大学物理(下)期末复习讲解

选择题

[B]下列说法正确的是：

（A ）闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内一定没有电荷；

（B ）闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和一定为零； （C ）闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必为零；

（D ）闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的电场强度都不可能为零.

[B]在场强i x E

=的电场中，沿x 轴放置放置一底面积为S 长为a 的圆柱面，其左底面距离

原点也为a ，如图所示，则通过该圆柱面E

的通量为：

（A ）0； （B ）aS ； （C ）3aS ； （D ）aS i

.

[D]如图所示，闭合曲面S 内有一点电荷q ，P 为S 面上任意一点，S 面外有另一点电荷Q ，

设通过S 面的电通量为e Φ，P 点的场强为P E

，则当Q 从A 点移到B 点时：

（A ）e Φ改变，P E 不变；（B ）e Φ不变，P E

不变；

（C ）e Φ改变，P E 改变；（D ）e Φ不变，P E 改变；

[C]一孤立导体球壳带有正电荷，若将远处一带电体移至导体球壳外附近，则静电平衡后， （A ）导体球壳的电势仍保持不变；

（B ）导体球壳面上的电荷仍均匀分布；

（C ）导体球壳外附近的场强仍与其表面垂直；

（D ）球壳外的带电体在球壳内产生的场强处处为零.

[D]下列说法正确的是：

（A ）电场强度为零的点，电势也一定为零； （B ）电场强度不为零的点，电势也一定不为零； （C ）电势为零的点，电场强度也一定为零；

（D ）电势在某一区域内为常量，则电场强度在该区域内必定为零.

[D]如图所示，在无限长载流导体附近作一球形曲面S ，当面S 向长直导线靠近的过程中，穿过面S 的磁通量m Φ以及曲面上任一点P 的磁感应强度大小B 的变化为： （A ）m Φ增大，B 增大；（B ）m Φ不变，B 不变； （C ）m Φ增大，B 不变；（D ）m Φ不变，B 增大.

[C]如图所示，a 、c 处分别放置无限长载流导线，P 为环路L 上任一点，若把a 处的载流导线移至b 处，则：

（A ）??L

l d B

改变，P B 改变；

（B ）?

?L l d B 改变，P B

不变；

（C ）??L

l d B

不变，P B 改变；

（D ）??L

l d B

不变，P B 不变.

[B]如图所示，I 是稳定的直线电流，在它下方有一电子射线管，欲使图中阴极所发射的电子束不偏转，可加一电场，该电场方向应是： （A ）竖直向上； （B ）竖直向下； （C ）垂直纸面向里； （D ）垂直纸面向外.

[D]铜圆盘水平放置在均匀磁场中，B 的方向垂直向上。当铜盘绕通过中心垂直于盘面的轴沿图示方向转动时，则：

（A ）铜盘上有感应电流，沿着铜盘转动的相反方向流动； （B ）铜盘上有感应电流，沿着铜盘转动的方向流动； （C ）铜盘上有感应电动势，铜盘中心处电势高； （D ）铜盘上有感应电动势，铜盘边缘处电势高.

[D]在一自感线圈中通过的电流I 随时间变化规律如图所示，若以I 的正流向作为?的正方向，则线圈中的自感电动势?随时间t 的变化规律曲线应选择：

（A ） （B ）

（C ） （D ）

[A]对位移电流，下列说法正确的是： （A ）位移电流的实质是变化的电场；

（B ）位移电流和传导电流一样是定向运动的电荷； （C ）位移电流服从传导电流遵循的所有定律； （D ）位移电流的磁效应不服从安培环路定理.

[B]已知真空中传播的平面电磁波的电场强度振幅为0E ，则该电磁波的平均能流密度为（c 为真空中光速）： （A ）20021E ε （B ）c E 20021ε （C ）2002

1E μ （D ）c E 2

00ε

[B]杨氏双缝试验中，欲使干涉条纹间距变宽，需怎样调整： （A ）增加双缝的间距；

（B ）增大入射光的波长；

（C ）减小双缝与光屏之间的距离； （D ）减小入射光的波长.

