静电场中的高斯定理的应用

华中师范大学武汉传媒学院毕业论文（设计）静电场中的高斯定理的应用

院系：传媒工程系

专业：电子信息工程

班级：B1001班

姓名：常天

学号：10405010105

指导教师：黄金仙

2014年3月29日

静电场中的高斯定理的应用Gauss theorem of electrostatic field

摘要

高斯定理是电磁学的一条重要定理，他不仅在静电场中有重要的应用，而且也是麦克斯韦电磁场理论中的一个重要方程。本文比较详细的介绍了高斯定理在静电场中的应用，并提供了数学法，直接证明法等方法证明他，总结出应用高斯定理应注意的几个问题和高斯定理几种对称性求解场强的方法，最后推导出了介质中的高斯定理的求解方法，从这些问题中可以发现高斯定理在解决静电场问题的方便之处。

关键词：高斯定理静电场应用

Abstract

Gauss theorem is an important theorem of electromagnetism, he not only has important application in the electrostatic field, and is an important equation of maxwell electromagnetic field theory. More detailed introduced in this paper the gauss theorem in the application of electrostatic field, and provides a mathematical method, the direct proof method and other methods to prove his, summed up the application of gaussian set several problems that should pay attention to several symmetry solving field intensity and gauss theorem, the method of the gauss theorem of solution is deduced the medium, from these problems can be found in the gauss theorem in the place where the convenient to solve the problem of electrostatic field.

Keywords: Gauss theorem Electrostatic field Application

目录

摘要 (3)

Abstract (4)

绪论 (1)

1 静电场中高斯定理的表述及验证 (2)

1.1高斯定理的定义： (2)

1.2高斯定理的验证： (2)

1.2.1单个点电荷被包围在同心球面内 (2)

1.2.2单个点电荷被包围在任意闭合曲面内 (2)

1.2.3单个点电荷在任意闭合面外 (3)

1.2.4闭合面内外均有点电荷的情况 (3)

1.3从库伦定律推导高斯定理 (4)

2 高斯定理常见三种对称性分析 (7)

2.1 球对称性 (7)

2.2 轴对称性 (8)

2.3 面对称性 (9)

3 介质中的高斯定理的研究 (12)

3.1电介质中的高斯定理： (12)

结束语 (13)

5 收获与体会 (14)

致谢 (15)

6 主要参考文献 (16)

绪论

电磁学是研究电磁相互作用和电磁运动基本规律的一门学科，是经典物理学的一个重要分支，也是近代物理学不可缺少的基础。而静电场中的高斯定理就是电磁学的一部分，同时静电场中的高斯定理是电磁学中的重要定理之一。它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。目前，静电场中的高斯定理主要用于简化计算具有对称性的电场，可用来计算带电体周围电场的电场强度，还可以用于空间对称的引力场中，在这些方面，高斯定理更为简单明了。静电场中的高斯定理可表述为:在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所

1倍, 与闭合曲面外的电荷无关。

包围的电荷的代数和的

在现在的静电场高斯定理中，我们需要注意两个方面的问题:

（1）电荷分布对称情况下高斯定理的应用；

(2) 电荷分布不对称情况下高斯定理的应用：

对这两种情况下的研究我们可以得出对称性不是利用高斯定理求场强的唯一条件，并非电荷或电场分布具有对称性时就一定能用高斯定理求场强，而不具有对称性时就一定不能用高斯定理求场强。

这篇论文主要通过对高斯定理的表述及验证，常见的三种对称性的分析和介质中高斯定理的研究来论证高斯定理在静电场中的应用，在确定了设计题目之后，我首先就在教材中查看所涉及的相关知识，再到图书馆查询资料，借阅参考文献，还通过互联网搜集到一些可以使用的资源，拓宽了思路，然后经过和指导老师的互动交流，确立了设计方案。在设计过程中，要确保整体方案能够协调工作，从而达到设计要求。

1 静电场中高斯定理的表述及验证

1.1高斯定理的定义：

高斯定理的表述是：通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的所有电荷电量的代数和除以ε，与闭合曲面外的电荷无关。 1.2高斯定理的验证：

1.2.1单个点电荷被包围在同心球面内

点电荷+q 在周围空间激发电场呈球对称辐射状分布，故以q 为球心，任意长度r

为半径做一球面，则高斯球面上各电场强度大小相等，均为

r

q 2

4πε

=

E

场强的方向沿矢径方向向外。在高斯面上任取一面元dS ，则通过dS 的电通量为d=dS dS θcos E =?E 因为外法线矢量n 的方向也沿矢径向外，所以n 与E 之间的夹角θ=00

.，故通过dS 的电通量为d

dS

q

dS r

e 2

41cos 0επ=

E =Φ

于是，通过整个球面的电通量为

r r

r

q

dS q

dS dS E d s

e s

e 2

2

20

44141cos 0πππεε?==

E =?==?

