向量法证平行与垂直

n a

L n

2015第三章空间向量平行与垂直预学案

学习目标

1.明确直线的方向向量的定义，能够利用空间直线的向量参数方程确定点在直线上的位置。

2.明确向量法证明空间平行、垂直关系的依据，并能够应用向量法证明这些关系。

学习过程

知识点的明确和理解

直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且L不在α.内

①若a∥n,即a=λn, 则L⊥α②若a⊥n ,即a·n = 0,则a ∥α.

线面平行：//

a a n

α?⊥或//

a b，bα

?或(

a x

b y

c b c

=+，是α内不共线向量）线面垂直：//

a a n

⊥?或,(

a b a c b c

⊥⊥，是α内不共线向量）

面面平行：

////

n n

αβ?

面面垂直：

n n

αβ

⊥?⊥

(3)平面与平面的位置关系

平面α的法向量为n1 ,平面β的法向量为n2

①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β

②若n1⊥n2,即n1 ·n2= 0,则α⊥β

1．l、m是两条直线，方向向量分别为a＝(x1，y1，z1)、b＝(x2，y2，z2)，若l∥m，则() A．x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2B．x1＝kx2，y1＝py2，z＝qz2

C．x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 D．x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2

2．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，

2，2)，则m为() A．－4 B．－6C．－8 D．8

3．已知A、B、C三点的坐标分别为A(1,2,3)、B(2，－1,1)、C(3，λ，λ)，若AB

→

⊥AC

→

，则λ等于__________________．

4．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则() A．l∥αB．l⊥αC．l?αD．l与α斜交

5．若平面α、β的法向量分别为a＝????

2，－1，3、b＝(－1，2，－6)，则() A．α∥βB．α与β相交但不垂直

C ．α⊥β

D ．α∥β或α与β重合

例1．如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1.

(1)求证：BC 1⊥AB 1； (2)求证：BC 1∥平面CA 1D

例1 [证明] 如图，以C 1点为原点，C 1A 1、C 1B 1、C 1C 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．

设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D (1,1,2)．

(1)∵BC 1→＝(0，－2，－2)，AB 1→

＝(－2,2，－2)， ∴BC 1→·AB 1→＝0－4＋4＝0， ∴BC 1→⊥AB 1→

，∴BC 1⊥AB 1.

(2)取A 1C 的中点E ，∵E (1,0,1)，∴ED →＝(0,1,1)，又BC 1→

＝(0，－2，

－2)，∴ED →＝－12BC 1→

，且ED 和BC 1不共线，则ED ∥BC 1.又ED ?平面CA 1D ，BC 1?平面CA 1D ，故BC 1∥平面CA 1D .

还可以先求出平面CA 1D 的法向量n ，证明BC 1→

·n ＝0.

1[答案] D 2[答案] C

[解析] ∵l ∥α，∴l 与平面α的法向量垂直．故2×1＋1

2×m ＋1×2＝0，解得m ＝－8，故选C.

3[答案]

145

[解析] AB →＝(1，－3，－2)、AC →

＝(2，λ－2，λ－3)， ∵AB →⊥AC →， ∴AB →·AC →＝0， ∴2－3(λ－2)－2(λ－3)＝0，解得λ＝145.

4[答案] B

[解析] ∵u ＝－2a ，∴u ∥a ，∴l ⊥α. 5[答案] D

[解析] ∵b ＝－2a ，∴b ∥a ，∴α∥β或α与β重合．

2015第三章空间向量平行与垂直导学案

1．如图4,已知四棱锥P ABCD -,底面ABCD 是正方形,PA ^面ABCD ,点M 是CD 的

中点,点N 是PB 的中点,连接AM ,AN MN ,.

(1) 求证:MN //面PAD 图4

M N

A P

2、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点，求证：（1）D 1O//平面A 1BC 1; （2）D 1O ⊥平面MAC.

3如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为直角梯形

//AD BC ,90BAD ∠=?,PA ⊥底面ABCD ,且

2PA AD ==,1AB BC ==,M 为PD 的中点.

(Ⅰ) 求证://CM 平面PAB ；（Ⅱ）求证:CD ⊥平面PAC .

4如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点，求证： (1) PC ⊥平面BEF . (2)平面PCD ⊥平面BEF

第16题图

A M