多次相遇问题 技巧 秒杀
多次相遇问题
“多次相遇”问题有直线型和环型两种模型。相对来讲，直线型出题的模型更加复杂。环型只是单纯的周期问题。现在我们分开一一进行讲解。首先，来看直线型多次相遇问题。
一、直线型
直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行；“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。现在分开向大家一一介绍：
（一）两岸型
两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。题干如果没有明确说明是哪种相遇，考生对两种情况均应做出思考。
1、迎面碰头相遇：
如下图，甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a处，（为清楚表示两人走的路程，将两人的路线分开画出）则共走了1个全程，到达对岸b后两人转向第二次迎面相遇在c处，共走了3个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的2倍。之后的每次相遇都多走了2个全程。所以第三次相遇共走了5个全程，依次类推得出：第n次相遇两人走的路程和为（2n-1）S，S为全程。
而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分开看每个人都是2倍关系，经常可以用这个2倍关系解题。即对于甲和乙而言从a到c走过的路程是从起点到a的2倍。
相遇次数全程个数再走全程数
1 1 1
2 3 2
3 5 2
4 7 2
………
n 2n-1 2
2、背面追及相遇
与迎面相遇类似，背面相遇同样是甲、乙两人从A、B两地同时出发，如下图，此时可假设全程为4份，甲1分钟走1份，乙1分钟走5份。则第一次背面追及相遇在a处，再经过1分钟，两人在b处迎面相遇，到第3分钟，甲走3份，乙走15份，两人在c处相遇。我们可以观察，第一次背面相遇时，两人的路程差是1个全程，第二次背面相遇时，两人的路程差为3个全程。同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，单看每个人多走的路程也是第一次的2倍。依次类推，得：第n次背面追及相遇两人的路程差为（2n-1）S。
（二）单岸型
单岸型是两人同时从一端出发，与两岸型相似，单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及相遇两种情况。
1、迎面碰头相遇：
如下图，假设甲、乙两人同时从A端出发，假设全程为3份，甲每分钟走2份，乙每分钟走4份，则甲乙第一次迎面相遇在a处，此时甲走了2份，乙走了4份，再过1分钟，甲共走了4份，乙共走了8份，在b处迎面相遇，则第二次相遇多走的跟第一次相遇相同，依次类推，可得出：当第n次碰头相遇时，两人的路程和为2ns。
2、背面追及相遇
与迎面相遇相似，假设全程为3份，甲每分钟走1份，乙每分钟走7份，则第一次背面相遇在a处，2分钟后甲走了2份，乙走了14份，两人在b处相遇。第一次相遇，两人走的路程差为2S，第二次相遇两人走的路程差为4S，依次类推，可以得出：当第n次追及相遇时，两人的路程差为2ns。
“直线型”总结（熟记）
①两岸型：
第n次迎面碰头相遇，两人的路程和是（2n-1）S。
第n次背面追及相遇，两人的路程差是（2n-1）S。
②单岸型：
第n次迎面碰头相遇，两人的路程和为2ns。
第n次背面追及相遇，两人的路程差为2ns。
下面列出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常见的模型：
{模型一}：根据2倍关系求AB两地的距离。
【例1】甲、乙两人在A、B两地间往返散步，甲从A，乙从B同时出发，第一次相遇点距B 60米，当乙从A处返回时走了10米第二次与甲相遇。A、B相距多少米？
A、150
B、170
C、180
D、200
【答案及解析】B。如下图，第一次相遇在a处，第二次相遇在b处，aB的距离为60，Ab 的距离为10。以乙为研究对象，根据2倍关系，乙从a到A，再到b共走了第一次相遇的2倍，即为60×2=120米，Ab为10，则Aa的距离为120-10=110米，则AB距离为110+60=170米。
{模型二}：告诉两人的速度和给定时间，求相遇次数。
【例2】甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米。
两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇多少次？
A、2
B、3
C、4
D、5
【答案及解析】B。题目没说是迎面还是背面，所以两种相遇的次数都应该计算。分开讨论，
如是是迎面相遇，则走的全程的个数为个，根据迎面相遇n次，走的全程为2n-1=5，求得n=3；如果是背面相遇，则走的全程数为
，故在1分50秒内，不能背面相遇。所以共相遇3次。
{模型三}：告诉两人的速度和任意两次迎面相遇的距离，求AB两地的距离。
【例3】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行
20千米，乙车每小时行50千米，已知两车第10次与第18次迎面相遇的地点相距60千米，
则A、B相距多少千米？
A、95
B、100
C、105
D、110
【答案及解析】C。走相同时间内，甲乙走的路程比为20：50=2：5。将全程看成7份，则第一次相遇走1个全程时，甲走2份，乙走5份。以甲为研究对象（也可以以乙），第10次迎面相遇走的全程数为2×10-1=19个，甲走1个全程走2份，则走19个全程可走19×2=38份。7份是一个全程，则38份共有38÷7=5…3份（当商是偶数时从甲的一端数，0也是偶数；当商是奇数时从乙的一端数，比如第1个全程在乙的一端，第2个全程在甲的一端）从乙端数3份。同理当第18次相遇，甲走的份数为（2×18-1）×2=70份。共有70÷7=10个全程，10
为偶数在甲的端点。如下图：
则第10次相遇与第18次相遇共有4份为60千米，所以AB长为千米。
点评：对于给定任意两次的距离，主要是根据速度转化为全程的份数，找一个为研究对象，看在相遇次数内走的全程数，从而转化为份数，然后根据一个全程的份数，将研究对象走的总份数去掉全程的个数看剩余的份数，注意由全程的个数决定剩余的份数从哪一端数。【例4】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行
45千米，乙车每小时行36千米，已知两车第2次与第3次迎面相遇的地点相距40千米，
则A、B相距多少千米？
A、90
B、180
C、270
D、110
【答案及解析】A。法一：同上题。相同时间，甲、乙路程比为45：36=5：4，则将全程分成9份。则一个全程时甲走5份，乙走4份。以甲为研究对象，第2次相遇，走的全程数为2×2-1=3个，则甲走的份数为3×5=15份，一个全程为9份，则第2次相遇甲走的份数转化为全程的个数为15÷9=1…6份，则从乙端数6份。第3次相遇走的份数为（2×3-1）×5=25份，转化为全程的个数为25÷9=2…7，则从甲端数7份。如下图：
由图第2次和第3次相遇之间共有4份为40千米，则AB相距=90千米。
法二：在此引入“沙漏模型”。利用沙漏模型解题的前提是题干中已知两人的速度。将速度转化为相同路程的条件下两人的时间比，则以时间为刻度，画出两人到达对岸的路线图，
两人走的路线图相交的点即为两人相遇的地点。s-t图中的路线因像古代记时间的沙漏故称为“沙漏模型”。本题中，甲、乙走到端点用的时间比为36：45=4：5。如下图：