??Φ?Φ

因此，得

ε

φ0

q

dS E s

e

=

?=?

1.2.2单个点电荷被包围在任意闭合曲面内

点电荷q 被包围在任意闭合曲面s ’内。根据电通量的直观物理意义，通过闭合面s ’的电场线数目就是通过该闭合面的电通量，由球心q 发出的电场线通过球面s ，也将全部通过面s ’。这表明通过任意闭合面s ’的电通量于通过以q 为球心的球面s

的电通量相同，即

ε

'

q

dS E dS E s s

e =

?=?=??Φ

1.2.3单个点电荷在任意闭合面外

以点电荷q 为顶点做一锥面，锥面在闭合曲面上截取两个面元dS 1，dS 2。由于闭合曲面内无电荷，从电荷q 发出的电场线通过dS 1也必将全部通过dS 2，对dS 1电场线是由闭合面外向内穿入提供负电通量，而对dS 2电场线是由闭合面内外穿出提供正电通量，两者

Φ1

e d 和d Φ2e 的数值相等，正负相反，它们的代数和为零。通

过整个闭合曲面S 的电通量Φe 是通过这样一对对面元的电通量之和，因而也等于零。可见，这种情况下的高斯定理也成立，并说明通过闭合曲面的电通量于闭合面外电荷无关。

1.2.4闭合面内外均有点电荷的情况

设空间同时存在k 个点电荷，其中q1，q2，…，qn 在高斯面S 之内，qn +1，

qn +2，…,qk 在高斯面S 之外。设S 面上任意一点的总场强为E ，则由场强叠加原

理，有式中：E1，E2,…,EK 是各点电荷单独存在时的场强，则穿过S 面的电通量为

?Φ?=s

e

dS E =dS

dS dS dS s

n s

n s

s

E E E

E ?++?++?+?????+12

1.......

由证明可知闭合面外电荷对闭合面电通量无贡献，只有闭合面内点电荷才有贡献，于是上式可写为：

∑??Φ=

+++=

?++?=内）

s i

n

n e q

q q q E E dS dS (02

1

11

)...(1

....ε

ε

至此，高斯定理全部证明完毕。

为了正确理解高斯定理，特提出以下注意点。 （1）穿过闭合面（高斯面）的 电通量

e φ 只与闭合面内的电荷有关，与闭合面外的

电荷无关，与闭合面内的电荷怎样分布也无关。

（2）闭合面上任一点的场强E 是闭合面内、外所有电荷共同激发的，即闭合面上的场所是指总场强，不能错误地理解为闭合面上的场强E 只是由面内电荷激发的，面外电荷无贡献，高斯定理说明的是，穿过闭合面的总的电通量（而不是场强）只与面内电荷有关，面外电荷对总电通量没贡献，但对闭合面上各点场强是有贡献的。因此，当高斯面内电荷的代数和为零的，并不意味着高斯面上的场强处处为零。

（3）因闭合面内的电荷有正有负，所以∑

内）

s

qi

(是指电荷的代数和。当

∑

内）

s

qi

(=0时，只

能说明穿过高斯面的电通量为零，不能说明高斯面内没有电荷分布（可能有等量的

正、负电荷）。当∑

内）

s(

qi

<0时，也应理解为可能只有负电荷，也可能有正、负电荷分

布，但负电荷多于正电荷。

（4）闭合面内的电荷∑

内）

s(

qi

为正时，通过高斯面的电通量e

Φ大于零，这说明有电场

线从闭合面内正电荷发出；若高斯面包围的电荷∑

内）

s

qi

(为负时，则通过高斯面的电通

量e

Φ小于零，表明有电场线穿过闭合面，终止于负电荷。这就表明，电场线是从正电荷发出，到负电荷终止，是不闭合的曲线。从这个意义上说，静电场是“有源场”。因此，高斯定理是反映静电场特性的一个重要定理。此外，高斯定理不仅对静电场适用，对变化的电场也适用，它是电磁场理论的基本防城之一。