[A]在杨氏双缝干涉实验中，如图所示，原来缝S 到达两缝S 1和S 2的距离是相等的。现在将S 向下移动一微小距离，则屏幕上干涉条纹讲如何变化： （A ）干涉条纹向上平移； （B ）干涉条纹向下平移； （C ）干涉条纹不会平移； （D ）干涉条纹无法确定.

[A]迈克尔逊干涉仪可用来测单色光的波长，当干涉仪的动镜M 2移动到d ?距离时，测得某单色光的干涉条纹移过N ?条，则该单色光的波长为： （A ）N d ??2（B ）N d ??（C ）N d ??4（D ）N

d

??2

填空题

如图所示，两个电量都是+q 的点电荷，相距2a ，其中垂线上距O 为r 处的P 点的场强

P E

= 。 ()

j a

r

r

q E P 2

322

2+=

πε

21E E E P

+=，()

2

20214a r q

E E +=

=πε ，()

2

3

22

01

2cos 2a

r

r

q E E P +==πεα

如图所示，沿x 轴放置的无限长分段均匀带电直线，电荷线密度分别为+λ(x<0)和-λ(x>0)，

则oxy 面上点（0,a ）处的电场强度E = 。

i a

02πελ 在O 点两侧对称位置取电荷元dx dq λ=，由对称性可知，（0，a ）点的总场强方向向右

()

?

∞

+=0

2

20cos 42απελa x dx

E ()

?∞

+=

2

32

2

2a x

xdx

πελ

()∞

+-=

2

122024a x πελa

02

πελ

=

若匀强电场强度的场强为 E

，其方向平行于半径为R 的半球面的轴，如图所示，则通过此半球面的E 通量 e Φ = .

E R 2π

E R S E e 2π=?=Φ

如图所示，a 点有点电荷1q ，b 点有点电荷2q -，a 、b 距离为R,若选∞远处为电势能、电势参考零点，则a 、b 连线中点的电势V = ，此系统的电势能P E = 。

R q q V 0212πε-=

，R q q E P 0214πε-= 提示（点电荷电势r

q

V 04πε=，电势能qV E P =）

一个中性金属球壳的内外半径分别是R 1和R 2，其中心放一点电荷q ，则金属球壳的电势V = 。

2

04R q V πε=

，金属球壳为一等势体，2

02

0442

2

R q dr r

q l d E V R R πεπε=

=?=

?

?

∞∞

求图（a ）、（b ）、（c ）、（d ）中，圆弧中心O 处的磁感应强度B.（图中虚线表示通向无穷远处的直导线）

（a ）（b ）

（c ）（d ）

一条长为0.5m 的直导线沿y 方向放置，通过沿y 正向的电流I=10A ，导线所在处的磁感应

强度k j i B

5.02.13.0+-=（T ），则该导线所受磁力F = 。

k i F

5.15.2-=（N ）；解：B l Id F d ?=

??=l

B l Id F ??=5

.00

10B j dl k i 5.15.2-=

如图所示，真空中稳恒电流I 1、I 2、I 3、I 4、I 5，则??L

l d B

= 。

()4320I I I -+μ

已知某静电场的电势函数2

2766y

y x x U --=(SI).由场强与电势梯度的关系式可得点（2，3，0）处的电场强度E = i + j + k (SI).

由k z U j y U i x U E ???

???

?-+???? ????-+??? ????-=，66；66；0.

如图，长为L 的导体棒ab 在均匀磁场B

中，绕通过C 点的轴匀角速度转动，角速度为ω，ac 长为L/3，则c a V V -= ；c b V V -= ；

a b V V -= 。

c a ca V V -=ε()???=ca l

d B v

?=ca o dl

vB 0cos 2

sin π230

30

18

1

BL lBdl vBdl L L ωω=

=??

