(如PSPICE和SIMPLIS)及不同技术(如大信号模型和平均模型)来分析不同级的电路。间烤数字仿真法是指在数值计算前,需要对开关变换器建立一个专用的适用于数值解的仿真模型如离散模型等，然后采用适当的数值算法求解，其优点是计算速度较快。

小信号分析

为了把握开关变换器的可靠性、稳定性及其动态性能，开关变换器的动态分析是十分重要的。早在20世纪70年代，人们就开始了开关变换器小信号频域模型的研究。小信号分析是要建立某一个工作点附近的近似小信号线性模型，该工作点由变换器参数、输入电压和负载决定。这样，就可以采用线性系统分析方法对开关变换器的调节控制回路进行设计。但是当输入电压或者负载发生变化时，由于工作点将发生变化，这时候分析方法将受到限制。当变换器的自然频率远小于开关频率的一半时，该方法带来的误差是可以接受的。

开关电源的小信号分析是分析电源变换器动态性能的有力工具，也是系统动态设计的依据。其显著优点在于物理概念清楚，可用伯德(Bode)图设计校正环节，因此该方法在电源的分析、仿真与设计中得到普遍重视。

小信号分析主要以状态空间平均法来建立变换器小信号线性模型。状态空间平均法(State-Space Averaging Method)是一种解析分析方法，它是1976年由R.D.Middiebrook提出的一种基于状态平均概念的分析方法，后又经过许多研究者的完善和发展有了不同的形式，它对变换器的分析和设计有很大影响。状态空间平均法是以某种意义的一周期平均值为求解量的连续的状态方程近似代替在一周期中不同时间段成立的分段状态方程"该方法的本质是时间平均。