1.3从库伦定律推导高斯定理

从库伦定律出发，可以推导出高斯定理。先介绍立体角的概念。如图所示，

立体角是由过一点的涉嫌，绕过该点的某一轴线旋转一周所扫出的锥面所限定的空间。如果以点'ο为球心、R为半径做球面，若立体角的锥面在球面上截下的面积为S，

则次立体角的大小为2

R S

=Ω。立体角的单位是球面度（sr ）。整个球面对球心的立

体角是π4。对于任一个有向曲面S,面上的面积元dS 对某点'o 的立体角是 |

'|)

'(R cos 2

r r r r dS dS d --?==

Ωθ 式中，r 是面积元所处的位置，'r 是点'o 的位置，R 是从点'r 到点r 的失径，θ是有

向面元dS 与R 的夹角。立体角可以为正，也可以为负，是夹角θ为锐角或钝角而定。整个曲面S 对点'o 所张的立体角是 ?-?-=Ωs r r dS

r r 3|

'|)'( 若S 是封闭曲面，则

π

40

3{|'|)'(=-?-=Ω?

s r r dS r r 即任意封闭曲面对其内部任一点所张的立体角为π4，对外部点所张的立体角为零。

高斯定理描述通过一个闭合面电场强度的通量与闭合面电荷间的关系。先考虑点电荷的电场穿过任意闭曲面S 的通量： ???Ω=?--=

?E s s s

d q

dS r r r r q

dS 0

304|'|'4πεπε 若q 位于S 内部，上式中的立体角为π4；若q 位于S 外部，上式中的立体角为零。

对点电荷系或分布电荷，由叠加原理得出高斯定理为 ?=

?E s

Q

dS 0

ε

上式中，Q 是闭合面内的总电荷。高斯定理是静电场的一个基本定理。它说明，在真空中穿出任意闭合面的电场强度通量，等于该闭合面内部的总电荷量与0ε之比。应该注意曲面上的电场强度是由空间的所有电荷产生的。不要错误的认为其与曲面S 外部的电荷无关。但是外部电荷在闭合面上产生的电场强度的通量为零。

以上的高斯定理也称为高斯定理的积分形式，它说明通过闭合曲面的电场强度通量与闭合面内的电荷之间的关系，并没有说明某一点的情况。要分析一个点的情形，要用微分形式。如果闭合面内的电荷是密度为ρ的体分布电荷，则上式可以写为 ??=

?E v

s

dV dS ρε0

1

式中V 是S 所限定的体积。用散度定理，可以将上式左面的面积分变换为散度的体积分，即

??=

E ??v

v

dV dV 0

1

ε

由于体积V 是任意的，所以有 0

ερ=

E ?? 这就是高斯定理的微分形式。它说明，真空中任意一点的电场强度的散度等于该点的电荷密度与0ε之比。微分形式描述了一点处的电场强度的空间变化和该点电荷密度的关系。尽管该点的电场强度是由空间的所有电荷产生的，可是这一点电场强度的散度仅仅取决于该点的电荷密度，而与其他电荷无关。

高斯定理的积分形式可以用来计算平面对称、轴对称及球对称的静电场问题。解题的关键是能将电场强度从积分号中提取出来，这就要求找出一个封闭面（高斯面）S ，且S 由两部分S1和S2组成。在S1上，电场强度E 与有向面元dS 平行，E ||dS （或二者之间的夹角固定不变），并且电场强度的大小保持不变；在S2上，有0=?E dS 。这样就可以求出对称分布电荷产生的场。 微分形式用来从电场分布计算电荷分布。

2 高斯定理常见三种对称性分析

2.1 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等;

例：均匀带电球面的电场，球面半径为R,带电为q 。

解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。作同心且半径为r 的高斯面。

ε

π0

2

4∑?=?E =?E q

r ds s

204r q

πε∑=

E

r

=E 内

r>R 时，高斯面包围电荷q ，

02

4επ∑?=?E =?E q

r ds s

204r q

πε∑=

E

20r 4q πε=

E 外

2.2 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面

例：无限长均匀带电直线的电场强度

无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度λ，求距直线为r 处的电场强度。

解：对称性分析：轴对称 。 选取闭合的柱形高斯面

??????E =?E +?E +?E =?E 侧面）

（下底）

（上底）

侧面）

((ds

ds ds d s s s s s

s ds 0

q ε∑?