同理：c b cb V V -=ε292BL ω=

，()c a c b a b ab V V V V V V ---=-=ε26

1

BL ω=

如图所示，长为2a 的细铜杆MN 与通有恒定电流I 的长直导线垂直且共面。N 端距长直导

线为a ，当铜杆以匀速v

平行长直导线移动时，则杆内出现的动生电动势大小为=ε ， 端电势较高。

3ln 20π

μIv

，N N M NM

V V -=ε()???=NM x d B v

3ln 22030π

μπμIv dx x I v a a -=-=?<0

如图所示，在杨氏双缝试验中，入射光波长为6000?（1 ?=10-10

m ），屏幕上的P 点为第4级明条纹位置。则双缝S1和S2到达P 点的光程差 ；在P 点，叠加的两光振动的相位差 。 24000?；8π.

空气中有一透明薄膜，其折射率为n ，用波长为λ的平行单色光垂直照射该薄膜，欲使反射

光得到加强，薄膜的最小厚度为 ；为使透射光得到加强，薄膜的最小厚度为 。

n 4λ；n

2λ。 反射光干涉加强：λλ

k nd =+

2

2；取1=k 得：n

d 4λ=

透射光干涉加强：λk nd =2；取1=k 得：n

d 2λ=

用波长为λ的单色光做牛顿环实验，测得第k 个暗环的半径为k r ，第k+p 个暗环的半径为

p k r +，则牛顿环平凸透镜的曲率半径R= 。

λ

p r r R k p k 2

2-=

+，牛顿环暗环公式λkR r k =，()λR p k r p k +=

+，平方相减，

λpR r r

k

p

k =-+22，可得λ

p r r R k p k 2

2-=

+。

简答题

静电平衡时导体的基本性质：

（1）电场强度 导体内部：0=E ；导体表面附近：n E 0

εσ=

，n

为导体表面法向方向； （2）电势 导体是个等势体，表面是等势面；

（3）电荷 导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体外表面上。孤立导体表面电荷密度与表面曲率有关，曲率越大，电荷面密度越大，曲率越小，电荷面密度越小。

电势能和电场能两者有什么区别和联系？

电势能是带电体处于电场中某一位置时所具有的势能，是带电体与电场之间的相互能。而电场能是电场本身所具有的能量。对于电荷系形成的电场而言，当其中的某一点电荷在此电场中移动时，随各个带电体相互之间位置变化的那一部分电场能成为电势能。

从电磁场的基本性质来看，静电场是有源场，而稳恒磁场是无源场，请写出：

静电场的高斯定理：0

ε∑?=?ins

S

q S E

稳恒磁场的高斯定理：0=??S

S B

静电场的环路定理：0=??

L l d E

稳恒磁场的环路定理：∑?=?ins L

I l d B 0μ

比奥-萨伐尔定律

2

04r r l Id B d ?=πμ；???==20

04r r l Id B d B π

μ

顺磁质、抗磁质及铁磁质三者的相对磁导率r μ有什么区别？

磁介质中任一点的磁感应强度B B B '+

= 0，式中0B 为外磁场的磁感应强度，B '

为磁介质磁化后产生的附加磁感应强度。

对顺磁质，B 稍大于0B ，而00B B r μμ=，可知r μ稍大于1；

对抗磁质，B 稍小于0B ，而00B B r μμ=，可知r μ稍小于1； 对铁磁质，B ?0B ，故r μ?1，且不是恒量，它与磁场强度有关。

说明下列各式的物理意义：

（1）l d E

?表示电场力对单位正电荷所做的元功； （2）l d E b

a

?

?表示静电场中，单位正电荷从a 点移动到b 点时，电场力所做的功；

（3）

0=??L

l d

E

表示静电场中，单位正电荷沿任意闭合回路一周，电场力所做的功为零； （4）S d E

?表示通过面积元的电场强度通量.

光的相干条件：

两列光波同频率、同振动方向以及在相遇点上相位差保持恒定。

为了实现相干光的干涉，还应注意：两相干光至相遇点的光程差不能超过波列长度（即相干长度），以保持两相干光在考察点相遇；两相干光的振幅不能相差太大，以保证干涉条纹清晰可辨。

惠更斯-菲涅尔原理：

同一波阵面上各点都可以认为是产生新子波的相干光源；它们发出的子波在空间各点相遇时，各子波之间也可以相互叠加而产生干涉现象。

光的衍射是同一光束中无数个子波在障碍物后叠加相干的结果，衍射现象中出现的明暗相间条纹，正是从同一波阵面上发出的各子波互相干涉的结果。

瑞利判据

计算题

均匀带电球体的电场强度分布。已知带电球体半径为R ，电荷体密度为ρ。

02

30020341r r

R r r q E ερπε==（R r ≥） 24r E dS E S d E S

S

e π?=?=?=Φ??