??=

?E =?E =?E （侧面）

（侧面）

s s s

ds ds ds

r 2h

rh 2rh 2S h

00

πελ

ελππλ=

E =E ==∑内

s q

2.3 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。

例：均匀带电无限大平面的电场。

解：电场分布也应有面对称性，方向沿法向。

作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为S ，两底面到带电平面距离相同。

0q

S 2ε∑??=

E =?E =?E 两底

ds ds s

圆柱形高斯面内电荷∑=S

q σ

由高斯定理得

00

,2εσεσ=

E =E S

S

∑?==

?E =Φn

i s

e qi

ds 1

1

ε

我们可以得出，利用高斯定理求场强的步骤： （1）分析场强分布的对称性。 （2）合理选取高斯面。

（3）计算高斯面包围的电荷电量。（4）用高斯定理求场强。

3 介质中的高斯定理的研究

3.1电介质中的高斯定理：

)

(0

1

q q s

s

dS +=?E ∑??ε

电位移矢量D

由

)(1

q q s

s

dS +=

?E ∑??ε及∑??-=?s

s

q dS P

??∑???-

=

?E s

s

s

dS P dS q

εε00

1

1

∑??=?+E s

s

q

dS P 0

)(ε

定义辅助物理量—电位移D=P

+E ε0

，则有

∑??=?s

s

q

dS D 0

有介质时的高斯定理：∑??=?s

s

q

dS D 0

结束语

本次课程设计基本上完成了设计目标与要求，但是对于部分公式的推导及转化还不是彻底的理解，依然存在一些瑕疵，有待进一步改善，个人觉得：

1.总体上还是比较容易理解高斯定理的，但是对于某些公式的转换还需要更加深刻的理解。

2.在三种对称性分析中，需要更多的习题来理解并且知道解题的方法。

5 收获与体会

通过这次毕业设计：静电场中的高斯定理，让我对高斯定理有了更加深刻的理解，对这些知识的运用也更加灵活和熟练，对我来说收获很大。尽管这种设计可能是比较简单的一种，我还是遇到了很大的困难，但是我并没有轻易放弃。在设计之前，参考了许多相关的资料，咨询的很多老师和相关专业人员。在设计中又参考了课本上给出的知识，开始时我也不会推导这些公式，并且对原理也不是非常了解，但通过对所学知识更深入的学习和老师的答疑讲解和帮助，最终克服了难关，理解了许多东西。一路走来，我收获了知识，收获了希望和努力后的成果。

电子课程设计实践，是以学生自己动手动脑为前提，它将基本技能训练、基本工艺知识和创新启蒙有机结合，培养我们的实践能力和创新精神。作为信息时代的大学生，仅会书本理论是不够的，基本的动手能力是一切工作和创造的基础和必要条件。通过这次毕业设计，我发现了以往学习中的许多不足，我更加深深地体会到了自学的重要性。比如在推导高斯定理三种对称性时，以前只是看着老师推导，再把结论记下来，只是学到了皮毛，现在自己推导时才发现有许多不会的地方，但是通过反复查阅资料和在老师的指导下，完成了对我来说困难的尝试。

其实，大学中很多东西都是要靠自己去学的，当然，我们不能盲目的去学一些对自己专业没有很大帮助的东西。相反，我们应该抽时间好好的学习那些对我来说很有用的理论知识和软件。比如我的这个专业，在实践的同时需要大量的理论知识作为基础，所以我觉得我还需要加强对这些知识的理解和运用。自学是我们学习好一门课、一门专业重要的一种能力。一个拥有很强自学能力的人，他在某种程度上可以比那些自学能力相对弱的人更容易成功。相信以后我会以更加积极地态度对待我的学习、对待我的生活。我的激情永远不会结束，相反，我会更加努力，努力的去弥补自己的缺点，发展自己的优点，去充实自己，只有在了解了自己的长短之后，我们会更加珍惜拥有的，更加努力的去完善它。

总之，这次毕业设计过程中我受益匪浅，培养了我的设计思维，增加了动手操作的能力。最重要的是我明白了自学的重要性，掌握了更为正确的自学方法，这将使我今后离开学校，踏上社会是相当有帮助的。我深深地意识到了我必须提高我的自学能力。此外，我还体会到，我们书本上所学的知识和实际的东西相差甚远，我们所不懂的知识还有很多，因此今后我们要更加注重实际方面的锻炼和运用。此次设计不仅增强了自己在专业设计方面的信心，鼓舞了自己，更是一次兴趣的培养，这是一次难得的实践。

致谢

本课题在选题及研究过程中得到黄金仙老师的悉心指导。黄老师多次询问研究进程，并为我指点迷津，帮助我开拓研究思路，并且精心点拨、热忱鼓励。并且在实物的制作过程中，多次给予细心指导，黄老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，非常值得我学习。谨向黄老师表示诚挚的敬意和谢忱。