ρπ33

4

r q

ins

i

=∑ ρπεπ3023

414r r E =

?，r E 03ερ

=

r E

3ερ=

R

半径为b 的细圆环，圆心在Oxy 坐标系的原点上，圆环所带电荷的线密度λ=Acosθ，其中A 为常量，如图所示，求圆心处电场强度的x 、y 分量

解：取电荷元θθbd A dq ?=cos ，它在坐标原点O 产生的电场强度沿坐标轴的分量为

θθ

θπεcos cos 420b bd A dE x ?-=

θθ

θπεsin cos 42

0b

bd A dE y ?-=

整个细圆环产生的电场强度分量为

?=x x dE E b

A d b A

020

204cos 4εθθπεπ

-

=-=?

?=y y dE E 0cos sin 4200=-=

?π

θθθπεd b

A λ

b

x

y

P53 11.2 如图所示，在长为L 的一段载流直导线中，通有电流I ，求 (1)距离导线为a 处一点P 的磁感应强度。 (2)若导线线为无线长时，P 点的磁感应强度。

在载流直导线上任取一电流元l Id

，它在P 点处产生的磁感应强度大小为

2

0sin 4r Idl dB θ

πμ=

B d 的方向垂直纸面指向纸内，用符号“?”表示。显然导线上各电流元在P 点产生的B d 的

方向均相同，故有

?=L dB B ?=

20sin 4r

Idl θ

πμ 式中l 、r 、θ三个变量要化为同一个变量才能积分，之间的关系为

θcos a r =；()θθπcot cot a a l -=-=；θθd a dl 2csc =

带入上式可得

()2100cos cos 4sin 421

θθπμθθπμθθ-==

?a

I

d a I B 积分限1θ、2θ分别为P 点相对载流直导线两端的电流元的位矢r

与电流元所成的夹角，若导线可视为无限长，则01≈θ，πθ≈2。这时可得：

a

I

B πμ20=

L

P

半径为R 的无限长半圆柱金属薄片中，自下而上地有电流I 通过，如图所示。试求圆柱体轴线上任一点P 处的磁感应强度

因为金属片无限长，所以圆柱轴线上任一点P 的磁感应强度都在圆柱截面上，取宽度为dl 的一无限长直流dl R I

dI π=

，在轴上P 点产生的磁感应强度与R 垂直，大小为 R

Id R Rd R I R dl R I R dI dB 200002222πθμπθπμππμπμ====，

θπθ

μθcos 2cos 20R Id dB dB x ==

θπθ

μθsin 2sin 20R

Id dB dB y ==

R I

R I R d I B x 202022

202sin 2sin 22cos πμπππμπθθμπ

π

=????????? ??--==?- 02sin 22

20==?-π

π

πθθμR d I B y P I

如图所示，一个半径为r 1的小线圈，起初和一个半径为r 2(r 1远小于r 2)的大线圈共面并同心，大线圈通入一恒定电流I 2，并保持不动，而小线圈以角速度ω绕直径转动。小线圈的电阻为R ，其感抗可以忽略不计，试求 (1)两线圈的互感系数；

(2)小线圈中的电流(表示成时间的函数) (3)大线圈的感生电动势(表示成时间的函数)

（1）设小线圈为线圈1，大线圈为线圈2，线圈2在其中心处产生的磁感应强度为2

2

022r I B μ=

。

有题意知(r 1远小于r 2)，线圈1所在处的磁场可视为均匀磁场，则通过线圈1的磁通量为

t r r I S B S B ωπμθφcos 2cos 22120121212???

? ??==?= 式中角t ωθ=为t 时刻两线圈平面法线之间

的夹角。则两线圈的互感系数为t r r I M ωπμφcos 22

2

102

12

=

=

（2）由法拉第电磁感应定律，得到小线圈中的感应电动势为

t r r I dt d ωωπμφεsin 22

2

120121=-=，故得小线圈中的电流为t R r r I R I ωωπμεsin 22212011=

= （3）小线圈中的电流1I 所产生的磁场穿过大线圈的磁通量为

22sin 2cos sin 222

2210222210121t

R I r r t t R I r r MI ωπμωωωπμφ???? ??=???? ??== t R I r r dt d ωωπμφε2cos 22

2

2210212???

? ??=-= r 1

r 2 ω

两个同轴螺线管1和螺线管2，同绕在一个半径为R 的长磁介质棒上。它们的绕向相同，截面积都可以近似等于磁介质帮的截面积，螺线管1和螺线管2的长度分别为l 1和l 2，单位长度上的匝数分别为n 1和n 2，（l 1和l 2都远大于R ）试由此特例证明M 12=M 21=M 。

证：设螺线管1中通有电流1I ，它产生的磁场的磁感应强度大小为111I n B μ= 电流1I 产生的磁场穿过螺线管2每一匝的磁通量为2

112121R I n S B πμφ== 故有 12

221212221I R l n n l n πμφ==ψ，

22122211

1222112121V n n R l n n I I R l n n I M μπμπμ===ψ=，222R l V π=为螺线管2的体积。

设螺线管2中通有电流2I ，它产生的磁场的磁感应强度大小为222I n B μ= 电流2I 产生的磁场穿过螺线管1每一匝的磁通量为2

221212R I n S B πμφ==

在长直螺线管的端口以外，B 很快减到0，因此螺线管1只有21l n 匝线圈穿过12φ的磁通量，故2I 的磁场在螺线管1中产生的总磁通量为 22221122112I R l n n l n πμφ==ψ，

22122212

2

222121212V n n R l n n I I R l n n I M μπμπμ===ψ=，222R l V π=为螺线管2的体积。

M M M ==2112证毕。

l 2

l 1

I 1

I 2

双缝干涉实验中，用钠光灯作单色光源，其波长为589.3 nm ，屏与双缝的距离 D=600 mm 。求：

(1) d =1.0 mm 和 d =10 mm ，两种情况相邻明条纹间距分别为多大？

(2) 若相邻条纹的最小分辨距离为 0.065 mm ，能分清干涉条纹的双缝间距 d 最大是多少？ 解： (1)由d

D x λ

=

?可得 d =1.0 mm 时，d D x λ

=?=0.35mm d =10 mm 时，d D x λ

=?=0.035mm

(2)双缝间距d 为x

D d ?=λ

=5.4mm

已知杨氏双缝实验装置中，双缝间距为0.5mm ，屏与缝的距离为2.0m ，入射光波长λ1=550nm ，求：

（1）相邻明纹间距； （2）第3级明纹中心位置；

（3）若此时在入射光中又加入一种波长为λ2的单色光，是的屏上λ1的第六级明纹中心位置与λ2的第五级明纹中心位置重合，求λ2的值。 （1）根据双缝干涉相邻明（或暗）纹间距公式d

D x λ

=

?， 1λd

D

x =

?，求的x ?=2.2mm （2）由明纹位置公式d

D k x k λ

=，

133λd D

x =，求的3x =6.6mm

（3）由于λ1的第六级明纹中心和λ2的第五级明纹中心重合 故有()()2516λλx x =，所以2156

λλd

D

d D =，求得2λ=660mm

为了测量一根细的金属丝直径D ，按图办法形成空气劈尖，用单色光照射形成等厚干涉条纹，用读数显微镜测出干涉明条纹的间距，就可以算出D 。已知单色光波长为 589.3 nm ，测量结果是：金属丝与劈尖顶点距离L=28.880 mm ，第1条明条纹到第31条明条纹的距离x 为4.295 mm 。求金属丝直径D 。

N

x

a =

=0.14317mm 2s i n

λθ=?a ，L D ≈θsin ，得到2λ?=a L D =0.0594mm